Том 2 (1160084), страница 37
Текст из файла (страница 37)
В процессе вычислений в связи с ошибками округления мы неизбежно введем соответствующую компоненту. Введенная компонента в конце концов забьет все остальные. Может оказаться лишь, что потребуется значительное число итераций. Далее, будем обозначать Г-ю компоненту некоторого вектора и по отношению к произвольным координатным векторам е,, еа, ..., е„ через (и)о Тогда из (2) следует: Л„а+1 Л„а+1 ач1 — ) (агх1+ат( — ) ха+ ... +аа ( — ) ха) ("" (-') ха "+-(-')") = Л,-4-0 ~( — ",') (6) (8) Ахг — ) 1х1='з, ) где 4, вообще говори, отличен от нуля, то Ае — Л,а — йх1 — ье = а. (9) (10) Таким образом, при достаточно больших и величина (А"+'о)1 (А~о )1 будет близка к наибольшему по модулю собственному значению. При практических вычислениях показателем того, что мы достаточно хорошо приблизились к х, и к Л,, будет постоянство отношений (с требуемой точностью) соответствующих компонент А + о и Аьо.
а+1 Пусть, в частности, матрица А симметрическая. Тогда векторы (хе) можно считать ортонормированными и за приближенное значение собственного вектора х1 будем брать А"о 'ЯА" о'а (Олесь везде берется третья норма главы 6.) Так как х1 ортонормированы, то для Л, можно получить более точное приближение. Обозначим (А о, А о)=с„. В силу (4) будем иметь са=а1Л1 + 1 ае а аь а (Ла') аз 1 + а;.Лз +- ...
+Е„Л„и, следовательно, сач.1/са=Л1+0 ~( — Л" ) (Л1) Покажем еще, как можно уточнить значение Л,, если А есть симметрическая матрица. Положим х1 —— х, + е, Л1 = Л1 + 8. Тогда, так как 230 вычислвиив совстввииых зиачвиий и ввктовов матвиц [гл. 8 Считая 3 и е малыми, отбросим последиий член левой части как малую величину более высокого порядка. При этом равенство (10) перейдет в Ае — Л,е — йх, = я.
Умиожим скалярно обе части равенства (11) иа х,. Получим: (Ае, х,) — Л,(е, х,) — 3(х,, хД=(п, х,). (11) (12) Но (Ае, х,) =(е, Ах,)= Л (е, х ) и (х„х,)= 1. Следовательно, равенство (12) даст (13) 3= — (я, х,). (14) Получеииое 3 можно использовать для уточнения найдеииого приближенного значения Л,, если заменить в правой части х, иа х,, Умиожим теперь обе части равенства (11) иа х;(1 = 2, 3, ..., и). Получим: (Ае, хД вЂ” Л,(а, хг) =(а, хД. (Ае, х,)=(а, АхД=Л~(е, хе) (! 5) Но (16) и, следовательно, (Лг — Л,) (е, х,) = (и, х г), (17) — (ть х) (' Д Л вЂ” Л г — 1 Найдем егце (е, х,). Так как (1=2, 3, ... а).
(18) ~)хД = //х, + е/) = 1, 1 = (хг + е, хг+ е) = 1 + 2 (х,, е) + (е, е) (19) то (20) 1 (х,, а) = — — (е, е). 2 (21) ~~ ~~ =Ь а= К <.. М*оК Ь. *Д,)= 1~-! г г = ~~~ (е, хДа = — ))е)!а + ~ (е, хе)е. (22) Выражения (18) и (21) позволяют оценить норму вектора е. Действительно, 1) ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ОТЫСКАНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ 231 Таким образом, Яа= — ~)'„(' х)'. (23) Перепишем (18) в виде — !(ть х!)( 1(1ь хг)! ! У л, — л, ! 1 л, 1 ~, л, Л, (1=2, 3, .... п).
(24) Так как !' — Ь-' — 1й1 (25) то — 1(ть хг) ( 1 ~(' хг) 1~ 1ЛП, ~ Л! ~ Л, (1=2, 3, ..., а). (26) В силу (23) будем иметь: ая ~ЗХ Ла (, ~Л~У' и так как — (1=3, 4, ..., и) меньше чем —, то 1ЛИ 1Лг1 1ЛП ' ' "(-Ф) Это выражение может служить оценкой для !)Бй, если использовать (27) (28) вместо Л, и Ла какие-то их приближенные значения. е =е,х,+егахз+ ... +еых„. то будем иметь: (29) О, =(А~о. е;) =ЦЯ ссуЛахж ~~' емх)) =,~~ Лгауем (30) -г 1-г или оы = ЬОЛ, + ЬМЛЗ + ° .. + Ьг„Лд, А 13 — — атем, (3 П где обозначено (32! 2. Отыскание других собственных значений н соответствующих нм собственных векторов для симметрических матриц.
Используем теперь векторы А о для отыскания других собственных значений. Обозначим 1-ю компонентУ вектоРа А о чеРез Сан Если единичные векторы ео направленные по осям координат, представить в виде (а) оы оээ гэ.в = ФИ.(. э Оач), э (33) Воспользовавшись равенствами (31), получим: рг,",) = (й„б„— ()„Ь„,) Л,""Л~+ (й„А, — й„б„,) Л,"Л.'"+ + (б,эб.э — й,эб.э) Л1 "Лэ + (7)г)7)ээ — й.эй.в) Лэ Лэ "+. (34) где многоточием обозначены остальные члены, содержашие лэ, Лэ, Таким образом, р(,",) =л л.' (ь„ь„— ()„ь„,)(л, — л,)+ лэа (л, — л,) + (()гэ()э — ()„ф„) „+ ... ° (35) л» Аналогично найдем: Р'„' н = Л',"Л.""~ (й„()„— б„()„) (Л, — Л,) -(- ла+1(л,— л) +(ЬгФвэ — бгэлээ) ' э„' + ....
(38) ль-' 1 Отсюда э (л1 лэ) (ь йю ь ь„,) р,— л,)+(ь ь„— аг(ьээ) „+, +. ) а+1 р(а) лф (л, - л,) (а ээээ — аэзагэ) (Лэ — "э) + (а за г — аг ()ы) э + ° ° (37) Пусть Л, и Ла превышают по модулю остальные значения (Лэ~ и (()„ф„— Ь,э()„1) ~ О. Тогда Рй =Л,Ля+ Оаа1. (38) Аналогично можно получить произведение трех и большего числа собственных значений. Так, если Л„Лэ и Л, пРевышают по модУлю остальные собственные значения, то (Й -(. 1) — '",'„=Л,Л,Л,+О[( — „"') ~, Ьвэ лд (39) 232 вычисление совстввнных знлчвний и ввктовов млтгиц (гл. 8 Составим определитель ф 71 итвглционныв мвтоды отыскания совстввнных значвний 233 где еь' еаз оьФ ьа+ь ~ ел+к з "«.ьь г "а+а, ~ "ь~-ъ, 8 "ьек г Тш)— (40) Нужно отметить, что при больших (з строки написанных выше определителей почти пропорциональны.
Следовательно, сами определители будут близки к нулю. Это приведет к большой вычислительной ошибке. Если же ограничиваться небольшими значениями Ф, то получим большую ошибку метода. Вследствие этих причин Л,, Ла и т. д. можно найти с небольшой точностью. В связи с этим рассмотрим еше один метод отыскания промежуточных собственных значений в случае, когда А есть симметрическая матрица.
После того как Л, и х, найдены, возьмем вместо А новую матрицу: Р А, = А — Л,хгхг, (41) / где под хахг понимается произведение вектора-столбца с компонентами х, и вектора-строки с теми же компонентами по правилу умножения матриц. А, — также симметрическая матрица. При этом А,х, = Ах,— Л,х,х,'х, = Ах,— Л,х, = О, (42) так как х,'х, = (х,. х,) = ~ ) х, (1 = 1.
(43) В то же время А,х,=Ах,— Л,х,х,'х,=Ах,=Л,х, (1=2, 3, 4...„, п), (44) хм хзг (45) х,л так как вектоРы хг и х7 оРтогональны пРи (чь~. Таким обРазом, матрица А, будет иметь те же собственные значения и собственные векторы, что и А, за исключением Л,. Вместо Л, матрица А, будет иметь собственное значение О, и ему соответствует собственный вектор х, После того как будут найдены )я и хм можно дальше повторить этот процесс, и мы найдем, в конце концов, все Л; и хь При этом можно каждый раз понижать порядок матрицы.
Пусть хг=(хм. хм, .... х„,). Обозначим 234 вычисление совственных значений и вектогов млтвиц 1гл. 8 н рассмотрим матрицу В= =( хц — и' а г -г — иаа') (46) где р †некотор постоянная. Произведение ВВ' будет равно ВВ' = хгга — а + Иаа'а хгг»' — а' + И«~аа' (47) аа'+Уз г — 2паа +нага'ча Но хам+ а'а = ))хд~)а = 1 (48) хма' — а'-1- Ра'аа' =(хм — 1 + (ь11 — хгг)] а'. (49) Таким образом, если взять р =, то все элементы первой 1 (1+ хц)' строки (47) обратятся в нуль, кроме левого крайнего, который будет равен единице. В силу симметрии матрицы ВВ' все элементы первого столбца (47), кроме верхнего, будут нулями. Далее, при 1 !ь = имеем: аа' — 2раа'+ рзаа'аа' = " аа'+, (! — хгг) аа' = О.
хц+ 1 (1+ хп)е (50) (51) Произведение В'АВр равно Л,р. Действительно, Вр=хо Ах,=),,х, и Л,В'х, =' Л,р. Таким образом, р является собственным вектором матрицы В'АВ, соответствующим собственному значению Л,. Это может быть только в том случае, если В'АВ имеет вид В'АВ=(о А)' (52) Дальнейшие вычисления можно производить с симметрической матрицей А,, имеющей собственные значения Ла, Ла, ..., Л„.
Если у!в собственный вектор А,, соответствующий собственному значению Лг, го из А,уг — Л;у, Итак, ВВ' = 7. Следовательно, В'АВ имеет такие же собственные значения, что и А. Возьмем матрицу 4 71 итвглционныя мвтоды отыскания совствзнных знкчвний 235 следует: В'А — = = = Лз (54) АВ =ЛВ * (55) /О ) Таким образом, В ~ ) будет собственным вектором А соответуг ствующим собственному значению Ль В дальнейшем мы можем поступить с А, так же, как мы поступили с А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
