Том 2 (1160084), страница 11
Текст из файла (страница 11)
(! 6) А( (-) (( у)т) Приведем пример решения системы методом простой итерации. Опять будем решать ту же систему, которую мы уже использовали в 9 2 и 3, В верхней части схемы стоят коэффициенты преобразованной системы. Далее идет начальное приближение, в качестве которого взяты свободные члены преобразованной системы, и идут последующие приближения; хз х) хв — 0,050810 — 0.029811 0 — 0,013034 — 0,0473 68 — 0,063370 — 0,024524 — 0,021248 — 0,030521 — 0,0337 65 0 — 0,2178% — 0,0294 09 0 — 0,025972 — 0,0194 87 — 0,028730 — 0,075376 — 0,022890 — 0,025272 — 0,014727 0 — 0,059210 — 0,165638 — 0,034634 — 0,043736 — 0,031758 — 0,073469 — 0,169430 0 0 — 0,025314 — 0,038103 — 0,015192 — 0,028541 — 0,051824 — (о) хп) х(я) х(з) х(4) хвв хип х(т) х(8) х(в) -(ю) (! () х((з) 1,1617 65 1,011799 1,049027 1,038527 1,0416 22 1,0407 36 1,0409 94 1,040920 1,040915 1,040940 1,040936 1,040 937 1,040936 1,147832 1,020120 1,058410 1,048077 1,051212 1,0503 27 1,0505 87 1,051413 Ц)505 35 1,050 534 1,050529 1,050530 1,0505 30 1,129872 0,999199 1,034234 1,024356 1,027253 1,026420 1,026661 1,026592 1,026588 1,026610 1,026606 1,026607 1,026607 0,570275 0,432689 0,484170 0,470754 0,474964 0,473804 0,474149 0,474051 0,474062 0,474078 0,474073 0,474074 0,474074 0,7777 88 0,493906 0,598888 0,572321 0,580689 0,578438 0,579122 0,57893! 0,578962 0,578986 0,578974 0,578976 0,578975 ~ 0,770121 0,287 933 0,39823! 0,3598 03 0,3697 60 0 366660 0,367508 0,367254 0,367257 0,367315 0,367305 0,367309 0,3673 08 9 91 линвйныв полношлговыв мвтоды паевого погадка 89 Следует отметить, что ошибки, допущенные при вычислении, будут в дальнейшем исключены последующими приближениями.
Однако при этом могут потребоваться лишние приближения. Оценим теперь погрешность метода простой итерации. Для этого воспользуемся равенством ха — А Ь =В(хв — А '1!). (17) Так как А Ь = (7+ В + В'+... ) СЬ, хл — — (7+В+В +... +В )СЬ+В х (18) (19) то , — Л гЬ =(Вв"+В"'*+...)СЬ+Ва+'~,. Отсюда (20) (21) Проведем подробное исследование этого метода для случая, когда матрица А симметрическая и положительно определенная.
В этом случае имеется и положительных собственных значений Л!)~Ля)... ...) Л„матрицы А и и соответствующих им взаимно ортогональных — !— собственных векторов и,, из, ..., и„. Разложим вектор хе — А Ь по этим собственным векторам хя — А Ь = ~~~~ ~с!и; (23) ! ! и преобразуем (22) к виду х„„— А 'Ь =ха — А Ь+рвл(хв — А Ь)= = (7+ рвл) (хв .4 Ь). (24) Тогда х„— А Ь = (У+- РвЛ) (хе — А 'Ь) = ~~.'„с! (1 +- Рч)ч) и;, ха — А Ь = (У+.фгл) (х,— А 'Ь) = ~~'., с! (1+РоЛ!) (1+ДгЛ!) иь (25) н в хг,,— А Ь =(У+Рал)(хв — А Ь)=~!с! Ц(1+()гЛг)и!, а-! г-в 11В11~+' !~х„,— Л !Ь~~<,~~~'~, 11СЬ|1+ 11В11"" 11,11.
2. Метод Ричардсона. Рассмотрим еще один метод последовательных приближений первого порядка. Возьмем в формуле (7) предыдущего параграфа — С„=р„!. При этом получим: х„„= ха +- р„(лх„— Ь). (22) 60 гашвнив систвм линвйных ллгивглических гглвнвний [гл. 6 Таким образом, à — 1 -1 \ хь.г А Ь ха+1 А Ь)= = ([хв~,— А Ь (~, (Мь [~хо — А М1з (26) где Мь= шах 1Ц(1+ Щ) о<~<ч[т-з (27) Заменим отрезок [а, Ь[ отрезком [ — 1, +1[, введя новое переменное 2Л Ь+а (29) Ь вЂ” а Ь вЂ” а' При этом многочлен Р„„() = Д-(1+6,Л) т-е перейдет в новый многочлен ф,„,(!).
Так как Рл,(0)=1, то Яа+~ ~ — Ь[=!. Таким образом, перед нами возникает задача /а+ат 6+а об отыскании многочлена степени [з+1, равного 1 при Ь= а — Ь и обладающего наименьшим максимумом модуля на отрезке [ — 1, +1[ среди всех многочленов, обладающих такими свойствами. Эту задачу решает многочлен (см. упражнения к гл. 4) ~~+~(!)- Ь >а (31) (30) где Ть„,(!) — многочлен Чебышева, наименее уклоняющийся от нуля. Корни многочлена 1сь~,(!) совпадают с корнями Ть„,(!) и расположены в точках г! = соз (21 — 1) в (32) 2р,+и Корни же многочлена Р„ь,(Л) расположены в точках — [[1 .
Следова-г тельно, ~! — — 2 [(а — Ь) Ь! — (а + Ь)! При этом М„= шах [тсь~1(!) [ = [Т» „( — )[ ( 1. (ЗЗ) (34) Если заранее не ясно, ш<олько шагов потребуется сделать для получения нужной точносзн, то целесообразно использовать 6! в ци- Зафиксируем Ь и будем подбирать ру так чтобы М„приняло возможно меньшее значение.
При этом мы будем предполагать. что нам каким-то образом удалось найти такие а и Ь, что а <Лг(Ь (1=1, 2, ..., и). (28) 6 10) линийныв однош»говыв мвтоды пивного погядк» 61 клическом порядке. Задаемся каким-то й, подбираем соответствующие рг по формуле (33) и произвЬдим вычисления по формуле (22), беря р; в следующем порядке: ро, ро ..., р», ро, ра, ..., ра, ... При й= О процесс будет стационарным, при й) О процесс будет нестационарным. Он всегда будет сходящимся в силу неравенств (26) и (34). Такой способ был впервые предложен Ричардсоном. и поэтому мы назовем его методом Ричардсона, 3.
Обращение матриц методом последовательных приближений. Коснемся еще вопроса об обращении матриц методом последовательных приближений. Пусть нам удалось каким-то способом найти приближенное значение Во для матрицы А '. Предположим, далее, что некоторая норма матрицы Со=т Аво (35) меньше единицы, ))С !! ~ д < 1. Образуем тогда последовательности: В, = В () + Со), С, = У вЂ” АВ,; В»=в,()+С), Са=! — Ава; (36) В» = Ва(г+ С»), Са 1=1 — АВ» при этом Са — — У вЂ” АВ» = ) АВ»-1 ()+ Са-,) = ) (г' Са — 1) (У+ Са — ) = т 9» =Са 1 — — Са »=...=Со.
(37) Таким образом, матрица Са будет очень быстро стремиться к нулевой и, следовательно, матрица Ва к А . Оценим норму разности !!Ва — А !!. Имеем: !!В» А 1! = !!А (У Са) — А !! = !!А Са!! = =',!в,( — с,) 'со !! !!в,!! !!( — С,) '!! !!с.!!' (!!в,!! —,' (38) й 1О. Линейные одношаговые методы первого порядка Перейдем теперь к изучению линейных одношаговых методов первого порядка. Большое количество таких методов можно получить следующим образом. Представляем матрицу А в виде суммы трех матриц: А = В +С+О (1) Здесь  — диагональная матрица, в матрице С равны нулю элементы, лежащие на и выше главной диагонали, а в матрице й равны 62 Решение систем линеЙных АлгеБРАических УРАВнениЙ (гл.
6 нулю элементы, лежащие на и под главной диагональю. Выбираем какое-то число о) + 0 и осущесТвляем итерационный процесс по формуле (и-!В+С) х(А+')+ ((1 — о)-1)) В+)г)1 х(А) = (). (2) Если разрешить (2) относительно х(А+'), то получим: Г' ' в х( )= — — ~ ~ а! х! + г а(7х — д1 — (м — 1)х! . (3) 'Ъ~ (А+1) %1 (А) (А) 1 1+1 Особенно часто используется случай а=1. При этом получается так называемый метод Зейделя. Рассмотрим подробно этот метод.
1. Метод Зейделя. Метод Зейпеля отличается от простой итерации тем, что, найдя какое-то приближение для компоненты, мы сразу же используем его для отыскания следующей компоненты. Вычисления ведутся по формуле 1-1 и Ь( С.а ам 2 СЮ ан ) аи 1 ! !+1 По начальному приближению (х(о), х(о)... „х(о)) находим х(,'). Затем по (х(1), х(о), ..., х(о)) находим х(1) и т. д. После того как будут найдены все х('), таким же образом находим х(2), х)в)... „пока не постигнем нужной точности. Решим ту же систему, которая рассматривалась в предыдущем параграфе.
методом Зейделя, Мы не будем повторять запись коэф« фициентов, а приведем лишь результаты вычислений: хв Заметим, что здесь, так же как и при простой итерации, можно было бы сократить вычисления и записи. Прежпе всего несколько -(о) х(н (2) х(' «(!) ув) х (в) х(1) х(в) 1,161765 1,011799 1,049027 1,040158 1,040955 1,040950 1,040949 1,040937 1,040936 1,147832 1,020123 1,057467 1,049654 1,0%02! 1,050047 1,050528 1,050530 1,050530 1,129872 0,9991 99 1,031845 1,026331 0,026593 1,026618 1,026606 1,026607 1,026607 0,970275 0,432689 0,482485 0,474084 0,474057 0,474079 0,474071 0,474074 0,474074 0,777788 0.493906 0,591246 0,579940 0,579006 0,578982 0,578970 0,578975 0,578975 0,770121 0,287933 0,361969 0,367221 0,367343 0,367341 0,367341 0,367308 0,367308 первых приближений можно было проводить с меньшим количеством знаков.
Наоборот, в последних приближениях, когда старшие разряды уже установились, нет необходимости выписывать их вновь. Последовательные приближения продолжаются обычно до тех пор. пока два следующих друг за другом приближения не станут совпадать. 2. Сходимость метода Зейделя. Исследуем теперь сходимость метода Зейделя. Разрешая (2) при м = 1 относительно х(а+'>, получим: хт~н= — (В+С) 'Г)х( ~+(В+С) К (5) Это означает, что метод Зейделя эквивалентен простой итерации с матрицей — (В+ С) 'В. Таким образом, чтобы метод сходился необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения этой матрицы были по модулю меньше единицы.
Таким образом, должны быть по модулю меньше единицы все значения Л, удовлетворяющие уравнению )ЛУ+(В+С) 'В)= О. Но корни этого уравнения будут совпадать с корнями уравнения 1Л(В+С) Г-В~=О. (6) Итак мы доказали теорему. Для сходимости метода Зейделя необходимости достаточно, чтобы все корни уравнения апЛ ап а1ь ° .. ат а,Л алЛ аю ... агв (8) =0 а„дЛ аелЛ а„ьЛ ... а„Л были ло модулю меньше единицы. Области сходимости простой итерации и итерации по Зейделю лишь пересекаются. Это значит, что существуют такие матрицьп для которых метод Зейделя сходится, а метод простой итерации нет, и наоборот.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
