Том 2 (1160084), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Таким образом, наибольшее собственное значение А равно нг В 1(г ~/ йл Рнс, 1Х верхней границе, а наименьшее собственное значение А — нижней границе отношений, стоящих в (6). )(алим принципу Релея геометрическую интерпретацию.
Пусть отрезок ОВ изображает нормированный вектор х и ОС вЂ” вектор Ах. На прямой ОВ отложим точки Ое так, что ОЯг=Лг (рис 12) (1) где А — действительная симметрическая матрица, х — вектор-столбец и Л вЂ” действительное или комплексное число. Известно, что в этом случае имеется а действительных собственных значений Л, <Ле«... Л„ (2) и и соответствующих им собственных векторов х,, хз, ..., х„, которые можно считать действительными и ортонормированными.
Тогда, если х Ф 0 — произвольный вектор-столбец: х=сгх~+ саха + ° ° ° + с х (6) Имеем: (С~о С~~ +,) = С1~! СОь,, соз а = ()чх — Ах, )ч~,х — Ах) = ()ч — Ла)(Х;„, — Ла)са) О. (7) Отсюда а( —. (8) Таким образом, угол между двумя векторами СО~ и СЯг+, не может превышать —. Проведем перпендикуляр СВ и заметим, что 2' (Ах, х) = ОЕ). (9) Тогда из (6) следует, что на отрезках ( — со, 0) и (О, оо) также имеется по крайней мере одно собственное значение. Объединяя (8) и последнее замечание, мы приходим к выводу, что если провести Е Рнс.
13. через точку С произвольные прямые СЕ и СР, пересекающие прямую ОВ соответственно в точках Е и Р, и если угол I ЕСР) —, 2' то на отрезке ЕР имеется по крайней мере одно собственное значение. Это и есть геометрическая интерпретация принципа Релея. Ладим некоторые приложения этой геометрической интерпретации. Пусть опять х — произвольный вектор, (х, х)= 1. Обозначим а=(Ах, х), р=(Ах — ах, Ах — ах). Докажем. что если а(а и (! О) 6=а+в (11) то на отрезке !а, д! имеется по крайней мере одно собственное значение А. Действительно, а= ОВ, р =(С())а. Пусть ОЕ= а < 0(л и ~ ЕСР = — . Тогда (рис.
13) 2* ЕР ° !)Р = (СО)а = ~, ОР = 00-4- пР = 2-!- р = Ь. (12) Отсюда н следует утверждение. 216 вычислвнив совстввнных знлчвний и ввктогов млтгиц !гл. 8 5 61 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРАНИЦ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ 217 1(окажем еще, что если а — произвольное действительное число, х — произвольный нормированный вектор,а = (Ах, х), Т = (Аах,х)„ то на отрезке 1 1) а — (Т вЂ” 2аа+-аа)Б, а.+(Т вЂ” 2аа+аа)') (13'г Рис. 14. Отрезок ОО берем равным а.
Точки Е и Е строим так, что (14 Р При этом 1 ЕО= ЕО=(аз+ Т вЂ” 2аа)а. (16) Так как угол ~' ЕСГ прямой, то утверждение доказано. Ладим небольшое обобщение принципа Релея, Возьмем два мно- гочлена ср(Л) =ао+агЛ+- ... +ОАЛ, ф(Л)=б,+Ь,Л+ ... +(1Л' (16)' и рассмотрим у(л) = —. э (л) ( (Л) ' Как известно, собственные значения Л;: Л, (~~~... (Л„, матрицы у(А) равны у'(Л1), 1=1, 2, ..., а. Как и ранее, для произ-.
вольного х + 0 будем иметь: Л, ( (х, 1(А) «) (у (х, х) (18) Вследствие этого, построив графики функцийу= у(х) ну= (х,У(А) х) (х,х) мы сможем судить о собственных значениях А. Так, например, если найдется по крайней мере одно собственное значение А. Рассмотрим геометрическую картину (рис. 14). 218 вычислвнии совстввнных значвний и ввктогов матэиц [гл. 8 расположение этих графиков имеет вид, показанный на рис.
18, то мы можем утверждать, что по крайней мере одно собственное значение находится на отрезке [а, Ь[ и по крайней мере одно вне этого отрезка. Вычисление матрицы [ф(А)! , входящей в определение р(А), связано с большими затруднениями. Можно несколько видоизменять(18) с целью упрощения вычислений. Предположим сначала, что все (ФМб Рис.
15. собственные значения ф (А) положительны. Тогда существует мат- 1 рица, обозначаемая [ф(А)!', такая, что [Ф(А)!а [ф(А)!а = ф(А). (19) Обозначим [ф(А)[ ' х=у. (20) При этом (х,У(А) х) 1 11 (х, [ф(А)! 'Р (А) х) ([ф(А)! 'х, р(А) [ф(А)[х (х. «) (х, х) (х. х) (у т(А)у) (21) (у ф (А) у) и мы можем вместо (18) рассматривать правую часть (21) при произвольном ненулевом векторе у.
Если условие о положительности собственных значений ф(А) не выполнено, то можно взять у()) ф (") 'Р (1) [ф(1)[1 ' (22) Тогда правая часть (21) перейдет в (ф (А) у. р (А) у) (23) (ф (А) у. ф (А) у) 219 9 6[ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРАНИЦ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ Рассмотрим теперь некоторые частные случаи 7(Л). Пусть 1 7(Л) = Л, где а — произвольное действительное число. В этом случае можно утверждать, что в последовательности 1 1 1 !а — а' Ла — а ' '' Л,— а (24) имеются числа большие и меньшие (х, (А — аг) х) ((А — а7) х, (А — а7) х) (25) Рнс. !б (рис. 16).
Возьмем теперь 7 (Л) = (Л вЂ” а) а, В этом случае (х, (А — аг)ах) ((А — аг) х, (А — аУ) х) (26) (х, х) (х, х) н найдутся две точки пересечения у= 7(х) и у=5 (рис. 17). Если обозначить абсциссы точек пересечения через а и Ь, то можно утверждать, что имеется по крайней мере одно собственное значение на отрезке [а, Ь[ и по Рнс. 17. Ряс.
18 крайней мере одно вне его. Вычисления приводят к отрезку (!3). а Пусть, далее, 7(Л) = — + —, а ) О. Тогда а Л (х, (а А+ аА ) х) (Ау, Ау)+ аз(у, у) — — х = А'у. (27) (х, х) а (у, Ау) Снова получим две точки пересечения графиков у= 7(х) и у=с (рис. 18). Если все собственные значения А положительны, то на отрезке [а, Ь[ имеется по крайней мере одно собственное значение. а = (1 -+ 6 — ~/ За+ 23) а, Ь = (1 + 3 -Ф- )/ За + 26) а, Возьмем еще один случай. Пусть У(л)=( — + Л) ° Прн (28) ч (х, Ах) (29) ае (х, х) + (Ах, Ах) Опять будет две точки пересечения графиков у= 1(х) и у = $. Рис. 19.
Абсциссы этих точек определяются следующим образом: а = (1+-е — ~/ е'.+ 2е) а, з1йя ~ е = ~ — 1. (30) Ь=(1-4 е+-у"еа.4 2е)а, 2а По крайней мере одно собственное значение А лежит на отрезке (а, Ь1 (рис. 19), /Л ала Наконец, возьмем У(Л)=( — + — ), При этом л) [(Ач+ аЧ) х, (Ач+ аЧ) х) че(Ах, Ах) По крайней мере одно собственное значение А удовлетворяет нера- венствам (31) а (~ — '~ (Ь, (32) где а = 1 4 — 3 — "к' Ьа -Ф- 23, 3=4(1+6) Ь= 1+3+. ), 02 (рис. 20). (33) 220 вычисление совстввннык значений и вя«тонов млтгиц (гл. $ В данном случае а и Ь определяются при помощи равенств: 9 6[ опввдзлвнив гвлниц совстввнных знлчяний 221 На этом мы закончим рассмотрение различных случаев использования обобщенного принципа Релея.
Покажем иа примере, как можно использовать полученные формулы. Возьмем снова матрицу А 9 4 (см. (17) 9 4). Будем выбирать различные векторы х и применять наши формулы. Сначала выберем х=(1, О, О, О, О, 0). При этом ц=(Ах, х)=6,1818 и 7=(Ах, Ах)=38,4352, и если взять а=а=6,1818, то формула (13) даст нам, что на отрезке [5,7121; 6,6515[ имеется по крайней мере одно собственное значение матрицы А. Возьмем, далее, х=(0. 1, О, О, О, 0). При этом к=(Ах, х)=7,1818 и 7 = (Ах, Ах) = 51,8120.
Снова выбрав а = а = 7,1818, по формуле (13) получим, что на отрезке [6,6982; 7.6654[ накодится по крайней мере одно собствен- У ное значение матрицы А. Теперь выберем х=(0, О, 1, О, О, 0). Это даст а=(Ах, х) = 8,2435, у-6 = (Ах, Ах) = 68,2464, и если взять а=а=8,2435, то по формуле (13) найдем х отрезок [7,7039; 8,7831[.
Рис. 20. Прих=(0,0, О, 1, О, 0) ц=(Ах, х)=9,3141, 7=(Ах, Ах)=8",3873. Возьмем здесь а=10. Тогда формула (13) ласт отрезок [8.9486; 11,0514[. Наконец, возьмем х=(0.0,0,0, — 1,2) ° =, Это даст а=(Ах, х) =3,6475. Уо ' На основании принципа Релея заключаем, что имеется собственное значение меньшее найденного а. Нетрудно проверить, что все собственные значения матрицы А положительны. Полученная далее формула (43) показывает, что все собственные значения матрицы А больше 2. Таким образом, нам удалось найти пять непересекающихся отрезков: [2; 3,64751; [5,7121; 6,65151; [6,6982; 7,6654[; [7,7039; 8,7831[; [8,9486; 11,0514[, в каждом из которых содержится по крайней мере одно собственное значение А.
Корнями много- члена (19) 9 4, получившегося путем раскрытия векового определителя матрицы А по способу Данилевского, являются числа: 3,5922564; 5,62574641; 6,05652!10; 7,28694071; 8,24088053; 9,56175808. Как мы видим, нам удалось довольно простыми средствами отделить пять из шести корней многочлена. Не все полученные формулы имеют практическое значение. Однако примеры дают возможность уяснить пути использования принципа Релея для отде- 222 вычислвниз совствзнных значзиий и ввктогов матгиц (гл. 8 с»,х,+с»их,+ ... +с~„х„=О (/=1, 2, „. „, ! — 1). (35) Мы не будем приводить доказательства высказанного утверждения, так как оно довольно громоздко. Желающих ознакомиться с ними мы отсылаем к специальной литературе по теории матриц (см., например, Га нт м а хе р Ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
