Том 2 (1160084), страница 28
Текст из файла (страница 28)
+ — ')(1 — — ')(1 — — ')...(1 — — '), (29) так как г'„(О) = ( — 1)" а,аа... сс„, У„'(О) = ( — 1)" [аааз... а„+-асазас... а„+сс,аа... а„с), ~„'(ас) =( — 1)" '(а, — сс)(аа — а„)... (а„— а). Методом индукции докажем, что 0 <(1+ — "+ — '+ ... + — ')(1 — — "'))( Х(1 — — „'')... (1 — — ")<1. (80> Так как при 1)~ 2 0 < — ' < 1, то при и = 2 ас Это — итерация для решения уравнения ,сс (х) уя (ОНА (х) — Уя (О)) х (0) [У„(х) — у„(0) ) — У„(0) у„(х) х Для того чтобы итерация (24) сходилась к а, достаточно, чтобы в некоторой окрестности а имело место неравенство ) ф' (х) ( < К < 1 (26) и а(" было взято из этой окрестности.
Но (26) будет иметь место, если 170 гвшвнив ллгввгличвских и тглнсцвндвнтных гглвнвний [гл. 7 и неравенство (30) справедливо. Пусть оно справедливо при п = лг. Тогла при и = гв+ 1 я| ч1 +1 ' +1 так как каждая квадратная скобка положительна и меньше единицы.
Таким образом, неравенство (30) справедливо при всех а. Из (29) и (30) имеем: Сравнивая (18) и (31), мы видим, что 0 < 'у' ( ) < р' ( ) < 1. х4+ 7ха-[-24ха+25х — 15. За начальное приближение снова возьмем д г(х) =х'. Результаты вычислений приведены в таблице: Второе частное Первое заставе ь ,(х) "1 хг хв 16,03 14,9396 15,0048 29,44 30,0128 29,9986 — 15 — 15 — 15 24 15,47 14,1)771 15,0018 7 5,17 4,991 0 ,83 — 0,93 ,009 — 1,004 ,9993 — 0,9997 а зто означает, что в рассматриваемом случае метод Фридмана сходится быстрей метода Лина. В общем случае области сходимости метода Фридмана и метода Лина не совпадают.
Проиллюстрируем метод Фридмана на примере, который испольаовался для иллюстрации метода Лина, т, е. выделим квадратный множитель многочлена 171 й 61 методы выдвлвния множитялвй Таким образом, после трех приближений мы получили результат почти с такой же точностью, как и после 12 приближений по методу Лина. Ксли по полученному разложению найти корни многочлена, то получим: х, = — 2,4135, ха —— 0,4142, хз,с= — 2,5004 + 2,9580('. В случае выделения квадратного множителя, если известно л-е приближение искомого множителя да, а(х) = х + ()( х + ((1, первое а (а) Ф) частное х"-а+.с(")х" '+- ...
+с("),х+с(а), и остаток г(мх+г(ь) находятся по схеме, приведенной в начале параграфа, причем оста ° ток можно использовать для оценки точности достигнутого приближения. Отыскание второго час)ного с(с х +(1( х+((а, деля кото- но а ро (а) рое на с(~~~, мы получаем следующее приближение, сводится к вычислениям по формулам( с()с) ьс() ) (а) ~к-а ()с = — „1а„а — с„сс(( — сч,(1; ), ()с) 1 с (а) (а) (а) (а)( с(а) с„ (32) 7'„(х) = х" -+ а(х" -' (- ... + а» (х + а„(33) на трехчлен (га(х) =ха+Рх+(7 (34) с неопределенными коэффициентами р и (1. Обозначив через Е(х) частное от деления, получим тождество У„(х) = — (х'+ Рх+ (7) Е (х) -1- хР (Р, 7) + () (Р, (7), (35) где Р(р, (7) и (,((р, (7) — многочлены от р и (7.
Для того чтобы при некоторых значениях р, (7 трехчлен (34) был делителем 7'„(х), необходимо и достаточно обращения в нуль многочленов Р(р, (7) и ()(р, 7). Таким образом, для отыскания коэффициентов квадратичного делителя (34) многочлена 7„(х) нужно найти решение системы Р (р, (7) = 0; Я (р, д) = О, (36) Хичкок предложил для решения этой системы метод, который по существу является методом Ньютона. но только в методе Хичкока не используется явный вид многочленов Р и ь), а нх значения и значения производных, нужные в методе Ньютона.
находятся путем двукратного деления ун(х) на приближенное выражение на(х). 3, Метод Хичкока выделения квадратного множителя. Произведем деление заданного многочлена 172 Решение АЯГББРАических и тРАнсцендентных УРАВнений (Гл. 7 Учитывая. что а(= — Рас — »7 (1= 1. 2) равенства (39) можно записать в таком виде: (40) ас(Рр(р, (7)+Я(р, <7) — рус(р, 4))+Яр(р, (7) — (7»т (р, 7)1= 0, а)1Рч(р, »7)+ Ус(р, <7))+Яд(р, <7)+о(р, д)) =О (41) (1= 1, 2). Если тРехчлен ха-(-Рх+4» имеет Различные коРни, т. е. а, Ф ас. то из (41) следует равенство нулю каждой из квадратных скобок, поэтому Р (р, (У)=рЛ(р. »7) — 5( .
»7); Р (р с()= — й(р. 4) ) (42) ()Р(Р. 4) =Ф(Р. 4): ()ч(Р.4)= — ~(Р,4) 1 Таким образом двукратное деление У„(х) на ха-(-рх+(У позволяет получить и частные произволные от Р(р, »7), (е'(р, »7) по р и »7, и систему (36) можно решать по методу Ньютона. Если уже известно Ус-е приближение р<") и 4(") — коэффициентов искомого множителя, то двукратным делением на трехчлен Аа+ р(л)х+<7("> находим Р (р(А), у)(л)) () (р("> »7(л)), Р (р(ь), у)(л)), 5 (р(л), »7(")) н по (42) Рр(р(А), у)(")), Рч(р<А>, »7(А)), Яр(р("), »7(А)).
<;)Ч(р(А), у)<У»)); в соответствии с методом Ньютона находим следующее приближение р<"+'>, »7(А+с), решая систему Р, (Р(л) 4(А)) ДР(А) + Р (Р(А) <7(Ы) ДД(л) Р (Р(л) 4(/с)) (43) Я (р(л) У)(Ю) Др(л) + () (р(УУ) 4(А)) Д<7(Ус) (» (р(й) (Ус)) где (44) Др(Ю вЂ” р(л+») р(л) Дс)(л) с)<А+1) у)(л) Покажем, как можно на этом пути получить производные от Р и Я. Разделим многочлен Д(х), входящий в (35), снова на ха+рх+<7 и запишем тождество (.(х)=(хз+рх+<7)У.»(х)+хй(р, (7)+Ыр. <7).
(37) Подставляя Д(х) в (33), будем иметь: у„(х) =— (ха +рх + <у)а (., (х) + (ха + рх + <7) (хй (р, <7) + я (р, »7)1 + +хР(р, »7)+Я(р, »7). (38) Продифференцируем последнее тождество по р и »7 и в результат дифференцирования подставим вместо х один из корней а<(1 = 1, 2) трехчлена (34).
В результате получим: а,)с(р, уу)+-сс<5(р, (7)+а(Рр(р, уу)+-Яр(р, »7)=0, ) ас)1(р, У))+5(р, <7)+а(Р~(р. ())+(;)ч(р, »7)=0 (39) ((= 1, 2). 173 методы вылвлвния множитвлвй $ 61 откуда р~н йрй> 0 625 аз — Ьг71М вЂ” 1 224 Дальнейшие вычисления понятны без пояснений: — 15,0000 24,0000 25,0000 — 7,0698 — 21,4876 0,6250 3,6100 1 7,0000 — 1.2240 — 1,224 0,625 10,9720 Р, = 7,1224; Ц, = — 4,0280 17,5552 1 5,7760 — 1,2240 — 1,224 0,625 0.6250 ~ 1 й, = 4,5520 5, = 18,1802 12,6086 Ар<и -1- 4,5520 Ьфп = 7, 1224; 2,8450 Ьрп> +- 18,1802 Ьфп = — 4,0280; Ьргп = 0,6835; Ьфп = — 0,3285; рач = 1,9075; 41а1 = — 0,9535; 24,0000 25,0000 — 15.0000 — 9,7139 — 29,0695 0,9535 4,8557 1 7,0000 — 1,9075 — 1,9075 0,9535 Рг=О 78621 Яа= 0 4690 1 5,0925 — 1.9075 15,2396 — 1,9075 0,9535 0,9535 11 Йа=3 1850 За= 16,1931 Если начальное приближение рй', 410 выбрано достаточно хорошо, то сходимость не вызывает никаких сомнений, П р и м е р.
Снова будем разыскивать квадратичный множитель многочлена ~а(х) = ха-+ 7ха-1 — 24ха+ 25х — 15. Приняв за начальное приближение ргм = О, ф~> = О, двукратным делением 7,(х) на ха находим; Ро=25; 11о= — 15, А'а=7; Бе=24. (Для сокращения записи полагаем Рь=Р(р<а>, 4чч~) и т. л.) Система (43) примет вид 24 Ьр(о> 7 Ьд% = — 25 — 25 си)ся = 15 174 гвшвнив ллгввнличвских и тзлнсцвндентных гилвивний [гл. 7 10.1177Ьр1з1+ 3,1860Ьфм = 0,7862; 3.0369 узр1х) +- 16,1931 7заг" = — 0,4690; Арал) = 0,0923; йу'> = — 0,0463; р1з) 1 9998.
д1з1 = — 0,9998. Отклонение третьего приближения от точных значений р = 2, а=- — 1 равно 0,0002, УПРАЖНЕНИЯ 1. Показать, что нули многочлсна г"-'; а,г" — г+ ... + а„тг+а„ по модулю не превосходят единственного положительного нуля многочлена г" — ! а, ! г" ' — ... — ! аи ~ ) г — ( аи 'Ь 2. Показать, что нули многочлена г" +а,гч-г+ ... + а„,г+а„ пРи аи чь О по модУлю не меньше единственного положительного нУлЯ многочлена ли + ( а, ! ги-з + ( аз ( г"- з + ...
+ ( аи т ) г — ( аи [. 3. Пусть аз, аи ..., аи — положительные числа и аи>!а,!ии з+! [а + ... +~а !ас. Показать, что нули многочлсна г" + а,гч-г+ ... + а„ не превосходят по модулю наибольшего из чисел 4. Показать, что корни уравнения г"+а,г"-'+ ... +ли ~г+аи =О нс превосходят по модулю наибольшего из чисел п)а,[, [lл~ь П ф л[азП ..., ™~/а~а„~, а такзке наибольшего из чисел )аа[ (1=1,2, ..., л).
2и Сз 5. Пусть рз)рт) рз) ... ) р„)О. Показать, что в единичном круге [г( н, 1 не содержится ни одного нуля многочлеиа рс+рхг+ ... +р тгя — т+рз, и, 175 упглжнвния 6. Локазать, что если все коэффициенты рь рь ..., Р„многочлена Роли+РФ' '+ "° +Ри-за+ Ри положительны, то нули его лежат в круговом кольце а ~ ( г ) ~( 8, где а — наименыпсе, а 8 — наибольшее из чисел —, Рз Рэ Ри Ро ' р! ' " '' р -!' 7.
Используя теорему Ролла, найти условие действительности корней уравнения хм + рх" + ~у = О, 8. Лля уравнения Раох" +а,хи — 1+ ... +ая ~х+ач=О построена последовательность функций 7(х) = аохч+ а~хи-'+ ... + аи-зх+ а„, у,(х) =лохи-'+ а,х"-э+ ... +а„ уо, (х) = аох+ аа Ди(х) = ао.
Локазать, что число действительных корней уравнения Х(х) =О, превышающих данное положительное число а, не превышает числа перемен знака в нашей последовательности при х=а и разность между этими числами всегла четное число (теорема Лагерра). 9. Найти положительные корни уравнения х =!их с точностью до 10 ~. !О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
