Том 2 (1160084), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Контроль обратного хода осуществляется с помощью столбца еп Если в окончательной системе заменить Ь! на еп то должны получить вместо х, величины х! + 1. Проверка полученных результатов может быть сделана также путем подстановки их в исходную систему уравнений. В нашем случае получим последовательно в левых частях равенства: 1,54711; 1,64712; 1,74710; 1,84711. Как мы видим, рас- мятод исключиння хождения между правыми и левыми частями не превосходят двух единиц пятого десятичного знака, что нужно считать удовлетворительным.
Смысл выбора главного элемента состоит в том, чтобы сделать возможно меньшими и>< и тем самым уменьшить вычислительную погрешность. Как известно, при работе на цифровых машинах, да и при работе вручную, наибольшее количество времени затрачивается на производство действий умножения и деления.
Поэтому важно знать„сколы<о действий умножения и деления потребуется для решения заданной системы. Если система имеет порядок и, то после выбора главного элемента нужно произвести и — 1 делений для определения коэффициентов гиь Затем нужно умножить строку, содержащую главный элемент, на каждый из этих множителей. Лля этого потребуется <п+ 1) (п — 1) = пз — 1 умножений. Таким образом, первый шаг работы по схеме Гаусса требует п' +п — 2 умножений и делений. Следующий шаг потребует (п — 1)з+(п — 1) — 2 таких операций и т. д.
Всего до обратного хода нужно произвести ]из+и — 2]+](п — 1)з+(и — 1) — 2]+ ... +]!з+! 2] п(п+1)(2п+1) + п(п+1) 2 4 б 2 операций умножения и деления. Для обратного хода потребуется 1+2+3+ ... +п= п+ ) (5) операций умножения и деления, если не производить контроля с столбцом ап Столько же операций потребуется при использовании такого контроля.
Итак, всего на решение системы п уравнений по схеме Гаусса с выбором главного элемента и текущим контролем потребуется + 2и + и (и + 1) = — (из+ 6п — !) (6) операций умножения и деления. 2. Компактная схема Гаусса. Придумано много различных видоизменений схемы Гаусса, дающих те или иные преимущества. Приведем одну такую схему. Рассмотрим сначала систему четырехуравнений общего вида: <о> <о> <о> <о> <о> амх, + а„х, + ажх, + ам хо = а<а, <о> <о> <о> <о> <о> аз< х, + азах, + азах, + аз<хо = азз <о> <о> <о> <о> <о> а„х, + азах, + аззх, + азах, = ам, <о> <о> <о> <о> <о> аз>х, + а„х, + а„х, + а„х, = азз 14 Решение систем линейных Алгезганческих УРавнений [гл.
6 <о) а„ (о> а„ (о> аз <о) а41 <о) а15 <о> ааз аЦ~ (о> а45 (0) а!2 <о> азз (0] а<ж (о) а,з <о> аж <о> азз <о> азз <о> аа <о) а!4 <о> аы <о> азз (о> а44 <>(н 1 (2) с„ 3<1> б(з> 2! 22 0(!),(2) 21 зз 04<и (, <З> о 42 (2) П) сы сщ <4) (4) СЫ Сзз <В) (В! С„С55 <71 1 <з) с„ <2) с!з с'4) 315) 15) Ь;2 (и> по] ж> хз хз ХВ Цз) х! Верхнюю половину схемы мы отводим для коэффициентов и свободных членов исходной системы, а в нижней половине будут помещаться промежуточные и окончательные результаты.
Верхний индекс показывает порядок получения промежуточных и окончательных результатов. Величины <)11 просто совпадают с соответствующими величи- (1) на м И а<.'> и выписываются здесь лишь для удобства пользования схемой . Величины с('> вычисляем и о формулам 14 а(0) с(2> ы (/ 2 3 4 б) а(!> 11 При этом уравнение х, + с<,') х + 54') х + с<2>х = сф (9) эквивалентно первому уравнению исходной системы.
После этого вычисляем величины <];з (! ) 1) по формулам (2) бы — — аж — <]( ! с !2 <з) <о) (!) <2> (10) (1= 2, 3, 4). Таким образом, ()~зз> будут являться коэффициентами при х, во втором, третьем и четвертом уравнениях системы после исключения в них неизвестного х, с помощью уравнения (9). Следующим этапом будет являться получение коэффициентов и правой части второго уравнения после исключения из него указанным выше способом неизвестного х, и последующего деления на Исходные данные, промежуточные и окончательные результаты будем записывать в следующую схему: э 21 мвтод исключвния а само это уравнение запишется в виде х, + с<') х, = с<') (15).
Остается еще исключить х, из четвертого уравнения. При этом. коэффициент при х4 в нем примет вид Ьч = аа, — Ьп с<4 — Ьысы — Ь<зса4. (!) (0) (!) (а) (3) (4) (а) (4) (16) а свободный член после исключения х, и деления на коэффициент при х, будет „<о) ЬП) (а) а<з) Ер а<а) (4) 44 ап) 44 При этом четвертое уравнение запишется в виде х = с(а). 4 44' (17). (18) Нетрудно заметить, что для системы и уравнений при отыскании величин Ь<„У, с)!) следует поочередно использовать фоРмулы у — ! Ь4)1 ')=а<,) — ~~!, Ь!'а" пс~,~~ ((=(', /+1, ..., и), (19) 3 ! ,! — 1 „(о) к~ Ь(аа !) <аа) с<а<я= ', (1=)+1, У+2, ..., и+1). (20) <а(- И коэффициеит при х.
Очевидно, эти величины с<4) будут определяться по формулам: я(о) З(цс(а) с(')= ' (1=3, 4, 5). Ь(з) (11) аа Таким образом, после преобразования второе уравнение примет вид х + <4)х + с<4)х, = с<4). (12) Далее будем исключать неизвестное х, из третьего и четвертого уравнений. Опять сначала подсчитываем коэффициенты при ха в третьем и четвертом уравнениях.
Они определятся по формулам: Ьааа а(за~ Ь((<с<з Ь(асй! (( = 3. 4). (13) Первые два члена правой части этой формулы дают коэффициенты при х, третьего и четвертого уравиеиий после исключения х,, а после вычитания последнего члена получим результат исключения ха. Коэффициенты и правая часть третьего уравнения после деления на коэффициент при х, примут вид (о) Р) П) Ь(з) (4) с(П= з' а! <! а' ~! Ц=4, 5), (14) а!' Ьф 16 вешании систем линейных ллгевелических яялвнений [гл. 6 Если проследить ход вычислений по схеме, то легко обнаружить закон образования величин ф " и сф~. Неизвестные х„, х„,,..., х, находятся последовательно из системы уравнений х(+ .4а с,з хе=с(,„.>, !(=п, и — 1, ..., 1), (21) (ай з-зе! Будем называть эту схему компактной схемой Гаусса.
При решении системы и уравнений по компактной схеме Гаусса требуется произвести столько же умножений и делений, как и в схеме главных элементов. Однако она требует меньше записей. Схема допускает такой же контроль, как и ранее. Так как вычисления по компактной схеме Гаусса более систематизированы, чем по схеме главных элементов, то процесс вычислений легче программируется для автоматических машин. С другой стороны, вычисления по этой схеме могут привести к большой потере точности. Кроме того, для того чтобы процесс вычислений был осуществим, нужно требовать отличие от нуля всех о!(' Приведем результаты вычислений при решении приведенной в начале параграфа системы (!) по компактной схеме Гаусса: 0,12540 0,13970 1,16750 0,17680 0,20710 1,21680 0,24710 0,25680 О,!4900 0,187!О 0,22710 1,26710 1,54710 1,647! 0 1,74710 1,84710 1,11610 0,15820 О,! 9680 0,23680 3,07730 3,33670 3,59490 3,85490 О,!1236 ! 0,12517 0,13350 1,386!7 1,!4972 ! 0,13655 О,!4437 1,24187 0,18499 ! 1,16691 ! 0,14921 1,06655 0,22049 ~ О,!9705 ~ 1,17425 ~ 0,88!30 2,75720 2,52279 2,21576 1,88130 1,1!610 0,15820 О,! 9680 0,23680 0,98696 ~ 0,93505 ~ 0,88! 30 Применяя компактную схему Гаусса, мы элементарными преобразованиями переводим матрицу А системы в верхнюю треугольную матрицу 1 ссз! с(М с( ( ...
с(' 1з 1В 14 ''' зп С = 0 1 сзз сзз ... сз„ (и (н (и (22) 0 0 0 0 1 Интересно отметить, что если рассмотреть еще матрицу 5(,',! 0 0 0 ... 0 (23) 5(П 5(з! 5(з! Ь(П ... 5(з" '! в1 вз яз вз ''' В,в 17 э 21 метод исключвния также получающуюся в процессе наших вычислений, то имеет место равенство А = ВС. (24) 3. Обращение матрицы. Равенство (24) можно использовать для обращения латрип. Эта задача важна как сама по себе, так и в тех случаях, когда приходится решать много систем с одной и той же матрицей, но с различными правыми частями, Перепишем (24) следующим образом: А В=С, СА '=В '. (25) Матрица С будет верхней треугольной, и ее диагональные элементы равны единице. Поэтому если обозначить элементы ма- -1 я (и+ 1) трицы А через бм, то первое из равенств (25) даст уравнений для определения ЫО.
1= 1 2 З...п, у г бой О 0...0, 1 0...0, (26) 13«-Н «««««« Так как матрица В ~ нижняя треугольная, то и (п — 1) даст еще уравнений для отыскания 2 второе из равенств (25) У= 2 З...п1 бы+~~'.,ббс1г)= 0 0 ... О, (27) с(з +,», с(ос~,1 = 0...0, з 3 1з«-з1 б«-ь «+ б««с«- ь « = Это равенство просто получается, если использовать формулы (19) и (20).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
