Том 2 (1160084), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Следовательно, корни уравнения 1 1,5 1 гх) = 0 расположены на отрезке 10,66; 40). Мы получили значительно лучший результат, чем в первом способе. Способом Ньютона можно показать, что корни уравнения расположены на отрезке [0,74; 22), т. е. удается еще улучшить результат. 3. Число действительных корней алгебраического уравнения.
Оценку числа действительных корней алгебраического уравнения можно получить с помощью известного правила Декарта. Это правило мы получим как следствие более общей теоремы, которую назовем обобщенным правилом Декарта. Эта теорема позволяет находить числа действительных корней обобщенных много- членов. Прежде чем ее формулировать, введем некоторые определения. Пусть дана конечная последовательность действительных чисел ае,а,,а,,...,а„. Будем называть индекс т местом перемены знака, если а „а ( 0 и ам,=а,= ...
=а а„=О. В этом случае говорят, что ам а и а,„образуют перемену знака. Очевидны или легко доказываются следующие утверждения: 1) число перемен знака в последовательности не изменится, если члены, равные нулю, будут опущены, а оставшиеся члены сохранят свое расположение; 2) число перемен знака в последовательности не изменится, если вставить любое число членов, равных нулю, или рядом с членом последовательности вставить новый член того же знака; 3) при вычеркивании членов последовательности число перемен знака не увеличивается; 4) если а1 и аа 1у' ( к) не равны нулю, то в последовательности ау, ае+о ..., аа ,, а„ будет четное или нечетное число перемен знака, смотря по тому, будут ли а) и а„ иметь одинаковые или разные знаки; б) пусть т — место перемены знака в последовательности ае, а,, ..., а, ..., а„.
Тогда число перемен знака в этой последовательности на единицу больше числа перемен знака в последовательности — ае, — а„..., — аж „, а „, ..., а„. Пусть р, гх), ~р, гх), ..., у„гх) — последовательность функций, непрерывных вместе со своими производными до порядка п — 1 84 гешвнив алгвгваических и твансцвндвнтных явлвнвний [гл. 7 включительно на отрезке [а, Ь!.
Рассмотрим определитель Врон- ского т, (х) те (х) тг (х) та (х) т„(х), Р (5) тгч О(К). ( тГЯ О (Х) а[Я П (Х) Имеют место следующие свойства этого определителя: 1) [г'[урь Дом ..., До„[=[У(х)!" Ж'[~уо ~р,...., о„!. (6) В самом деле, вторая строка определителя В' [урь /р,,, УЯ имеет вид Й~ '1 Урн Й~+Утз '''' Й~+11ю Я йз "" уч„' Третья строка имеет вид Д~у",+ 27у, '+ут~о 7)7",+ 2)"р,',+ У"у,, ..., уе,', + 27'р„'+ 7"р„. Если из нее вычесть первую, умноженную на ) "ГГ', и преобразованную вторую, умноженную на 27"(Г', то получим: Ж Йа' ' Й„. Продолжая процесс дальше и вынося затем из каждой строки 7, получим требуемый результат. 2) Ф'[р,(У(х)), уз(~(х)), ..., ~у„(У(х))! = я Ги-1) (х)! ' [Р (срг(3/).
с~в(я) ..., ср„(у)[в ГГч (7' Гх) Ф 0). (7) В самом деле, вторая строка определителя слева имеет вид т1л~' тзву ' ''" тая~ ' а третья строка ~",„,У" +~,'„У", ~,"„,У" +~,'„1", "., у„",.7" +~.'„У". Вычтем из нее вторую, умноженную на Г"Д~'. В результате получим: Аналогично после вычитания из четвертой строки второй, умноженной на 7"'Г7', и преобразованной третьей, умноженной на ЗГ "[7', получим: Если из нее вычесть первую строку, умноженную на Г"(Г, то она превратится в и 21 отдаление когнвй Продолжая упрощения далее и вынося за знак определителя У', у", ..., )" ', получим требуемый результат, Творе ма (Обоби(енное правило Декарта), Если на отрезке 1а, д) функции <р,(х), ог(х), ..., ~р„(х) непрерывны вместе с производными до порядка (и — 1) включительно и для любой последовательности Аь (1 ( к, ( кг ( ... ( Ат ( и) на 1а, Ь), то число нулей комбинации агу,(х))-аг~рг(х)+ ...
+а„~р„(х) с действительными коэффициентами а; (не равными одновременно нулю) на отрезке 1а, Ь) не превышает числа перемен знака в последовательности ам а,, ..., а„. До к а з ат е л ь с т в о. При и = 1 утверждение тривиально, так как по усчовию теоремы все функции ец(х) не обращаются на 1а, Ь) в нуль и имеют одинаковый знак, Предположим, что утверждение справедливо при и (1 — 1, и докажем, что оно останется справедливым при переходе к и= .'. Пусть Ф(х)=агУ,(х)+а,Уг(х)+ ... +аР,(х) ( ~Р,а, чь О ч; г и р — число нулей функции Ф(х) на 1а, Ь), а д — число перемен знака в последовательности а,, а,,,, аь Если о = О, то, очевидно, и р=О, и утверждение верно. Пусть о) О и одна из перемен происходит на 1-м месте.
Введем обозначения; ь(х) й ту(х) йх а. (х) ' их Ч (х) — .=Ф*(х), — = — цр".(х) (1=1, 2, ..., 1 — 1), уу (х) (х) =гг.(х) (у =1+1, ..., 1). Тогда Ф" (х) = — агчг*,— а у.,*— ... — аг р',,+а, р*,,+ ... + а ьг," Так как на (а, д1 имеет р нулей, то число нулей р* функ- Ф (х) тг (х) ции Ф*(х) по теореме Ролля не может быть меньше р — 1, т. е. р* )~р — 1. С другой стороны, число перемен знака о* в последовательности — а„— аг, — аь ма;„...,,а 86 гашения алгввгличвских и твансцвндвнтных тгавнвний [гл. 7 равно д'=д — 1, Так как 1г ['тв, 'т"а,' '. 'гв. 'уг 'т"а. ' .
" 'тл ]= у у+! е то определители Вронского для системы у,. о„ ..., ~гг обладают тем же свойством, т. е, бчдут все положительны. Таким образом, в силу предположения д' ) р*, т. е, у=ай*+1) р +1) р. В качестве примера рассмотрим совокупность функций е) х, ег'х , е'и* где Лг — действительные числа и 1ч (Л, ( ...
(Лх. В этом случае при всех т ~ 1 1 ... 1 11т[ ~их "ах 1~х1 (~ ч-~ач-...ч-1Ох~ Л ЛЕ ... Л., ~ Л1 Л~ . „ Л„ [ Следовательно, линейная комбинация а е',х+а ецх+ +а е х х с не равными одновременно нулю коэффициентами аг не может иметь нулей больше числа перемен знака в последовательности аоа,,...,а„. Используя свойство 12) определителей Вронского и полагая у = 1и х, получим: уу[е '" е в'... е1""1= В'[х~" х1з, ..., х~'[= е 11-11 =х ' 11'[е "я, ..., е са1я-ы х Таким образом, при х ) О 1г'[х ', х а, ..., х "1) О.
Следовательно, число положительных корней уравнения а,х' +аях' + . +а„х" =О, 5 2) отдавании кОРней где а; — действительные числа, ~ьа; + О, )ч ( ).г ( ... ( ) не прево- 1-1 сходит числа перемен знака в последовательности а,, а . .. а„. В частности, правило Декарта имеет место для алгебраических уравнений арх" +а,х"-'+ .. +а„=О с действительными коэффициентами. При х-+со многочлен имеет знак, совпадающий со знаком аь, а при х=Π— знак, совпадающий со знаком а„.
Следовательно, многочлен имеет четное число положительных корней, если знаки аь и а„совпадают, и нечетное число корней, если аь и а„разных знаков, Но то же самое можно сказать и о числе перемен знака в последовательности аь, а,, а„. Таким образом, разность между числом перемен знака в последовательности а, а,, ..., а„ и числом положительных корней есть число четное или нуль. Правило Декарта не дает точного числа корней на отрезке ]а, Ь], а лишь устанавливает их верхнюю границу, но зато оно очень просто, особенно в применении к обычным многочленам.
Замена х на — х позволяет получить также и верхнюю границу числа отрицательных корней уравнения. Точное число действительных корней алгебраического уравнения, заключенных в данных пределах. может быть определено с помощью теоремы Штурма. Т е о р е м а Штурма.
Пусть дано алгебраическое уравнение у'(х) =0 степени п, не имеющее кратных корней; найдем производную у' (х) =~, (х) и обозначим остаток от деления у'(х) на )'(х), взятый с обратным знаком, через 1г(х); остаток от деления Л(х) на Уг(х) с обратным знаком — через Уь(х) и т. д,, до тех пор пока не придем к постоянной. Получим последовательность функций у(х), у,(х), ..., у„(х). Число действительных корней уравнения г'(х) = О, расположенных на отрезке ]а, Ь], равно разности между числом перемен знака нашей последовательности функций при х=а и числом перемен знака последовательности при х=Ь. (Доказательство теоремы можно найти, например, в книге А. Г. Куроша «Курс высшей алгебры».) К теореме Штурма можно сделать следующие замечания: П Функции г"(х), г',(х),..., г'„(х) можно умножать на положительные числа.
2. Последовательность функций можно оборвать на такой функции, которая не обращается в нуль на отрезке ]а, Ь). 88 Рвшвннв Алгввгьнческих и ТРАнсцвндентных зглвнвний [гл. 7 3. Если 7[х) =О имеет кратные корни, то, как и прежде, можйо получи~ь последовательность 7, 7„..., 7ы О; 7~ не будет постоянным. Поделив все функции на Л, получим новую последовательность. С помощью этой последовательности можно тем же способом получить число корней уравнения 7(х) =О на отрезке (а, Ь[, только без учета их кратности. 4.
Последовательность 7, уы 7,, .... у„, которую мы образовали, может бычь заменена любой другой последовательностью ра, , у~ функций, лишь бы они удовлетворяли следующим условиям: а) последняя функция сьс на [а, Ь[ не меняет знака; б) лве рядом стоящие функции не могут обращаться в нуль прн одном н том же значении х; в) если в последовательности сь, эп ..., рг какая-либо функция, за исключением первой, обращается в нуль при х=а, то две ссседние к ней функции в некоторой окрестности этого значения имеют различные знаки; г) отношение ~урньс при переходе через нуль меняет знак с отрицательного на положительный.
Такая последовательность функций называется последовательностью Штурма. Теорема Штурма дает хороший в теоретическом отношении способ определения числа дейсчвительных корней, расположенных на данном отрезке [а, Ь[, но при практическом применении требует очень большой вычислительной работы.
Менее совершенна в теоретическом отношении, но более удобна для практики теорема Бюдана: Число действительных корней алгебраичесноао уравнения 7(х) = О степени п, расположенных на отрезке [а, Ь), не превышает числа потерннных перемен знака в последовательности 7(х), 7'(х), ..., г'~"> (х) при переходе от х=а н х=д, и разность между ними есть число четное.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
