Том 2 (1160084), страница 25
Текст из файла (страница 25)
7 4. Метод Эйтиена. Используя первые два приближения, полученные по методу секущих, найдем следующее приближение с помощью равенства: (ах1)в х =х— авх 1 В этом случае х, = 2,4, х, = 2,4136677, хз = 2.4141927. х =24+ (' ) =2,4142137. 0,0131427 Если использовать первые три приближения, полученных по методу секущих, то хь — — 2,4136677+ 00005049 2,4142136.
Значение искомого корня с восемью верными знаками и = 2,4142136. Таким образом, все восемь верных знаков мы получили по методу Ньютона после трех шагов, по методу Чебышева третьего порядка— после двух шагов и после трех шагов по методу секущих и последующего уточнения по методу Эйткена. 5 б. Решение систем уравнений Решение системы уравнений Л(х,, ха, ..., х„)=0 (1=1, 2, ..., Н) (1) представляет значительно более сложную задачу, чем решение одного уравнения. Мы опишем только наиболее распространенные методы решения систем, 1. Метод итераций решения систем специального вида.
Пусгь известно, что система хг=- рг(х1, х,, ..., х„) (1= 1, 2,..., и) (2) в некоторой области пространства х,, х,, ..., х„имеет единственное решение х;=из (1= 1, 2, ..., Л), а хгю — числа, соответственно близкие к и; (1=-1, 2... „Н). При некоторых ограничениях на функции рг(х1, ха, ..., х„), исходя из этих приближенных значений, можно найти приближенные значения аг с наперед заданной точностью, Это уточнение может быть выполнено с помощью метода итераций, заключающегося в том, что по хю1, х(В1, ..., х1В1 находится следующее приближение по формулам: х10,7, 1х1о, х1о1 х1о>1 (( 1 2 и) 151 й 51 РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ По полученным значениям находятся ХГЦ= 9 сх(1), х(15 ..,, хш1 (1 = 1, 2...,, и) и т. д.
Если найдено й-е приближение х(,">, х!~Ю, ..., х(Ы, то (й+ 1)-е приближение находится по формулам: х~ь+н=у,(х(ь', х(Ы, ..., х'„"') (1=1, 2, . „„и). (3) Если при й-+ со х(ьи — +оп (1= 1, 2,..., и), то говорят, что метод итераций сходится к искомому решению. Для того чтобы получить решение с нужной точностью, практически продолжают процесс до тех пор, пока два последовательных приближения будут совпадать с заданной точностью. Прежде чем формулировать условия сходимости метода, для удобства записи соотношений и формулировок введем некоторые понятия и обозначения.
Будем рассматривать х„ х,...., х„ как компоненты и-мерного вектора х = (х,, х,, ..., х„). Определив норму вектора х равенством ((х((,= шах )х(), (4) с ь ь, ..., и можно ввести понятие расстояния между векторами х' и х", положив р (х', хь) = )~х' — х" ~(, = шах ! х, — х, ) (5) Определим оператор у=Ах, где у=(у,, у,, ..., у„), а у(=~((х(, х,, ..., х„). Если положить х(ю =(х(ы, х(Ы, ..., х(Ю), то вместо и равенств (3) можно писать одно векторное равенство: л"ььи = Ах(АЕ (7) Будем говорить, что система функций ~р((х(, х,, ..., х„) (1=1, 2, ..., п) удовлетворяет условию Липшица с константой К в некоторой области О, если лля любых двух векторов х', хь~ О имеют место неравенства (<р((х') — ср((хь)( ( К р(х', хь) (1 = 1, 2, ..., п). (8) Достаточное условие сходимости метода итераций для решения системы (2) дает следующая (пеорема: Если на мнолсестве 1( всех векторов х, для которых р(х, а) ( г 1а=(а,, а,,..., а„)1, систелш функций ~р((х(, х,,..., х„) (1=1, и) удовлетворяет условию Липшица с константой К, меньшей единицы, то при любом начальном векторе х(ь' ЕЙ последовательность (к=О, 1, 2, ...) (7) х("ьн = Ах(~( 152 Решение АлгеьРАических и тРАнсцендентных УРАВнений 1гл.
7 сходится к а, причем р(х!"), а) <А"р(х!о1, а), (9) Справедливость этой теоремы легко следует из принципа сжатых отображений. В самом деле, оператор Ах осуществляет сжатое отображение 77 в себя, так как если х~ !с и у = Ах, то р(у, и) =р(Ах, Аи) =- шах) <рь(х) — срь(а) ) (Кр(х, а) (г, т. е. у~ос.
Далее, если х', хь~ 77, то р(Ах', Ах") = шах(~рь(х') — срь(х")! (Кр(х', х"), и так как К < 1, то отображение Ах — сжатое отображение й в себя, Множество векторов гс является полным метрическим пространством, следовательно, по принципу сжатых отображений в !с существует одна и только одна неподвижная точка, т. е.
одно и только одно решение уравнения х=Ах, которое будет пределом последовательности (7) при любом векторе хм! ~ !с. Но так как и~)7 и а=Аз, то а и есть неподвижная точка, т. е. з= !!ш х!а!. (1О) Ь.ььь Далее, р(х!Ы, и) =р(Ах!" '), Аи) (Кр(х!ь '1, и) (11) или ( !ю ), 7( ( ~ь-ь! „) (7(зр( <ь-а! „) ( ((гар( !о! а) что и доказывает неравенство (9). Если мы будем понимать под !с совокупность векторов х, для которых р(х, уо) (г (уо — фиксированный вектор) и в й система функций уе(х) (1=1.
2, ..., и) удовлетворяет условию Липшица с константой К ( 1, а (12) Р (Ауо уо) ( (1 — 7() г* то из теоремы $ 3, уточняющей принцип сжатых отображений, следует, чзо система (2) имеет в 77 единственное решение, которое можно получить методом итераций, исходя из произвольного х"! ~ 77. Предположим теперь, что в некоторой выпуклой области сг пространства х,, х,, ..., х„функции ~ре(х) имеют непрерывные первые производные, М! = Шах ~ — ~ и в области О система (2) дто(х) ! дтч! дху ' У о ~дху~ имеет единственное решение и =(а,, за, ..., а„), Предположим далее, 153 $ 5] гашение систем гглвнвний что при некотором начальном приближении х!м=(х~~1, х!"1, ..., х!'!) все следующие приближения хйв=(х!">, х!"!, ..., х!ю)! х!")=Ах!"-'! (1=1, 2....) (13) не выходят из об!асти О, Тогда дт! (р!! !) дт! (р!ю) дт (р1,"!) дх1 дх! ' ' ' дхч дт! (р1~!) дт! (р!" 1) дтз (р1~!) дх! дх, ''' дхч (15) дт„(р~~!) дт„(р!а1) дт„(р!ю) дх, дх! ''' дх„ Тогда равенства (14) можно коротко записать в виде одного вектор- ного равенства х!л! — а = М„, (х! и — а), (16) из которого имеем: хйв — а= М„!Ма а ...
М1Ме(х!'! — а). (1!) Для того чтобы х<"!-+а при я-+со, достаточно выполнения условия (18) М! 1Мл ! ... М,М,-+О при Й-+со. Но это условие будет выполнено, если М вЂ” +О при к-+ со, где а Мн М!! ™1 — Мы Мн ° Мен Мч! Мни . Мяч (1ж так как элементы матрицы М, по абсолютной величине не больше соответствующих элементов матрицы М, а отсюда уже следует, что элементы матРицы М1,Мл а... М1Мв по абсолютной величине не больше соответствующих элементов матрицы М'. Но для того а чтобы М -+О, необходимо и достаточно, чтобы все собственные числа матрицы были по модулю меньше единицы, достаточным же х(ю — а ° = !Р ° (хш !)) — !Р (2) = " аз!(р$я-н) (х!" '! — ау) (1=1, 2, ..., и), (14) дхт 1-1 где р(" '! — некоторая точка отрезка прямой, соединяющей точки (х1," ", х!зь '>, ..., х!„"-'!) и (ао а,, ..., а„), Обозначим через М„ матрицу 154 гашение ллгееглических и тглнсцендентных тглвнений !гл.
7 условием является условие, что какая-нибудь норма матрицы меньше единицы. Если собственные значения матрицы М по модулю меньше единицы, то х1ь>-+а, а это означает, что если начальное приближение выбрано достаточно близким к а, то все х1го не будут выходить из области ьг, и мы будем иметь теорему: Если функции рь(х,, х,, ..., х„) (1 = 1, 2, ..., и) в некоторой выпуклой области О, содержащей решение а=(а,, аг, ..., а„) системы (2), непрерывны и имеют непрерывные первые производные, то для сходимости метода итераций достаточно, чтобы у матрицы (19), где М;1=шах[ — ь[, все собственные значения ~ дть '=, [ду' были по модулю меныие единицы, а начальное приближение хгм=(хГ,'>, х~"~, ..., х(ь)) достаточно близко к решению х=(а,, аг, ..., а„).
В частности, зто условие будет выполнено, если какая-нибудь из норм матрицы М меньше единицы. Из этой теоремы вытекают следующие практически более удобные достаточные признаки сходимости метода итераций. Для сходимости метода итераций решения системы (2) достаточно выполнения одного из следующих трех условий: ~~,'г М; (1 (1=1, 2, ..., и), (20) 1 ~ М;. с 1 Ц = 1. 2... „и), (2!) ь-ь Х М,<1, (22) ц у ь причем в этих случаях за х1т можно принимать любой вектор х1Ю из окрестности р(х, а) = [[х — а[[г < г (1= 1 или 2, или 3, в зависимости от того, рассматриваем ли условия (20) или (21). или (22)), а [[х — а[[, = гпах [ хь — аь [; [[х — Цг =,Сг [х; — аь[; 1=! Гг в [[х — а[[, ( $гг ч (хг — а,)', (23) ! 1 если только зта окрестность целиком принидлежит О.
Неравенства (20) — (22) соответственно означают, что первая, вторая нли третья нормы матрицы М меньше единицы. 2. Метод Ньютона. Рассмотрим систему п уравнений с и неизвестными гч(хм х,, ..., х„) = 0 (1 = 1, 2, ..., и). (24) 155 Решение систем уРАВнениЙ Относительно функций 71(х) предположим, что в некоторой выпуклой области О, содержащей решение з = (ин аа, ..., И„) системы (24), они имеют непрерывные производные первого порядка и в некоторой окрестности решения и матрица дг1 ддг"! дг1 дх1 дхэ ' ' ' дх„ дУ1 дЕ'1 дУ1 дх! дхэ ' ' ' дх„ (25) г (х)= дУН аЛ, ЭД.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
