Том 2 (1160084), страница 2
Текст из файла (страница 2)
4. Некоторые приемы исследования устойчивости разностных схем (531). 5. Некоторые общие замечания (536). 6 8. Метод прямых решения граничных задач для дифференциальных уравнений в частных производных 1. Сущность метода прямых (537). 2. Метод прямых решения задачи Дирихле дая уравнения Пуассона (539). З.Метод прямых решения смешанной задачи для уравнения колебаний струны (548). 4. Метод прямых решения смешанной задачи для уравнения теплопроводности (554).
4!0 410 412 443 !61 490 506 516 537 ОГЛАВЛЕНИЕ 6 9. Вариационные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений математической физики .......... 561 1. Метод Ритца решения операторных уравнений и отыскания собственных значений операторов в гильбертовом пространстве (562). 2 Метод Ритца приближенного решения краевых задач для линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка эллиптического типа (574). 3. Некоторые другие вариационные методы(582).
4. Метод Ритца решения задачи о собственных значениях (585). 5. Метод Галеркина решения краевых задач (588). 9 10, Приближенные метолы решения интегральных уравнений ... 590 1. Решение уравнений Фредгольма методом замены интеграла конечной суммой (590). 2. Решение интегральных уравнений Фредгольма второго рода методои заиены ядра на вырожденное (597). 3. Метод моментов (604).
4.Метод наименьших квадратов (608). 5. Метод последовательных приближений (611). 6, Приближенное решение уравнений Вольтерра (613). Упражнения . 618 Литература . 620 ПРЕДИСЛОВИЕ В соответствии со сказанным в предисловии к книге, помещенном в первом томе, второй том содержит главы б — 10, что соответствует второй части курса «Методов вычислений», читаемой для студентов 4-го года обучения. и. С. Березин, Н. П. ЖиДков ГЛАВА б РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЪ|Х АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИИ В 1.
Классификация методов Главой о численных методах решения систем линейных алгебраических уравнений мы начинаем второй раздел нашей книги, посвященный решению алгебраических, трансцендентных, дифференциальных и интегральных уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений наиболее просты и в то же время к ним приводятся многие задачи численного анализа.
Известное из курса высшей алгебры правило Крамера для решения, систем линейных алгебраических уравнений практически невыгодно, так как требует слишком большого количества арифметических операций и записей. Поэтому было предложено много различных способов, более пригодных для практики. И в настоящее время значительная часть литературы по вычислительной математике посвящена этому вопросу.
Однако сейчас еще нельзя указать один или несколько способов наиболее эффективных в смысле быстроты получения решения с нужной точностью и минимального использования запоминающих устройств. Требуется большая и тщательная теоретическая и экспериментальная сравнительная оценка многочисленных известных способов с этой точки зрения.
Мы дадим в этой главе лишь несколько уже давно испытанных методов и несколько методов, имеющих с нашей точки зрения перспективы для практики. Используемые практически методы решения систем линейных алгебраических уравнений можно разделить на две большие группы: так называемые точные методы и методы последовательныл лрнолиженид. Точные методы характеризуются тем, что с их помощью принципиально возможно, проделав конечное число операций, получить точные значения неизвестных.
При этом, конечно, предполагается, что коэффициенты и правые части системы известны точно. а все вычисления производятся без округлений. Чаще всего они осуществляются в два этапа. На первом этапе преобразуют систему к тому или иному простому виду, На втором этапе решают упрощенную систему и получают значения неизвестных. Методы последовательных приближений характеризуются тем что с самого начала задаются какими-то приближенными значениямгв 10 Решение систем линейных АлгеБРАических уРАВнений 1гл.
6 неизвестных. Из этих приближенных значений тем или иным способом получают новые «улучшенные» приближенные значения. С новыми приближенными значениями поступают точно так же и т. д. При выполнении определенных условий можно придти, вообще говоря, после бесконечного числа шагов к точному решению. Под нашу классификацию не подходят способы решения по методу Монте-Карло. Так названы методы, использующие случайные величины, математические ожидания которых дают решение системы.
Пока методы Монте-Карло не могу~ соревноваться с другими мето.дами, названными выше. Поэтому мы не будем ими здесь заниматься. а» Ь! еа и/и. ац О,!2540 1,!6750 0,20710 0,24710 0,11610 0,15820 О,!9660 0,23680 1,54710 1,647 1О 1,747!О 1,847!О 3,07730 3,33670 3,59490 3,85490 О,!3970 О, П680 1,21680 0,25680 О. 14900 О,!8710 0,22710 1,26710 9 2. Метод исключения Мы начнем изучение численных методов решения систем линейных алгебраических уравнений с точных методов.
Простейшим из таких методов является метод исключения. С методом исключения мы сталкивались уже в обычном школьном курсе алгебры. Комбинируя каким-либо образом уравнения системы, добиваются того, что во всех уравнениях, кроме одного, будет исключено одно из неизвестных. Затем исключают другое неизвестное, третье и т. д. В результате получаем систему с треугольной или диагональной матрицей, решение которой не представляет труда. Метол исключений не вызывает каких-либо теоретических затруднений. Однако точность результата и затрачиваемое на его получение время будут во многом зависеть от организации вычислений. Этому вопросу мы и уделим основное внимание. Рассмотрим ряд схем, осуществляющих метод исключения на .примере системы четырех уравнений с четырьмя неизвестными: 1.
1161 х, + 0,1254 х, + О, 1397 х, + 0,1490 х4 = 1,5471, О. 1582 х, +- 1,1675 ха + О, 1768 х, -1- 0,1871 х, = 1,6471, 0,1968 х, + 0,207 ! х, + 1,2 ! 68 х, + 0,2271 х, = 1,7471, (1) 0,2368 х, + 0,2471 ха+ 0,2568 хз+ 1,2671 х4 — — 1,8471, .Каждой схеме мы припишем то или иное название. Правда, эти названия не являются общепринятыми. 1.
Схема Гаусса с выбором главного элемента. Если вычисления производятся не с помощью автоматических вычислительных машин, то удобно нашу систему записать в следующую схему: 9 2! мвтод исключвния в ( ап 1,11610 0,12540 0,13970 0,15820 1,16750 0,17680 0,19680 0,20710 1,21680 0,23680 0,24710 0,25680 — 0,11759 — 0,14766 — 0,17923 0,14900 0,18710 0,22710 1,26710 1,54710 3,07730 1,64710 3,33670 1,74710 3,59490 1,84710 3,85490 Будем теперь прибавлять к каждой из строк схемы строку, содержащую главный элемент, умноженную на соответствующее т;. Строку, содержащую главный элемент, в дальнейшем не выписываем. Не выписываем также и столбец, в котором содержится главный элемент, так как он состоит из нулей.
В нашем случае получим: ! п)п. т» лп ав ац 1 — 0,09353 1,08825 0,09634 О, 10950 2 — 0,11862 0,12323 1,13101 0,13888 3 ~ 0,15436 0,16281 1, 17077 1,32990 1,37436 1,41604 2,62399 2,76748 2,90398 Мы вписали сюда же значения т», которые получатся на следующем шаге. Производим проверку правильности вычислений. Для этого складываем столбцы аы и д» и сравниваем со столбцом з». Если расхождения в пределах ошибок округления, то считаем вычисления правильными. Если расхождения слишком велики, то повто* раем соответствующие вычисления.
В дальнейшем поступаем с нашей таблицей, как и с предыдущей. Выбираем главный элемент (в нашем случае это будет 1,17077) и делим на него элементы того же столбца. Результаты с обратными знаками записываются в столбец т» (у нас это уже сделано). Затем последовательно умножаем строку, из которой взят главный элемент, на л»» и складываем с соответствующими строками. Производим В первом столбце мы записываем номера уравнений.
Значение второго столбца будет ясно дальше. З-й, 4-й, б-й и 6-й столбцы содержат коэффициенты уравнений, а 7-8 столбец — свободные члены. Последний столбец содержит суммы коэффициентов и свободных членов данной строки. Выбираем теперь наибольший по модулю элемент аы. Будем называть его главныл». В нашем случае это а»» = 1,26710. Он в схеме подчеркнут.
Делим все элементы столбца, в котором находится главный элемент (в нашем случае ац), на главный элемент и отношения с обратным знаком помещаем в столбце т» в той же строке, где находится делимое: 12 гвшанив систем линвйных Алгввгличвских УРАВнений [гл. 6 проверку и переходим к следующему шагу. Так продолжаем до тех пор, пока у нас не останется одна строка. В нашем примере будем иметь: ап 1 — 0,07296 2 1,19746 1,20639 1,07381 0,081!1 0,10492 1,11170 2,35238 2,42301 1,10944 ~ 2,17560 ! 1,066!6 Взяв уравнения, в которых выбирались главные элементы, получим новую систему, эквивалентную данной: 1,06616 х, = 1,10944, 0,10492 х, + 1, 11! 70 х, = 1,20639, 0,15436 х, + 0,1628! хе+ 1 17077 хз = 1 41604 (2> 0,23680х,+0,24710х,+0,25680х,+-1,26710х„= 1,84710.
! Матрица новой системы треугольная. Решение такой системы не встретит затруднений. Находим: 1,10944 х, = !'056!6 —— 1,04059, 1,Ю639 — 0,10492 ° 1,04059 1,09721 8 7 1,1 1-170 1,11170 1,41604 — О, !5436 ° 1,04059 — О, 16281 ° 0 98697 1,09473 0 93505 [3) х,— ' 1,17077 1,17077 1,847 ! 0 — 0,23680 1,04059 — 024710.
0,98697 — 0,25680 ° 0,93505 х 1,26710 = 0,88130. 1,267! 0 Приведенную нами схему исключения неизвестных назовем схемой исключения Гаусса с выбором главного влемента. Сам процесс исключения называют прямым ходом, а решение системы с треугольной матрицей — обратным ходом. При практическом использовании схемы Гаусса не следует, конечно, разрывать отдельные этапы, как это сделано нами для облегчения объяснений. Не следует также выписывать и окончательную систему уравнений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
