Том 2 (1160084), страница 16
Текст из файла (страница 16)
4. Отделение действительных корней алгебраического уравнения. Задача отделения действительных корней уравнения 7<х) = О заключается в том, чтобы каждый из корней заключить в интервал, не содержащий других корней уравнения. Обычно для решения этой задачи сначала находят нижнюю н верхнюю границы всех действительных корней уравнения, что может быть сделано одним из тех способов, о которых мы говорили ранее.
Затем полученный отрезок разбивают на более мелкие, обычно равной длины, так, чтобы в каждом из них не могло содержаться больше одного корня. Для того чтобы определить длину этих часзичных отрезков рас- 89 отдаление кОРней смотрим определитель 1 1 ... 1 хз хз ... х„ = П(х; — х,), (8) я — 1 я-1 х" ! я '' п где х,, х,, ..., х„ †кор данного уравнения. Введем обозначение га = х1 + ха + ... + х„ (9) и возведем с) в квадрат, используя правило умножения определителей «строка на строку».
Получим: зо з1 зя за зя-1 зя = П (хг — х )'. (1О) ая-1 ап ав+з . з~-я Зная величину П, можно оценить расстояние между корнями. Действительно, — — = П'(х; — х.). сз (х„— хв) ~>~ где штрих означает, что мы в правой части опускаем множитель х„ — х . Если М вЂ” верхняя граница модулей корней уравнения, то ! (11 < (2М) " и (х„— хз ~)~ „„— „— . (11) 1х„— хв ~ — 1 (2М) Для отыскания 0 найдем с)'.
Пусть уравнение имеет вид у'(х) = х" +а,хя-'-(- ., +а„,х+а„= О. Тогда У' (х) = их" -' -г (л — 1) а,х" а + ... + а„,. С другой стороны, у (х) у (х) у (х„) х — х1 х — хз х — х Производя деление, получим; — =х"-'+(х~+аг)х"-а+~х, +-а,х,+аз)х"-я+ .... + +(х", +а,х, + .. +а„,) или ~'(х) =ах"-'+(з,+ла1)х"-а+(за+а з, 1 — аа ) х"-'+ ... + + (з„, + а,з„я + ... + аа„Д. 90 вешании ллгввеличвскнх и тглнсцяндвнтных ягьвнвний 1гл. 7 Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим: гь + а,зк, + а,зь ., + ... + аь,з, + йаь = 0 (к = 1, 2, ... ..., (и — 1). за=а). Для отыскания соответствующих выражений при Ф) и умножим наше уравнение на х"' и в уравнении х"ьь>+а>х" >в>->+ ...
+а„,х'""+а„х"'=0 положим последовательно х=х,, х, ..., х„. Складывая полученные результаты. найдем: з„„+азп,,+ ... +а„,з „,+а„з =0 (т=О, 1 ° ° ) Эти формулы нам дают возможность последовательно найти зь, з,, з,, ..., з„,, а тем самым и Е1'. Например, для кубичного уравнения х'+ а>ха+ аях+ а, = 0 будем иметь: за= З з,+а,=О, з,= — а,, за+а,з,+2а,=О. з,=а,— 2ая, 3 и,+а,з,+аяз,+За,=О, зь — — — а>+За,а,— Заз > я я з, + а,зь+ аяза+ а,з, = О, з4 — — а, — 4а>аа+ 4а,аз+ 2ая> 2 3 3 я 0 = а>ая — 4а,а, — 4ая — 27ав+ 18а,аяа,. Обычно этот способ дает очень заниженные значения для 1п1 ~ х; — ху ~, и нужна очень большая вычислительная работа для последующих подстановок. Рассмотрим метод Фурье отделения корней, основанный на теореме Бюдана.
Но прежде чем излагать сам способ, докажем не- сколько вспомогательных утверждений. 1. Если уравнение Е(х)= 0 имеет на отрезке (а, Ь) й корней, а при переходе от а к Ь е последовательности Е(х), 7'(х), ... ..., 7т">(х) теряется Ее+21 перемен знака, то уравнение имеет еще по крайней мере 2Е комплекеньгх корней. Действительно, пусть между — эо и а имеется й, действитель- ных корней, а между ь и +со йа действительных корней.
По тео- реме Бюдана при переходе от — сю к а в последовательности Е(х), 7'(х), ..., 71в>(х) теряется к>+2Е, перемен знака, а при пере- ходе от Ь к + оо теряется кя+ 2Е, перемен знака, где Е, и Е,— некоторые целые числа. Число перемен знака, теряющихся при пере- ходе от — со к +оо, равно и. Таким образом, и =Еь>+йя+Ег+ +21-1-21>+2(а, а число комплексных корней з=п — й,— Еея — я, Следовательно, з= 2Е+2Е, +2(я) 2Е. 9 2» 91 отделения козней 2. Если функция У'(х) на отрезке [а, Ь[ имеет две непрерывные производные и )'(х) на этом отрезке не обращается в нуль, то функция у(х) =х — —, является возрастающей в тех г" (х) Г (х) точках, где г'(х) и у" (х) имеют одинаковый знак, и убывающей в тех точках, где они имеют разные знаки, Действительно, [Е (х)[э — эт (х)У(х) У (х) ~"' (х) [ у'(х)»' [у'(х)»ь а это означает, что при у(х)у" (х)) 0 функция р(х) возрастает, а при )'(х)у'(х) с.
0 убывает. Из второго утверждения можно получить два следствия. Следствие 1. Если на отрезке [а, Ь[ уравнение г'(х)=.0 имеет два действительных корня, а ~" (х) не обращается в нуль на этом отрезке. то имеет место неравенство У(Ь) У(а) у'(Ь) у' (а) Действительно, пусть а, р (а ( 'Р) — корни уравнения у (х) = 0 на отрезке [а, Ь[; ~'(х) имеет на отрезке [а, Ь» только один корень. Он расположен между х = и и х = Р. Кривая у = 1(х) на отрезке [а, Ь» или выпукла или вогнута в зависимости от знака ун(х), поэтому 1(х) и ге(х) на отрезках [а, а» и [Р, Ь[ имеют одинаковые знаки (рис. 4 и 5). Следовательно, функция ~у(х) =х —, на этих у (х) У'(х) Рис.
5. Рис. 4. отрезках возрастает не(а) с ~р(и), ~ь(~) ( о(Ь). Но ~р(а)=и, а~у(р) =Р, поэтому о(а) <'.~(~) и, тем более, ~ь(и) (о(Ь). откуда и следует, 1 (Ь) У(и) "" Р(Ь) У'() ~~ Следствие 2. Если на отрезке [а, Ь» уравнение у'(х)=0 имеет один корень х,, а функции Г(х), ун(х) не обращаются в нуль и 1(х)ун(х)) 0 на [а, Ь[ и имеет место неравенство — — — (Ь вЂ” а, то его можно нарушить, увеличив а или у(Ь) у(а) г' (Ь) у' (а) уменьшив Ь на соответствующую величину, В самом деле, функция о(х) возрастает при изменении х от а до х, и при изменении х от х, до Ь, а функция э(а) — р(х) будет 92 гашение алгаввличвских и тгансцендвнтмых явавнвний [гл.
7 убывать на [х,, Ь] от +со ло ~р(а) — а(Ь), а функция а(х) — ~Ь(Ь) будет возрастать от у(а) — а(Ь) до + х~ на [а, х,]. Если а'~ [а, х,[ и Ь'~ [х,, Ь] и близки к х,, то ~р(а) — с~(Ь') ) О н су(а') — <р(Ь) ) О н, таким образом, /(Ь') у(а), у(Ь) у(а') — — — )Ь' — а, —,— —,—,)Ь вЂ” а'. У' (Ь') з" (а) ' У' (Ь) У' (а') Теперь можно изложить способ фурье отделения действительных кормей алгебраического уравнения у'(х) = О степени а. Пусть нам лана уравнение г'(х) = О степени и. Образуем последовательность у (х), )' (х), ..., ~<"'(х).
На отрезке [а, Ь[, на котором могут быть действительные корни, возьмем ряд возрастающих чисел а, х,, аа, ..., а„, Ь. Если прн переходе от а; к аз,., наша последовательность не теряет ни олной перемены знака, то уравнение не будет иметь ни одного корня на отрезке [а„а,„,].
Если теряется только одна перемена знака, то имеется только один корень н он уже отделен. При потере двух перемен знака могут быть два случая: 1) на [ач а;~,] имеется два кормя уравнения и 2) на [а;, а,,] нет корней. В последнем случае уравнение Г" (х) = О имеет обязазельно пару комплексных корней. Если потеря перемен знака происходит в первых трех функциях последовательности, то эти два случая можно различить. В самом деле, у" (х) не имеет корня в [аь а;,,]. Поэтому, если окажется, что у(аз+1) у(аг) — — )а; — а, у' (аг+ ) у' (аг) то по следствию взорого утверждения у(х) не может иметь двух корней в [аь аг+,], т. е.
на отрезке нет ни одного корня. Если неравенство не выполняется, то нужно на отрезке [аь а;~,] выбрать точку р н проводить рассужления с отрезками [ач р] н [р, а;,,[. В общем случае, когда число потерянных перемен знака при переходе от а; к агь, больше двух или равно двум, но потери происходят не за счет первых трех функций, вопрос может бысть решен следующим образом.
Обозначим через ба число перемен знака потерянных при переходе от а, к а,+, в последовазельностн уЧ 1(х) у' ' '(х) увй(х) Общий случай соответствует Ьч)~ 2. В последовательности ба, б,, ... найдем первое число, равное 1. Пусть это будет б . Тогда б может иметь значение О нли 2; первый случай невозможен, так как пз условию 4,)~2, и поэтому можно было бы найти б,= 1 с 1 с.т Если при этом б „+ О, то всегда можно так уменьшить отрезок [а,, аг „[, взява, с а' <. а', (а ~, что корень уаю(х) принадлежит отрезку [а', а,'„,[, а г< +О(х) не имеет там корней.
Тогда ]йю(х) не имеет корней на ]а, а',~ н ~а'~п а,~ н, следовательно, 93 ф 2) отдавания когнвй Ь для них равно нулю. Поэтому первое из 44, равное 1, перемещается для этих очрезков влево. Для отрезка (я',, а,',,! будем иметь !!м а = 2, Ь = 1, Ь „= О, При этом может оказаться, что Ь не будет первым из Ь, равным единице. Тогда мы так же переместимся влево и будем повторять наши рассуждения. Таким образом, нам нужно только рассмо греть случай, когда Ь, = 2, Ь = 1, Ь 4, = 0 и Ь вЂ” первое из Ь, равное 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
