Том 2 (1160084), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Так как вторая задача есть частный случай первой, то мы ограничимся первым случаем. Пусть А'=А — е; (ЗЭ Тогда (А*+ з) (х — х*) = (А'+ е) х — А "х" — вх* = ч — зх' (4) или ))(А*+а) (х — х*)() ())й))+ !)е(( ((х*(!. (5) Определяя различным образом нормы векторов, мы получим различные оценки. Воспользуемся сначала третьей нормой векторов, введенной в шестой главе: й =~'(, ). (6) Тогда согласованная с ней норма матрицы А будет равна ~!А1~з = глаах, (7) где через ).
„, обозначено наибольшее собственное значение симме- А'А трической матрицы А'А. Из равенства (2) получаем !~А" '!),= ~~Ь'~~,. (6) Но (~А*х'(( = (А*х', А'х') = (х', А' А*х*). (9) Обозначим собственные значения матрицы А'А" через )е . Так как мы предположили, что матрица А* невырожденная, а матрица А' А' А*'А* является симметрической, то зсе Х; полозгнтельпы. Им соответствует ортонормированная система собственных векторов и„ла, ..., и„, образующая базис нашего пространства. Пусть х'=с,п,+свив+- ...
-+с„и„, (10) Тогда из (9) и (10) получаем: 6 9! погввшность пви ввшании систвм линвйных твлвнаний 253 !! А*х*!!з ~~У Л",". ' /!х*!! з Из (8) и (13) находим: МЛ.,"." !! !!, < !!Ь !!, (13) (14) или < !!" 1~4 (15) (ЛА*'А4)а Поэтому второе слагаемое правой части неравенства (5) может быть оценено следующим образом: !! !! !! '!! < ь' —..".". !! '!!.
(16) !4 Очевидно, !!(А" +е)(х — х*)!lз~ !!А (х — х)!!з !!е(х — х*)!!з (17) Уменьшаемое в правой части неравенства (17) оценивается так же, как мы оценивали (8). При этом получим: !! А' (х — х*) !!, ) 'т'гЛ ! ™ !! х — х* !!,. (18) Вычитаемое в правой части (17) может быть оценено так: !/е(» х )!!з < !!е!!з !!х — »*!!з = ! Хтах !!х — х*/!з, Таким образом, !!(А*+а)(х — х*)!!,)~(У Л„,1,А — Ь Л',',) !/х — х'//,. (19) (20) 1 1 Если (Л 1, )з — (Л',',)з ) О, то (5) и (20) дают 1 !!х — х'!!, < 1! Ы!а+(Лн; 7ЛА,*,'А")' ~! Ь'!!з (ЛА". А") з — (Л"' )з (21) Это и есть искомая оценка. Приведем пример на применение полученной формулы, Пусть дана система: 26,7х, — 5,1ха+ 1,3хз — 0,3х4 — — 43,888, — 5,1х, — 28,6ха+ 6,2х, + 1.2х, = — 58,203, 1,3х,+6,2х +29,1х,— 4,3х,=88,390, — 0,3х, + 1,2х, — 4,3х,-(-27,1х, = 98 664.
А*'А4 . А~'А~ Обозначим минимальное из Л1 через Л ~ . Из (!1) следует: !!А'х'!!,)~Л ! (»1+са+... +с„)=Л ш !!х'!!',. (12) Таким образом. 254 вычислвнив совстввнных знлчвний и ввктовов млтгиц (гл, 8 Будем предполагать, что коэффициенты и правые части системы заданы точно, но в процессе решения системы вследствие ошибок округления мы получили не точное решение, а приближенное: х~ =(2; 2,5; 3; 4). В этом случае вектор П будет выглядеть так: Ь=(0,538; — 0,03; 0,190; 0,764). Итак, //о)/з=0,95. МатРица е в нашем слУчае нУлеваЯ, Поэтому — П Пз (Лл~ А )-, ! Так как матрица А симметрическая, то (Л";, )' =!Л"!, . ППля л !Л ! .„нетрудно получить грубую оценку !Л ! и) 16,1, Таким образом, )! х — х*!(, ( — ' 0,06.
Возьмем теперь в качестве нормы вектора г=(г,, га, ..., г„) величину ))г!(,= ~~!г;(, (22) Тогда согласованная с ней норма матрицы А с элементами а;у будет равна !)А!(,= гпах ~~а !аа !. (23) а=а (Перепишем равенство (4) в виде $ =А* П вЂ” А* ех* — А" 'е(, (24) — !!А" 'Ь!!г+ !(А* ~а!!аПх'Па -!!А*- !!а !!А" '!!гПа1г+ !!А" г !!а 1х" Пг 0 Ь Па+ 1 чПзПх" Пг ! — )!А" 'а!!а !!А' ')!а — 1гПз (26) где 1 =х — х'. Отсюда следует: !/П)/а~(!!А* 'П!!,+-!!А* 'е!!а//х"!!г'+!!А" 'е11з!!Цз. (25) Будем предполагать, что погрешности еы настолько малы, что !!А* 'е!!, С 1. Тогда ф 91 поггвшность пги гяшвнии систвм линвйных явлвнений 253 Последнее спРаведливо в том слУчае, если ~~А* ')~111е)~а< 1. Далее, заметим, что ч 1 ч и ра рр И ()А' е!,'а — — шах.,"~~ ..,'' (радар, ~ < тахч~~ ~.х,1оа ) ( ев)1<Еч~~ ~ч~~ ~(11„! а-1 а-1 1 1-1 а-1 1-1 а-1 (27) где через Е обозначено (28) Е = шах ! егл ~) а,ь и через арг„обозначены элементы матрицы А* Ага н1а = л' (29) Здесь Ага — алгебраическое дополнение элемента ааь матрицы А" и о* — определитель матрицы А*.
Таким образом, оценка для //Ц!а "р" а'С11' Х а/Р /) р Ха 1 Ь-1 н и Х ~!А1,~ КЬ<* "1„',1 11 Ц11+ Е~1х" 11 (30) ра н 1 — — „~ЬИ ~) ) А;ь ~ а-! В-1 Такая же оценка справедлива и лля каждой компоненты вектора Г. Олнако лля компонент можно получить и более точную оценку. По (24) имеем: ~(,~<~~б,,~~й,~+ч; ~~бы~!.1.,.~~ )~+~ ~(бу,~~ а„ц(,!. (31) Отсюда ~$~! <шах(31!~~~((ргч!+Е11х'111~,'„!1рч!+Е11Ц,~~~~Ьу;!. (32) Подставляя сюла вместо !)(,')а выражение (30) и используя (29), получим: Х!А;.! )(.! < ' 1л.1 11 Ца+ Е11х 11а (33) 1 — — „'~', '5'! А"1ь( а 1 В 1 Неулобство этой оценки состоит в том, что приходится вычислять.
определители высокого порядка. Приведенные рассуждения показывают, что в некоторых случаях влияние неточности коэффициентов и правых частей на решение может оказаться значительным. Так, например, если величина д= —, )~~ ) ~(А~а! т-1 л-ы велика, так что дЕ будет близко к единице, то правая часть (30) или (ЗЗ) будет велика. В связи с этим вводилось ряд характеристик, аналогичных (34), так называемой «обусловленности» систем. При этом система считалась хорошо обусловленной, если небольшие изменения в коэффициентах и правой части мало изменяют решение системы, и плохо обусловленной, если небольшие изменения в коэффициентах и правой части вызывают большие изменения в решении системы.
Пока эти вопросы еще не исследованы до конца. В этом параграфе мы рассматривали только неустранимые погрешности. В процессе решения системы будут возникать также и ошибки округлении, Однако, для того чтобы изучить влияние ошибок округления, нужно детальнее учесть алгоритм и вычислительные средства. Пока такие исследования проведены лишь для отдельных алгоритмов, Рассуждения, которые при этом приводятся. очень громоздки. Поэтому мы здесь этих вопросов касаться не будем.
(34) УПРАЖНЕНИЯ 1. Найти все собственные значения матрицы ! 4,1313 1,1617 2,1426 1,1718 0,1041 0,8144 3,1518 2,1413 1,1617 0,9864 0,8114 1,4656 3,1415 4,1617 2,3114 1,1681 2. Показать, что в методе Ланцоша можно подбирать векторы са и Ьа, исходя из условий: а) са — линейная комбинация с„.
Ас„, ..., А са; Ьь — линейная комбиа-1 нация Ьа А Ьа ° ° ° А а Ьа' б) скалярное произведение (са, Ьа) минимааьно. 3. Побазать, что если са в методе Ланцоша ортогонален к одному из собственных векторов-строк матрицы А, скажем оь то множитель 1 — )а выпадает из ф„,(1); аиааогично, если Ьа ортогоиален к одному из векторов- столбцов ит и мат- 4. Рассмотрим произвольную оаноколонную матрицу ха= с„ ряцу, состоящую из одной строки ус = (пь пз, ..., 3„), Обозначим ха = Алха, ув = уаА', св = угху (г+/= д).
256 вычислвнив совстввнных значвний и ввктогов матгиц (гл. 3 257 УПРАЖНЕНИЯ Локазать, Что с со ст ° .. с„ с, ст ... с„ с„ Рп-г Рт где рг — коэффициенты характеристического многочлена матрицы А: Л) (Л) = ( 1)" (ЛЯ Р,Л"-' — Р,Лк-а — ... Р„,Л вЂ” Р„). 5. Доказать, что если матрица А имеет вид !ан аэ О О ...О О иэ, аю аю О ... О О О азэ аьч ащ ... О О А ) О О О О ... а„ „ г аии причем все аль ,аьж„ > О (й = 1, и, ..., и — 1), то все собственные значения А действительны. 6.
Используя результаты последней задачи, доказать, что все корни многочленов Лежанлра действительны. 7. Показатгь что все корни матрицы В й б удовлетворяют неравенству ~Н,! < я сгя †, гле я определено там же. 8. Показать, что уравнение / АэЛ'+ АгЛэ + АтЛ + Аэ ! = О при ) Апа чи О эквивалентно уравнению Аэ А, + ЛУ„ Аа 'Аз 11 О 1п Аа ~Аа 2 — 1 О О ... ΠΠ— 1 2 — 1 О... ΠΠΠ— 1 2 — 1 .. ° О О О О О О ... — 1 2 равны Лв 2(!+сов 1 (й 1, 2, ..., и). и+1) й.
Пусть собственные значения А удовлетворяют условию Л,>Л »...Л„>Л„>О и мы приближенно знаем Ль Лв Л„т, Ля. Доказать, что тогда для уточнения Лт итерационным способом лучше всего взять матрицу А — р! гле 1 1 Р = — (Лэ+~ ), а для уточнения Ли — матрицу А — Оу, где о = — (Лт+ Ль,). 1О.
Показать, что собственные значения матрицы и-го порядка вида 258 вычнслинии совственных внлчиннй н виктогов млтгнц (гл. 8 11. Исслеловатсь при каких условиях итерация хаас — — (2Ат — 7) ха + 2 (А — 71 Ь будет давать лучшую сходимость, чем итерация хььт = Ахь+ Ь. 12. Получить следующую оценку для нормы разности !!х — х"!!змежлу точным х и приближенным х" решениями системы Ах = Ь: где з = Ах — Ах', !А! — опрелелитель А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
