Том 2 (1160084), страница 8
Текст из файла (страница 8)
А'1(й') А'г( +1) 1 рйр(й) х("+') ,(й+ и (66) ,)(й+ и 2-й случай. Выбираем В=АА' к С=У. При этом получим; ,,(о),.(о) ( — (й) — (й)) (А'р(й) А' р(")) Х(а+ 1) = Х(") -)- айАГР(й). г(а+1) = гйи — айАА р(й) г(""), —." ) Сг'"', г(й)) Р(й- ) =г(й ь )+-1„Р( ). (66) Относительно применения этих формул можно сказать то же, что было сказано выше о применении формул (29) — (34). 41 метод гйзаиения нй клетки ф 6, Метод разбиения на клетки й 61 Обрашение матрицы высокого порядка часто удается свести к обращению матриц низшего порядка, являющихся частью основной матрицы.
Будем называть такие методы обращения матриц методами разбиения на клетки. Пусть нам дана квадратная неособенная матрица А. Разобьем ве пунктирными линиями на частичные матрицы: а,й аьй,, а)п ай„ ан а„ а21 айй .. ам а,вв! а,„ ац а 2,. авй а. .. а ,,2 а,„, й а .. 1,, а,„, а„ а„ ... а„й а„ й ... а„ „ Это можно сокрашенно записать так: А(' 2) А(' " ") 11 12 А= А'" '2) Ай(" '" 2) Ы ' йй (2) В(' 2) В(' " 11 12 В= В("-' й) В(",-' "-й) 21 2й (3) то СН, 2) Е(*, н-2) / 12 '4+ В = !) ( -*, 2) ( —, -2) 21 22 (4) где С~~'т) = А("; т)+ В("~). в, в — в, в + в, й Йалее, если имеем матрицу 1)(2 й) 0(2 " 1) 11 !2 О(" й'й) О(", 21 Ы (6) то Е(" 1) Е(" ~ Ай) = Е(н в' 1) Е(н ' 1) 21 22 (7) Здесь А~~'в~) сами являются матрицами. Нижние индексы г, з показывают место частичной матрицы в полной матрице, так же как индексы элемента а, показывают его положение в матрице. Верхние индексы 1, т показывают соответственно число строк и число столбцов частичной матрицы.
Если такое разбиение осушествлено. то будем говорить, что матрица разбита на клетки или блоки. Если имеется вторая матрица В с таким же разбиением 42 гвшвнив систвм линвйных ллгвввличвских гвлзнвний [гл. 6 где Е(1,Я А(1,3)~>(К,Я ! А((,п-К)О(п-3,1), 11 — 11 11 + В( 11 Е('я и — А("")КР'" 1)+А('я ))'.)(" "'" и. 12 = 11 12 + 13 22 Е(п ! Я аФ ( К)):)(К Я+А1а ! п «)В(п К и. (я-л, в-)) (а-л, К) (К, а-Я, (я-(, и-К) ~(а-К, я-Я (6) Обращаем внимание на то, что раабиение на клетки матрицы 0 должно быть согласовано с разбиением на клетки матрицы А для того, чтобы было возможно осуществить умножение клеток. В частности, если взять (=у =!3, т.
е. если А('() А(1! " !) А= А(я '() А(я '" и 21 ' 32 А' 'ЕФ'0+ Ай "-ЯД(п-! () — )(( (), 11 11 + 12 21 11 (1, !) г (л,а-!) ло,и-!)г,(п -1, и-!) (л,я !) (в-л, !) гл((, !) ~ л(а- л,в-!) г (п-л, !) лл(и-(, 1) .(и- л !)г ((,я-!) , л(я-(,а- !)г (а-л,п-л) ,(п-л,в ,) (10) Вдесь чеРез 1'г'г обозначены единичные матРицы соответствУющих (1, !) порядков.
а через О„'„— матрицы, состоящие из сплошных нулей. (1, и!) Таким образом, мы сумеем найти А ', если подберем матрицы Х)(г(, ) так, чтобы были выполнены равенства (10). Непосредственной проверкой убеждаемся. что матрицы Ог'л можно последова- (1, п3) тельно находить из равенств: (в-л,и-() Г л(в-л,а-!) (и-л,л)( „(! ()! — 1 „(! я ()1-1 ~)( (А ) 1л г( !.в-0 (лб.!)1 1л((,в-()гав-а,и !) (11) ~~Д '') = — с)(п '" ')А)1, "!)(А(!' !) л л33 (' !) (АО !)) ()(! !) А(' " !)~п "!)) то клеточное умножение матриц возможно и произведение будет разбито на такие же клетки, что и каждый из сомножителей.
Нетрудно сообразить, как будут выглядеть правила действий с клеточными матрицами, если осуществлять разбиение на большее число клеток, и в том случае, если мы имеем дело с прямоугольными матрицами. Пусть теперь матрица О в (9) равна А . Тогда мы должны иметь АЕ) =У(в'Я) и ф 61 мвтод Рлзэивння нл клвтки Следовательно, для того чтобы обратить матрицу А порядка и, нам придется обратить две матрицы, одна из которых имеет порядок 1, а другая порядок и — 1. Чаще всего берут 1 равным и — 1. Тогда придется обращать всего лишь одну матрицу порядка и — 1.
Для ее обращения можно применять тот же прием. Это в свою очередь потребует обращения матрицы порядка и — 2. Продолжая этот процесс дальше, мы в конце концов придем к матрице первого порядка. Таким образом, последовательно обращая матрицы гап ам ам1 ам ам аи, (12) а ... а а, ...аэ„, а,...а, О аш (а„, а,а ... а„„1 О)+ (О О... О 1). (13) а„ О ! Изложенный метод показывает, как, зная обратную матрицу для первого слагаемого правой части, получить обратную матрицу для суммы всех слагаемых правой части. Идя по такому пути, можно поставить следующую задачу. Матрица А представлена в виде А= В+ и'о, (14) где  — некоторая квадратная матрица, для которой известна В и — матрица, состоящая из одного столбца и и строк, и и — матрица, состоящая из одной строки и и столбцов, Требуется найти А '.
Решение поставленной задачи дает матрица А 1 В-1 В 'иоВ В (15) мы придем к А ~. Можно дать другой подход к рассмотренному методу. Представляем матрицу А в виде 44 гвшанив систвм линвйных алгеввличвских гвавнвний (гл. 6 Действительно, (В+ии)  —, ~ =! — + ииВ В ~аоВ ') аоВ -г 1+оВ 'а/ 1+оВ ~а аоВ 'аоВ 7 оВ 'а иоВ ' оВ 'а аоВ 1+оВ и 1+оВ 1а 11оВ и Используя формулу (15), можно получать обратные матрицы в широком классе случаев. Так. например, возьмем 0 и 0...0 (17) Обратная матрица при этом находится без труда.
За матрицы и и о примем ам (18) о=(1, О, ..., О). а„ Тогда формула (15) даст нам обратную матрицу для (19) Затем таким же образом можно исправить второй столбец, третий и т, д., пока не придем к матрице А. Формулу (15) можно обобшить, взяв вместо а и о матрицы У и У, имеюшие соответственно несколько столбцов и несколько строк, ф 7. Линейные операторы.
Нормы операторов Прежде чем переходить к изучению методов последовательных приближений, мы рассмотрим некоторые свойства операторов, которые нам при этом потребуются. Пусть А — аддитивный оператор, заданный в линейном нормированном пространстве') Н.
Зтот оператор называется ограниченным, если сушествует такая постоянная С, что для любого элемента х~ Н выполнено неравенство ()Ах() <С)(хй. г) См. 5 1, гл. 4. 45 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ. НОРМЫ ОПЕРАТОРОВ 4 7) Ограниченный, аддитивный оператор будем в дальнейшем называть линейммл, Наименьшее из чисел С будем называть нормой оиералгора и обозначать ((А)(.
Таким образом, норма оператора А есть такое число ()А((, что при любом х~ Н выполнено 11Ах(! <)/А(! !)х(), (2) и с другой стороны, для любого е > 0 найдется такой элемент х' Е //, что )(Ах'((> (()А(( — з)()х'(!. (3) Можно дать другое определение нормы оператора, а именно положить 11А)( = знр ((Ах(!. (4) Нетрудно показать, что оба определения эквивалентны. Действительно, неравенства (2) и (3) можно переписать в виде ()Ау(!(((А!), ()Ау'11>))А(( — е, ~5) где у=х/11х11 и у'=х'/11х'11 — элементы с единичной нормой.
Поэтому норма оператора в смысле первого определения будет равна норме в смысле второго определения. Наоборот, если пользоваться равенством (4) для определении нормы, то будем иметь: )(А( — )(( ()/А/!, /)Ах/! (!1А/! /!х/! (6) Поэтому норма оператора в смысле второго определения будет равна норме оператора в смысле первого определения. Рассмотрим совокупность всевозможных линейных операторов, определенных на Н.
Эти операторы аддитивны, и поэтому для них определены операции сложения и умножения на число. Покажем, что эти операции не выводят за пределы множества линейных операторов. По определению С=А+В, (8) если для любого х~ Н имеет место Сх = Ах+ Вх. (9) При этом зпр )~Сх11 ( зпр 11Ах11+ зпр 11Вх)(=~)А11+11В11. (1О) 1мз г 1мз 1 1Ф1- 1 для любого х~ и, т. е.
имеем неравенство (2). С другой стороны, з силу определения верхней границы, для любого а > 0 найдется такой элемент х' ~ Н, 11х'11 = 1, что )! Ах' // > !/ А /! — е = (!/ А /! — з) 1! х' !). (7) 46 гвшвнив систвм линвйных алгввваичвских гвлвнвний (гл. 6 Итак, С вЂ” ограниченный оператор и его норма удовлетворяет неравенству )~С))=()А+ В!) ())А()+~)В)~, (1 1) Далее, пусть В = сА, (! 2) где с — число.
Это значит, что для любого х~ Н Вх = сАх (1 3) При этом эпр !!Вх!1= зпр !!сАх!1=!с! впр !!Ах!1=!с!!!А!!. (14) внв- ь ье1-г 1е1 ь Итак, оператор В ограничен и его норма удовлетворяет равенству )~В(! =!)сА((= ) с ()(А(!. (16) Утверждение доказано. Заметим еще, что !!А))) 0 и !!А!1=0 тогда и только тогда, когда А = О, т. е. когда оператор А переводит любой элемент в нулевой. Первая часть утверждения тривиальна. Если же !!А!!=О. то впр !!Ах!1=О, 1ия1 ь (16) т, е. оператор А переводит каждый элемент х~Н, имеющий единичную норму, в нулевой элемент.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
