Том 2 (1160084), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Это показывает, что относительная погрешность будет убывать в отношении 1/2 при выполнении одного квадрирования. Все предыдущие рассуждения проводились в предположении, что при реализации метода Лобачевского все вычисления проводились точно. На практике же приходится ограничиваться лишь конечным числом разрядов, т. е. проводить округление результатов операций.
Поэтому даже если коэффициенты исходного уравнения были точными числами, то после некоторого числа квадрирований мы получим уравнение с приближенными коэффициентами и эта погрешность в дальнейшем будет сказываться на коэффициентах, а следовательно и на корнях уравнений, получающихся при последующих 122 Решение АЛГВБРАических и тРАнсцендентных УРАВнений [гл. 7 квадрированиях. )Гать какие-либо чочные оценки влияния э1их ошибок округления в коэффициентах квадрированных уравнений очень трудно, Поэтому мы приведем лишь очень грубые рассуждения, которые будут указывать на опасность резкой потери точности при применении метода Лобачевского В том или ином конкретном случае. Рассмотрим сначала случай уравнения с различными по абсолютной величине действительными корнями.
Г!усть после з квадрирований мы получили уравнение у +Ь,у -+Ь,у.-+ ... +Ь„,у-+܄—.О, зе корни которого у,= — х,'., Предположим, что Ьа имеют л» верных знаков. Выполняя еще одно квадрирование, получим уравнение г +Ь',з"-'+Ь,,'г"-а+ . +Ь',г+ Ь' =- О. корнями которого будут числа — ун — у",...,, — у'г Так как Ьа= Х У У;.
° ° У„ '(' <ь« " 'а(" Ь а = »й У;,У;„° ° У', 1(ц (И« ...»а (ч / з то Ь» ( Ью С другой стороны, по самому способу построения квадри- рованного уравнения а Ь» =Ь» — 2Ь» — ~Ь»м+2Ь» АЬ»ьа 2ЬА з"».з+ . ° ° Можно считать, что Ь» и Ьа Ьа„у имеют по л» верных знаков.
1 а Если Ь» имеет порядок Ьа, то это будет означать [при небольших лн Р что Ьа будут также иметь л» верных знаков. Но если Ь» значительно меньше, чем Ьа, что будет в том случае, когда из Ьа вычитается сумма 21Ь»,Ь»+,— Ь» »Ь»+а+...), близкая к Ьа, то будем име~ь Ь"„ резкую потерю верных знаков в Ью Если —, имеет порядок 1О", ь то в Ь» мы теряем примерно Ь верных знаков.
Но УНУь У~а — <[1+Я»Я[а Ь У,,У„У,, У1 У»з ° ° ° У» )(;, < ь« „, ,, (в У1У» ° ° Уа '" У'а так как ~~) „,,А ) 1. Таким образом, по вели- 1($ (н(.. <~ (в .е чине [1+11»[фа можно судить о по~ере значащих цифр в о». ~ 3[ метод лОВАчевского Решения АлгевРАических УРАВнений !23 [Ьь[' ([1+(ЕР)1' [ ЬА ~ 1 — <;) (Г ) ' [1 + !') (!) [2 т. е, и здесь по величине отношения можно судить о по- 1 — 2;) (22) тере точности в результате округлений. 5. Видоизменение Лемера метода Лобачевского.
Наряду с исходным многочленом Р (х) а!и!хи+ а!и!хи — ! + + а~е! х + а!21 о ! и-! и (45) рассмотрим многочлен Яе (х) = Ре (х — 72) = — Ре (х) — 72Р., (х'! -! — ... = 1!азах -[- а'"х"-'-г- ...;+ аи' х + а!ей-4- е 1 и-! и ! /2 [Ь!мхи-1 [ 5~о!хи — 2+ + Ь!о) .
ЬИ1~ (46) где а — произвольное действительное или комплексное число. В равенстве (46), как и всюду в дальнейшем, не выписываются явно члены с 722 и более высокими степенями 72. Очевидно, Ь["1= — (и — 1+1)а!!! ((=1, 2, ..., Н). (47) В целях упрощения записи формул мы условимся в дальнейшем считать все а! 1, Ь("1, где 1 отрицательно или больше и, а также Ье' равными нулю. Будем квадрировать многочлен 1,!В(х). Восле Ш! Если рассмотреть крайний случай, когда все корни уравнения равны, т.
е. у, =у!= ... =у„= у, то Ьз = (С",у)2, а Ь„=С„"уа. ь Огсюда —,=С', н так как СА может быть велико, то мы будем и иметь большую потерю точности. Например, если а = 10, а а = 5, ь5 то —,=С! = 252 и, следовательно. можно ожидать потери двух ь' 1 знаков при каждом квадрировании. В случае близких по модулю корней мы тоже будем иметь большую погерю !очности и корни по методу Лобачевского будут найдены с большой относительной погрешностью. Точность будет тем лучше, чем лучше разделены корни, В случае наличия комплексных корней, но при ограничениях на модули корней, при которых имеет место неравенство (42), заме- няя (,!2(!) через я(ь)=я~„~ (г), получим: 124 гашинии ллгивглнчвских и тглнсцандвнтнык гглвнвний (гл, 7 первого квадрирования получим многочлен О1 (х), коэффициенты которого имеют вид (а(()+ЬЬ) )+...)2+2 1( — 1)" (а)), + ЬЬ)1) 2+ ...) Х Х (а(22+йЬ! ) 2-+- ) =(а(~)+ ЬЬ!н+ ° ° ) + 1-1 + 2 ~, ( — 1) ~1 (а7) + вь)~) +...
) (аа!) у + ььа),) +... ) = 1-1 а)"' + 2~ ( — 1)1+)а) о~~7 ! + 2-2 ! — 1 + 2Ь )е)Ь(2) ( ~ 2+у ( (е)Ьго) + го) Ь(о)) + 2-2 Таким обрааом, СГ!(х) примет вид +2В~Ь)1)хв '+Ж)х" + ... +Ь~„) 1х+Ьг„)]+..., (48) где 1-1 у-о ! — 1 (2)Ь(е)+ р ( 1) '~ !2)Ьгег) ~ ге) 1-о 21-1 !+1 ~о)Ь!о) (49) При последующих квадрированиях мы будем получать многочлены Я2(х), с)2(х), ..., коэффициенты которых находятся последовательным применением формул (49), т. е. Щх) = (а!22)х" +а!2)х"-1+ ... +а!2),х+ага)~+ +2 Ь~Ь)Юх" '+Р4")х" 2+ ...
+Ь1„)!х+ЬЯ+..., (50) где 1-1 о(а-и)' ) 2~ ( 1)'+3 !'-') ("-1) ,)-о 21-1 Ь(2) 'Ц! ( 1)!+Ф ге-!)Ьгй-1) = ~~ ( — ) а! 21-!. 3-а (б 1) Обозначим корни уравнения Ре(х) = 0 через х,, ха, ..., х„, причем будем предполагать, что ) х) ~ ) ха ) ) ... > ) х„!. ф 31 метод ловичввского гашения алгевеаичвских углвнений 125 а()+2 ИЬ(")+... =(х,+И) (ха+И) ... (ха+И) + + (ха+ И) (Х2+ И), (ха 1+ И) (хаи1+ И) + +(х„2„,+И) (х„! 2+И) ... (х„+И) =х! ха ... х; + + х',"хт... хт,х"', +... + хт,хт, ... х,",'+ -1-22И~хт 'хт... хт+ х"'хт 'хт... х"'+ ...
2''' ! ! 2 2 ... + х„,,х„,,... х„,х„-']+... и И вЂ” произвольное число, то а(2)=Х Х, ...Хт+ХтХт...Хт Хт + 1 1 а ''' ! 1 2 ''' а-! !.!.1 и-а+1 и-!+2 ' ' ' и' Ь(2)= Хт — 'Х ... Хт+ Х Х, -'Хт... Х".'+ ! 1 2 ''' ! 1 а 2 + хт. хт...,хт х -'. и 1-1-1 и-а+2 ' ' ' и-1 и Полагая здесь 1=1, 2, ..., и, получим: аг!2) = хт!+- х~" + хат+ ... + х, а12)= Х'„'Хт+Х',"Хт+ ...
+Х'„",Х"1, 1 2 (52) + х„,хт '. Ь! 12) Ь~и) (53) )2) т ! !и и! т и-! т т Ь„= х1 ха ° ° ° хи + х1 ха ха ° ° ° хи + аи т !» т-1 ... +Х,Х, ...Х„)Х„ Корнями уравнения !)2(х)=0 будут: х,+И, х,+И, ..., х„+И. Если обозначить 2" через ла, то корнями уравнения 92(х) = 0 будут — (х,+И), — (х,+И), ..., — (х„+И)™. Не уменьшая обшности, можно предположить, что а<и)=1, тогда и все а!2)=1. а о Так как 125 Регнгние АлгевРАических и тРАнсиендентных УРАвнений 1гл.
7 Предположим сначала, что )х)~))хз)) ... ) !х„~. Тогда 5(й) фа) из-! ! !и — ! э! х, х, (л) из- ! т !)з х! хз .хз 154) т т т и-! ... +.х, хз ... х„,хи А(й) Полагая с, = — ', получим: (й) а' ) х„! 1 1 + х х с„= — -1- — +- ... +— (й) 1 1 1 х! хз х„ или 1 х,— —. ! с(й) ' ! 1 (й) (.) (5о) 1 хз (й, (й! сз' — с, 1 хи — (й) (й) си — си ! Если корни действительны, но )х!)=)хз! = ... =)х,( ) )х„)!) ... ) (х„~, НА т а, х,, (й) т т (!) т т т аз х,хахз (й) 1 с, ! Рй) 1 сз — — + х! сз — + (ц 1 х, !и т-! х! х! и т — ! !и+ + хт хи!хт — ! ф 31 метод ловлчввского вешания ллгввгаичаских тгавнвний 127 то ив (52) и 153) имеем: !)(„' гС'„ХГ~ ан' —, С" х«, Г ' Г 1 ()1) Гза СР а!.
-1-1 ХР Х, 1, Ра) Рз СР— ! Р«и-1 Рч ))~+1 Х) Х, „.1 + ГХ Х, (56) (З) Рт СР,ч ах х1 х, !! ... хР ГРЗ / М вЂ” 1 Рч Ю ()„=х) 1х«с, х„е, ... х„+ ЗР СР ЗР- !т откуда с("1 — =, с,,") —, ..., с( ) — — —, Х, —, ..., с(з)= — + 1 1 с(') з = «+з + —- Х,Г, ХГ,Р 1 г Х„+ Х, Следовательно, ! «+ 1 ()с) (ц ' С«11 СГ (57) 1 1 !Щ (Е) " 11= М (З) с'„, ! — с,, с„' — с„ Рассмотрим теперь случай, когда имеется пара комплексно- сопряженных корней. Пусть это буду! корни хо х,: х, = р (соа Рр + 1 а(п Рр), хз = р1соа о — 1 а(п Рр), Относительно остальных корней предположим, что они удовлетво- ряют условию ~Х((=(хз)) ~хз!) )!Хч) а( ) — гх,", аз( ) - С;х~!™, 1 х,= —, ((Р) ' 1 ))(1 ) ГХР ))(~") 2С,Х,~ с'а)— 1 Г+' Х,+, 128 гишинив алгввгличиских и телнсцвндвнтных тглвниний [гл.
7 Тогда из (52) и (53) следует, а("'= 2р созт<р+ха + ..., что б(11= 2р 'соз(т — 1) у+. 51з1=2р'~ 'сов~р+ + 2р"1-'х~ысов(т — 1) ч + рй ат т-1 бз =р хз + -+2ра -'х сову+ аа =р +р хэ созтт+ ..., <а1 зт . ы м (в1 ят т аз =р ха+ 5~~1= 2р ~ 'х~~ ... Х~сов~р+ +-рз"'(х"'-'х"' ... х"' + ... 3 а ' ' я ....+х'"хт... х"' хт '), Э 4 '' к-ь ч ай аы и а„=р х, ...х„, нли р' жа~"', р= тг' а~"', ~41=2р' 'соло, (58) т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
