Том 2 (1160084), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Так как В ' снова треугольная матрица, то прямой ход при решении системы уравнений по компактной схеме Гаусса эквивалентен умножению системы на треугольную матрицу. !8 Решение систем линейных АлГеБРАических уРАВнений [гл. 6 Таким образом, мы получили л' уравнений для определения неизвестных элементов Нз обратной матрицы А . Решение системы (26) — (27) не представляет труда. Полагаем в каждом из уравнений (26) 1=в и находим последовательно и'„,„, !(„,„,, ..., А,, о Затем из уравнений (27) при 7'=и находим сг -св.
с!Б-кв, °, Агь Потом снова возвращаемся к уравнениям (26) и, полагая в них 1=л — 1, находим 4, г „ь А!„Е„а, ..., Б(, кп После этого из уравнений (27) при 7'=л — 1 находим г( -кв-и ° °, А,в-п Так, переходя поочередно от системы (26) к (27) и наоборот, мы в конце концов найдем все л!7. Вычислительная схема остается прежней, только вместо одной строки для неизвестных х! у нас будет л строк для матрицы А Если воспользоваться результатами.
полученными при решении примера (1) по компактной схеме Гаусса, то без труда найдем, что матрица, обратная к матрице данной системы, будет такова: 0,93794 — 0,06844 — 0,07961 — 0,08592 — 0,08852 0,90599 — 0,09919 — 0,10560 А '= (28) — 0,11135 — 0,11697 0,87842 — 0,12707 — 0,13546 — 0,14018 — 0,14381 0,85161 Интересно заметить, что при этом оказывается 0,99999 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 1,00001 0,00000 — 0,00001 А 'А= ' ' ' .
(29) 0,00000 0,00000 0,99999 0,00000 0,09000 0,00000 0,00000 1,00000 Точность вполне удовлетворительна. Если бы точность нас не удовлетворила, то для уточнения можно было бы применить какой- либо метод последовательного приближения, о чем будем говорить позже. 4. Вычисление определителей. Схемы Гаусса можно применить для вычисления определителей. При этом никаких новых трудностей не возникает, поэтому только кратко опишем для примера применение для этой цели схемы Гаусса с выбором главного элемента.
Анализируя схему Гаусса с выбором главного элемента для решения системы уравнений, легко убедиться, что при выполнении прямого хода мы совершаем такие преобразования матрицы коэффициентов исходной системы, при которых величина ее определителя не изменяется. После завершения прямого хода получается метод исключения б. Схема Жордана. Когда мы решали систему по схеме Гаусса, то на каждом шаге число уравнений уменьшалось на единицу. Будем теперь оставлять все уравнения, но при выборе главного элемента не будем учитывать коэффициенты тех уравнений, из которых уже выбирался главный элемент.
Получим новую схему, которую будем называть схемой Жордана. Так как здесь нет по сушеству ничего нового, то мы лишь проиллюстрируем эту схему на том же самом примере: и/ т, ац ам ао аи 1 — 0,11759 1,11610 0,12540 О,!3970 0,14900 1 54710 1,647! 0 1,74710 1,84710 3,07730 3,33670 3,59490 3,85490 2 — 0,14766 О,! 5820 3 — 0,17923 0,19680 4 0,23680 1,16750 0,17680 0,18710 0,20710 1,21680 0,22710 0,24710 0,25680 1,%7!0 2,62399 2,76748 2,90398 3,85490 1 — 0,09353 1,08825 1,32990 1,37436 1,41604 0,09634 0,10950 1,13101 0,13888 0,16281 1,17077 0,24710 0,25680 2 — О,! 1862 3 4 — 0,21934 0,12323 0,15436 0,23680 1,26710 1,84710 — 0,07296 2 3 — О,! 4645 4 — 0,19015 1, 19746 2,35238 1,20639 2,42301 1,41604 2,90398 1,26710 1,53651 3,21794 1,07381 0,08111 0,10492 1,11170 0,15436 ~ 0,16281 1,17077 1 2 — 0,09841 3 4 0 !7163 1,10944 2,!7560 1,Ю639 2,42301 1,23936 2,54912 1,26710 1,30711 2,75720 1,06616 1,11170 0,10492 О,! 3899 0,18299 1,17077 1,10944 ! 2,17560 1,09721 2.211891 1,09472 2,26549 1,11670 2,38380 1,06616 1,! 1170 1,17077 1,26710 система с такой матрицей, которую путем перестановки строк н столбцов можно преобразовать в треугольную матрицу.
причем на главной диагонали будут стоять наши главные элементы. Следовательно, определитель матрицы исходной системы только знаком может отличагься от произведения главных элементов. С каким знаком нужно брать это произведение, легко сообразить, не выполняя преобразование матрицы к треугольному виду. Эти рассуждения показывают, что для вычисления определителя по схеме Гаусса с выбором главного элемента нужно в точности повторить прямой ход для решения системы по этой схеме !не выполняя действий со столбцом свободных членов), а затем взять с соответствующим знаком произведение главных элементов.
20 гвшвиив систем линвйных ллгвввличвских гвхвнвний (гл. 6 Отсюда без труда находим: х, = 1.04059; х, = 0,98697; х,= 0,93504; х, = 0.88!30. (30) При решении по схеме Жордана система приводится к диагональному виду и обратный ход значительно облегчается. Всего для решения системы и уравнений с текущим контролем по схеме Жордана требуется произвести ля+ 4111 — л (3 !) операций умножения и деления.
Каждый шаг прямого хода по схеме Жордана эквивалентен умно. жению системы уравнений слева иа матрицу вида ~ 1 О ... .„ О ... О О 1 ... „ О ... О О О ... ! О ... О О О .„. а, , 1 ... О (32) Оо...в„г О...1~ если не выбирать главный элемент, а идти последовательно, исключая х,, хз.... с помощью первого, второго, третьего, ... уравнений. а„х,+ а„х,+ ... -+а,„х„=Ь,, аз1х1-+ аззхз+ ... +- аз„х„= Ь, (33) 1"л1х1+ авзхз+ ... + а х = Ь Рассмотрим матрицу а11 а11 ... агв Ь, ая1 а з ...
азл Ьз (34) ал1 ага ... а„„ Ь„ — 1 О ... О О Подберем постоянные у,, ум ..., ул так, чтобы после умножения первой строки матрицы на у,, второй на у,, ..., л-и на у„и сло- 6. Схема без обратного хода. Приведем еще одну схему исключения, при которой вообще не требуется обратного хода. Пусть дана система уравнений 21 метод исключения жения их с послелней строкой в этой последней все элементы, кроме крайнего правого, обратились бы в нули.
Таким образом, у,, у,,..., у„ должны удовлетворять системе уравнений аггуг-!-аггуг+- 4-аггу =1, ажуг + агауг + + авгуг = О (35) а,„у, +агиуг+ +а„„уг =О Умножая обе части последних равенств последовательно на хп х,, ... ..., х„, где (хп х,, ..., х„) — решение исходной системы, и склалывая их, получим: Уг (апхг+ажхг+ ° ° +агггхв)+ + Уг (азгхг + аггхг + ., + агчхг) + +у~(а„гхг+.аггхг+ ... — ! — авгхв) =хг. (36) Но выражения в скобках равны последовательно Ьп Ь„..., Ь„, Таким образом, Ь,у,+Ьу,+ ...
+Ь„у„=хп (37) т. е. правый крайний элемент последней строки будет равен х,. Совершенно аналогично, если бы мы взяли — 1 во втором столбце последней строки, то крайний правый элемент последней строки стал бы равен х,. Такие же рассуждения можно провести, беря †! в любом из первых и столбцов. рассмотрим теперь клеточную матрицу (38) гле А — матрица коэффициентов системы, Ь вЂ” столбец свободных членов, ! — единичная матрица и Π— столбец нулей. Пусть нам удалось путем прибавления к послелним а строкам этой матрицы линейных комбинаций и первых строк сделать минус единичную матрицу нулевой. Тогда в силу наших рассуждений нулевой столбец обратится в столбец неизвестных х,, х, хг, ..., х„.
Схема, которую мы сейчас проиллюстрируем на том же примере, и будет реализацией указанного процесса, За основу будет взята схема Гаусса ~ыбором главного элемента. Будем называть данную схему схемой без обрашного хода. 22 гашение систем линейных ллгввгличвских геавнвний (гл. 6 ап 0,11759 ~ 1 11610 1,54710 3,07730 1,64710 3,36670 1,74710 3,59490 1,84710 3,85490 1'т' 0,78920 — 0,09353 — 0,11862 0,19501 — 0,17311 0,18688 0,85414 1Ч !П 0,20267 — 1 2,04229 — 1 1,45773 — 6,07296 1,07381 0,10492 2,35238 2,42301 0,08111 1,11170 1,19746 1,20639 !9 1 — О,ЫОО7~' О,!60!б П1 — 0,12509 0,13185 П 0,89952 1,21260 1,20950 1! ! 1,10944 ~ 2,17абΠ— 0,13545 0,14441 Значения неизвестных, содержащиеся в последних четырех строках. близки к найденным ранее.
При решении системы уравнений по схеме без обратного хода с контрольным столбцом требуется произвести ла+ бее 2 (39) операций умножения и деления. Приведенная схема допускает очевидные обобщения. Так, если вместо (38) взять (40) 19 П! П ! !9 П! П 1 — 0,14766 0,15820 — 0,17923 0,19680 0,23680 1,08825 0,12323 0,15436 — 0,11136 0,11873 — 0,08852 0,09438 0,93795 — 1 0,12540 1,16750 0,20710 0,24710 0.096М ) 0,16281 0,16683 О,'!3906 — 1 0,13970 0,17680 1,21680 0,25680 0,10953 0,13888 1,17077 0,14900 0,18710 0,22710 1,26710 1,32990 1,37436 1,4! 604 1,03156 1,05859 1,08517 0,88129 0,93504 0,98696 1,04060 2,62399 2.76748 2,90398 1,53959 1,4ЖИ1 — 1 1,17597 1,17732 1,! 7955 — 1 0,88128 0,93505 0,98697 1,04060 23 МВТОД КВАДРАТНОГО КОРНЯ где С вЂ” ПРОИЗВОЛЬиаа КзаЛРатиаЯ МатРИЦа И 4( — ПРОИЗВОЛЬНЫИ СтОЛбЕЦ, то, действуя по схеме без обратного хода, мы получим на месте столбца 43 столбец СА О+44.
Если же рассмотреть матрицу (:) (41) где  — произвольная матрица и Π— матрица нулей, то нашим процессом мы придем к матрице СА 'В. В частности, если взять матрицу (42) -1 то мы придем к матрице А ф 3. Метод квадратного корня В том случае, когда матрица А симметрическая, в приведенных ранее схемах можно сделать ряд упрошений. Мы не будем здесь останавливаться на этих довольно простых вопросах, а изложим вместо этого очень удобный для симметрических матриц метод квадратного корни, Пусть данная нам система записана в виде гле А — квалратная симметрическая матрица, Ь вЂ” вектор-столбец из правых частей системы и х — вектор-столбец неизвестных. Решение системы (!) будем осуществлять в два этапа. На первом этапе представим матрицу А в виде А =Ы', гл" 1 — нижняя треугольная матрица и Е' — транспонированная по отношению к Е матрица, Такое представление всегда возможно.
"тобы не осложнять записей, ограничимся рассмотрением систем четвертого порялка. Булем разыскивать такие ага, что ан 341 333 343 (3) а 33 343 о а а41 343 а43 ам ан а13 а 3 аг' а11 ан а13 ам "31 '33 а33 аг,, ам ааа 41Ы а44 а11 О О О а31 ам О О аш ат 333 О ац 331 о О О О О 24 гашение систем линейных ллгевеаических гглвнений (гл„6 2 а1та21 = «'М ап"3 — аы, а,(а4, = а,4, ап -(— азз( + з а21а31+' а22азз П23, ав(аю + аз алз = авз, 3 а32+ азз — (333 ав!а4! + а32а42+ «(вза43 (зм' З З 2 3 ам -+ алв+- а4з -+ а44 = и44.
(4) Отсюда последовательно находим: а„а,з аы а„= ', а„= =', а„= з азз — 331331 а24 — аз(им аз(, а,л = ', а„= 4 а 3 а„= Уап азз = Уазв— азз = Уазз— 2 в ар4 — зма41 — 431342 ("31 авз «143 433 =У 2 3 З а„— а"„— алв — ам. Нетрудно сообразить, как будут выражаться аВ через азу в общем случае системы и-го порядка. Нужно заметить, что при действительных а«у могут получиться чисто мнимые значения а«н Но так как вычисления с чисто мнимыми величинами нисколько не труднее, чем с действительными, это не вызовет дополнительных трудностей. Если, кроме того, матрица А положительно определенная, то мнимых величин вообще не будет.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
