Том 2 (1160084), страница 20
Текст из файла (страница 20)
(а — 5)(а — 6) (а — 7) 31 Т Р" оР" 31 Х 1 з Г (а — 5) (а — 6) (а — 7) (а — 8) Х 7зра.-з — ...~ — ... = О. (227 хз — 4хз+бхз — Зла+ 2.х+ 1 = О Схема вычислений и результаты выглядят следующим образом. Общий корень р этих двух уравнений также находят простым делением. Оба приведенных способа отыскания аргументов комплексных корней требуют громоздких вычислений. Рассмотрим пример. Решить методом Лобачевского уравнение 112 РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ТРАНСЕЕНЛЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. 7 о о о сс ооо о о с.. во" о сч сО с'ссэ о Ас а В о оо Ф о о .с. сс сс 'Ф + сс сс сс с с'с ч .с. Ч Ю ' сс сС + .с. сс Ч ! сс сс !Гл.
7 УРАВНЕНИЙ $ О ! ч О ЧЧ В !! сО О 'Г оГ с,с о О й О !! Бс сс !! !! ОГ Ф !! Д !! + С~ $ БЧ О + Г О О БЮ 3' сс со Бс 3' О ос О 9- о н О О!Я с ! ъ о!' 3 !! ь .с о о о ос а. О" о и 1!4 РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ Э-' о Я о со сс О СЧ + + о с~ сТ о оГ О О О О со о О !! БЕ 31 чгтол чоглчгзского гвшгння ллгвзгличвскнх гглвнвннй 115 3. Метод Лобачевского, Случай близких или равных корней.
Если в уравнении имеется нара близких по абсолютной величине корней, то наш метод не дает возможности найти каждый нз них в отдельности, так как если, например, х, х,, то в равенстве (х,ха)~+(х,х,,)~+ ... +(х„,х„) = — ' со два слагаемых будут близки друг к другу.
Но тогда мы сумеем найти нз равенства (х,хгх,) + ... =— в с1 со пРоизведение хгх,, а дальше бУдем отыскивать тРехчлен хг — Рх+ + х,хг, являюшийся делителем ) (х), что позволит нам навин )г = х, + х,. На этот случай может быть перенесен также метод Энке. Если имеется несколько пар равных по модулю комплексно- сопряженных корней нлн равных по модулю действительных корней, то может получиться, что процесс квадрнровання не приведет к цели.
Так, например, если заданное уравнение будет х'+х'Г-хз+-х+ 1 = О, то все квадрнрованные уравнения имеют внд х' — х'+- х' — х + 1 = О. В этом случае целесообразно сделать замену неизвестного на х — й, что приведет к разделению корней с равными модулями. Если корни уравнения необходимо найти с большой точностью, то после вычисления их приближенных значений по методу Лобачевского целесообразно произвести нх уточнение, используя методы последовательных приближений, о которых мы будем говорить позже.
Применение этих методов для уточнения требует меньшего объема вычислений н позволяет избежать трудности работы с очень большими числами, с которой приходится встречаться в методе Лобачевского. 4. Погрешность метода Лобачевского. Погрешности в значениях корней, полученных по методу Лобачевского, могут происходить по трем причинам: 1) в силу неточности коэффициентов исходного уравнения точные значения корней не могут быть найдены: это — неустранимая погрешность, не завнсяшая от способа получения корней, н мы на ней останавливаться не будем; х; 2) процесс квадрнровання уменьшает величины отношений — „' х$ г н чем большее количество раз проведен процесс квадрнровання, тем точнее будут приближенные равенства для определения корней.
но прн любом конечном числе квадрированнй этн равенства будут $ 3) метод ловачевского гашения ллгевглическик зрлвнений 117 Уа где выписаны только наибольшие слагаемые. Так как Уа х, баба — то при достаточно большом лг ад=, — достах б„ точно малая величина. Далее, заменяя в числителе все отношения Уа нулями, а в знаменателе наибольшей величиной, получим неуд, ' равенство откуда У йа Г у )з (па 1+(Са г — 1) а ~ =аа ~1+ага†(1)„=С„- — 1). (27) 1+ — '"" + Уа — Уа !+— Уа Уа, Заменяя в числителе все слагаемые, кроме первого, нулями, а в зна- 7 Уа менателе наибольшим значением !1 — ~, мы уменьшим правую часть, ~у,,! ' а заменив все отношения в числителе наибольшим отношеннем —, Уа,.т Уа Уа Уа 2ва г) Напомним, что ( 1, позтому — ~ Уа-т Уа — т ! -2'А-(! -4'аба)' при достаточно больших т невозможна так как к -ьо при лг-ь+со, а р не 2аа зависит от гл, и следовательно ! -а+ со при гл -вой.
1 — 2'А — (' — 4'аба) ' Если гл настолько велико, что 4аа))а ( 1, то нз неравенства (27) следует: — ( 2оаТа, где Та —— Уа 1 ') (28) 1 — 2аава+ (1 — 4аая )в Более простой, но несколько более грубой оценкой будет (29) уа 1 — 2аара Рассмотрим теперь отношение Х УБУгз '' ' Уса ба <,«,.-. <~а Уй у!з ° У!а '<т <! « "та- <" 118 яашение алгззяаических и твлнсцзндвнтных Уаавнений (гл. 7 а все отношения в знаменателе нулями, мы увеличим правую часть.
Следовательно, 1 1,~~~- —,'-1с„"-' — ь~ < ' <1,1~~.-' — "1с'„— ч1 у„н а-1 Уа или Уа 1+~) — ~ <» <У»~1+1 .„,— ~, Уа , ~ Ь, откуда ~)+гав-1 ~ <Уа (» ~1 (-()а — ° (30) »а ) Уа+1 1 Уа а1 Уа 1, Уа- Используя неравенство (29), получим: или (1 2"»~АР»+~) «< Уа <» (1 2"аРа) ° (31) ьа ьа -1 ь»1 ь,, Так как у»= х1,, то 1 1 1 1 (» а ) (1 — 2паа~Ра ) <!хам <(» а ) (1 — 2паРа) ° (32) Если ха — приближенное значение ха, полученное после и квалрирований, то ха = —. Следовательно, (32) можно записать в такои »а а ьа виде: ~ ха ~ (1 — 211аа 1()а „)"' ~< ! ха ! < ~ х„! (1 — 2аф) '". (33) Оценка (33) неудобна тем, что с помошью ее нельзя заранее предсказать число квадрирований, необходимых для получения нужной точности.
Этот недостаток можно исправигь, наложив новые ограничения на уравнение. Допустим, что сушествует такое число 0(г(1, что ~хг „1(<г~х,! (1= 1, 2, ..., и — 1). Тогда (х)! <г1-'~х1~ при 7 ~ 1'. Положив г'= г'", будем иметь уу <11 1уо Пусть учун ... У,а — некоторое слагаемое в сумме Ьа= .'5,' Уьуь ... У, . Тогда 1<1 <1 « 1аКВ 1 11 1а (1,-Ц+(1,-11+.„.Н1 -а1 1~+1+ ° ° +1а а У1У1 ° Уа 5 31 метол ловлчевского гашения алгезваичвских твлвниний 1!9 а следовательно, 2!Ьпи Ь+1 '1 ° ° 112 2 б <УУ "Ув Х (22Кп =У У . Ул1! -!-()~И)1 (34) Число слагаемых в сумме, стоящей в правой части неравенства (34).
имеющих одну и ту же степень р, равно числу целочисленных решений уравнения 1, + !2+ ... + !2 = 22+ ( + гг(Гг+ 1) УЗУ2 ° ° ° У12 <пй <У!У2 ° УЙ!1 ~ Ол(г)1 (35) Аналогично . Уь-1 < э <У У2 У 11+ 22 (1)1 откуда У,11+~),,(!)1-' < ц' —" <У,(1+(),(!)1. Следовательно, — "11+Ял(У)1-' <У„'- — '" 1!+ й, 1(1)) аь, Ьа (3о) или 1 1 1 1 2 )~11+()2(()) '" <(хл) <(-2 ) 11+2)2 1(!))'", (37) или 11+для) и' — 1 ' . <11+ Яа 1(!)1 — 1.
(38) — !«! — )Хв! ~ 2~ Таким образом, относительная погрешность зависит только от г, и, лг и Ф. Если известно г или хотя бы его нижняя граница, то можно и1пользовать эту оценку для определения числа квздрирова1шй з (2' = л2), необходимых для получения корней с нужной относительной погрешностью. Найдем зеперь величину 2)2(г), Известно, что число целочисленных решений уравнения 2+'''+ " Р+ 2 л(л+ !) равно коэффициенту при «г в многочлене (! «и) (! «и-1) (! «2-2.~1) Рп. 2 («)— «) (! «2) .
(! «2) (39) удовлетворяющих условию ! < 1, < !2 «... 12 < п. Так как коэффициенты 1)2(Г) — целые положительные числа, то 120 гвшгнив ллгвввличвских и твднсцвндвнтных илвнвний (гл. 7 Таким образом, 1+ д,(1) = Р„,,(1). Вычисление значений Р„,а(1) для всех й=1, 2, ..., и требует большой вычислительной работы, поэтому целесообразно найти и, при котором Р„, а(г), где 1 — фиксированное положительное число, не равное единице, имеет максимальное значение.
Так как гч — л Р„, лег И)= Р а(1) — аТ, ги в 1 1 г ) га ! ! гч — а — 1 Л, 1 Г а 1 + Г + Р + + Г а где Л )~ 1, если и — вг. — 1 ) и, и Л ( 1; если и — й — 1 й, то Р„,ав.г(1)) Р„,а(1) при и ( Р,, ав-г(г) (Р,.а(г) при и) Это означает, что (40) Если в (36) и (37) заменить 1+-ьга(1) и 1+ф, г(1) через Р „(г), то получим оценки. пригодные для всех корней. В качестве иллюстрации допустим. что нам дано л = 10, г = 0,9 и произведено четыре квадрирования. Тогда т =- 2'=-16, 1=(0,9)гв= =0,01863, и=! — ~~=5. !23 (! — г9(1 гг).,(1 бв) 1 + г вк(1) — (1 Г) (1 Гв) ''' (1 Гв) (1+ (в)(1+14)(1+вв ! (в)(1+ 12+14)(1+1+12+ + вв) Простые вычисления показывают, что 1 1+ф,(У) (1,01922, а 11+(га(1фв ( 1 0012 Отсюда 0 0012 ( 1 ( к ( 1 0012 1 0 0012 1,0012 ~ ка ~ Таким образом, относительная ошибка корней после четырех квадрирований не будет превышать 0,00!2.
Допустим теперь, что уравцение имеет комплексные корни, но такие, что соотношение ! ха ! ( г ) к„, ! сохраняется для корней с разными модулями, и если ха — действительный корень, а кач, 5 3! метод лОБАчевскОГО Решения АлГББРАнческих РРАвнений 121 и хь„,— пара комплексно-сопряженных корней, то [ха+я! < '!х,!. Тогда будут применимы все предыдущие рассуждения лишь с очень небольшими изменениями.
Вместо неравенства (35) будет справедливо неравенство [у1 ! ! уа !... ! ув ! < ! ЬА ! < ! у1 ! ! уз !... ! ул ! [! + ЯА (~)[. (41) Прт 9А(Ф) < 1 левая часть этого неравенства может быть заменена на ! ЬА ! )~ ! у, ! ! уа !... ! у„! [1 — Оь (1) [, и следовательно, [у,[[у !... [у [[1 — С~~(1)[ ([д„! ([у, [[у,!... [у [[1+(~~(1)[. (42) заменив ь1А(1) максимальной величиной Р „~ (1) — 1 = Я(1), получим: 1 1 1 1 — <[хв! <! " ~ ~ ~ . (43) Оценим теперь скорость сходимости процесса квадрирования.
Пусть мы провели дополнительное квадрирование. Тогда ! 1 1 1 ~= 1+Е(Г) ' эа ~' 1+()(г) '" а„,! 1 — Е() а,,! где да — коэффициенты нового уравнения. Допустим, что проведено достаточное число квадрирований, так что 1 настолько мало, что можно пренебречь его высшими степенями. При этом ~1+() (Г)~ы ~ 1+сг ~ы 1+2е~ в то время как 1+0(ГБЦББ1 (1+ сгз !Бм ГГБ Г= -[- — ', 1 — 1;> (Гя)1 [1 — сГ11 т ' где с коэффициент при 1 в Я(1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
