Том 2 (1160084), страница 43
Текст из файла (страница 43)
В силу теоремы 1 зто будет справедливо и при всех х~(хе, хе+а1. 2. Если бы вместо гч(х, у) взять непрерывную функцию о(х, у) такую, что г"(х, у)) о(х. у) (25) в рассматриваемой области, то, повторяя рассуждения доказатель- ства теоремы 1, мы доказали бы, что решения уравнений и'=у(х. и), у'=у(х, у). (26) удовлетворяющие начальным условиям и(хе)=у(хе) =уе при х~ (хе, хе+а), удовлетворяют неравенству и(х) (у(х), (27) причем, если в какой-то точке х, ~ (хо.
хо+ а1, и(х) ( у(х). то и(х) Су(х) при всех х~ (х,, хе+а). Теорема о дифференциальных неравенствах Чаплыгина позволяет в некоторых случаях отыскать границы У(х) и и(х), в которых заключено точное решение у(х). На практике чаще всего для отыскания У и и подбирают функции Р(х, у) и 4~(х, у) так, чтобы имели место неравенства 2б4 пгивлижянныв мвтоды гяшвния овыкновинных ягавнвний (гл. 9 гт(х, у)) Г(х, у) р(х, у), а уравнения У' = Г (х, У). и' = р(х, и) (28) легко интегрировались бы в квадратурах.
Рассмотрим такой пример, Пусть дано уравнение У = х'+.'г и нам требуется найти решение его при 0 (х (1, удовлетворяющее начальному условию у(0) = О. В качестве функций Г(х. у) и р(х. у) можно взять Р(х, у) = 1+у', о(х, у) = х'. В результате получим следующие функции У и и: хз У=Фх "= 3 ' Тогда. очевидно, будем иметь У)~у) и. Такими функциями, напри- мер, будут: У=У,+ ~е < -'У(СУвИИ=У,+ У, Ха и = у — ~ ел ш- и 1у (г, ув) ! си = ув — у. (30) Действительно, У вЂ” у(х, У)=тх, у,у+1.у — у(х. у,+ у) = = 1у(х, у) ~ — у(х, у )-Ф-Ху — (У(х, уз+ у) — у(х, уе)). (31) В силу условия Липшица, фигурная скобка по модулю не больше ЛУ. Таким образом, У' — г'(х, У) )~ О. (32) Аналогично доказывается, что и' — у(х, и) (О. (33) 2.
Способ Чаплыгина построения улучшенных приближений. Не всегда удается такими способами получить сразу достаточно тесные границы лля у(х), Поэтому возникает задача об улучшении этих границ. С. А. Чаплыгин предложил способ по найденным У и и получать улучшенные приближения У, и ап При этом приходится накладывать довольно сильные ограничения на функцию Ях, у), Иногда удается полобрать так функции У и и, что и(хв) = =У(х,)=у, и — — У(х, У)> О, — „— у'(х, и) (О. пу ни 265 5 21 метод с.
А. чАплыгинА дау а именно предполагать, что сохраняет свой знак в области, огралуз ниченной кривыми у= (у (х) и у = и(х) и прямыми х= хе н х = х +- а, Геометрически это означает, что сечения поверхности г;Щу/(~ — д~ д' Рнс. 21. г= Г(х, у) плоскостями х=сопз1 будут либо все время выпуклы, либо все время вогнуты (рис. 21). Рассмотрим некоторое сечение поверхности г =у(х.
у) плоскостью х=сопз1 (рис. 22). Через и, у, У на рис. 21 обозначены соответственно точки пересечения кривых у=и(х) у=у(х) у=(г(х~ Рнс. 22. плоскостью сечения, а через А и  — проекции и и (т' на сечение поверхности г= Цх, у). д',1 Проведем секущую АВ и касательную АТ, если — ) О.
и ВТ, дту если — с О. Произведя такие построения при каждом х рассматдуз риваемой области, получим две поверхности, одна из которых обрааована секущими, другая — касательными. Одна из поверхностей, будем обозначать ее г = В(х, у), будет расположена над 266 пвивлиженныя мвтоды гвшвния овыкноввнных уялвнвний [гл.
9 поверхностью г= г'(х, у). другая а=ф(х, у) будет расположена мод поверхностью я=у(х. у). Таким образом, г". (х, у) ) /(х, у) ) |р (х, у). (34) Заметим, что функции Г(х, у) и ф(х, у) линейны относительно у. Следовательно, уравнения ф=Г(х, и,); — '=ф(х, и,) ии, их (35) интегрируются в квадратурах. Пусть У, и и, соответственно реше- ния этих уравнений, удовлетворяюшие тем же начальным условиям, что и прежде. Покажем, что эти функции удовлетворяют поставлен- ным условиям.
В самом деле, вдоль кривой у=У(х) имеем: — „„— У(х, и» О ~Ш (36) и, кроме того, г" (х. У) = г" (х, У). Таким образом, — — г" (х. У) ) О и(у их и У) (у,, а из неравенства у(х, у) (Р(х. у) следует У,)у. Аналогично проводится доказательство и для и. Приведем аналитическое изложение этого метода. Будем преддяг полагать, что — ) О. Имеем: дуя — „„' =Х(х. у). — =У(х, и) — ф.
(ф.- О). (37) Обозначим у — и = я. Вычитая из верхнего равенства нижнее и применяя к разности у(х,у) — у(х, и) формулу Тейлора, получим: иг дУ(х, и) ае дзУ(х, Е) ду 2 дув (38) ~Ы дУ(х, и) . их ду (39) и начальным условиям У(хе) = О, будет удовлетворять неравенству Л (я. С другой стороны, если положить ф(х) = — О, то решением уравнения (39) с нулевым начальным значением будет тождественный нуль (по теореме единственности). Таким образом, Л )~ О, где и (8 (у. Решение этого уравнения при начальных данных л(хе) =О дает поправку, которую нужно прибавить к и(х), чтобы получить у(х). Отбросим член с я'. Тогда функция Л(х), удовлетворяюшая уравнению 267 мвтод с. А. чАплыгинА и если принять и,=и+х., то будем иметь и (и, (у, что нам и требовалось: Фи~ ди д2 ду(х, и) — '=д +д =у(х и)=ф+-г — „+ф(х)= Фх дх дх ду = у (х.
и)-+(и, — и) ' = ,р (х и ) дУ(х, и) ду Для улучшения оценки сверху рассмотрим уравнения — =У(х, У)+6(х) (6(х) ..0), ) ( (40) ф = у'(х, у). ! Положим У вЂ” у=1 и вычтем из верхнего равенства нижнее. Получим: — = у (х, У) — г' (х, у) +- 6 (х). дх (41) Введем обозначение У(х, У) — у(х, и) х. Тогда (42) 7(х, У) — У(х, у) =ГЕ(х)+() (х), (43) где 1)(х) =у'(х, У) — 7(х, у) — (У вЂ” у) у (х, У) — у (х, и) — У Гу( ' У) 1( у) 1 У) У(х )~ 44 У вЂ” и Обозначим через о(т) функцию ,(,) у(,у) — у(, ) (,(у) (45) Производная этой функции равна — — ' (У вЂ”.)+У(х, У) — У(х,.) дУ(х, т) Т()— (У- )' Г дУ(х т) дУ(х 6)).
у дт дт (46) Так как по предположению д,' ) О, то р (т)ьО. Поэтому дУ(х, у) ду о(т) — неубывающая функция и ~р(у) > у(и). Отсюда р(х) ) О. Таким образом, решение уравнения — = ТГ(х)+6(х), ду (47) 268 поивлижвнные методы вешания овыкноввнных твлвнвний [гл. 9 обращающееся в нуль при х=хо, будет при х') хо удовлетворять неравенству Т ( ~.
Так же как и для х, мы получим Т )~ О. Поэтому, если принять У, = У вЂ” Т, то получим улучшенную верхнюю функцию ги, ди гт — — — — г(х, ())+0(х) — ТГ(х) — 6(х) = Фх Фх дх У(х, У) — У(х, л) доУ При — (О порядок действий будет обратным.
В приведенном выше примере имеем = — 2)О. Следовательно. доу дуо мы можем применить наши рассуждения. Уравнение для определения Л будет дх 2 хо хо — =е.— + —, дх 3 Его решение, обращающееся в нуль при х= О, имеет вид х' à — — — хо а=ее ~ е о — Ых. 9 о Таким образом, е~ з4 хо и = — + — е о / е о хо а'х. 3 9 о Уравнение для Т примет вид — =((йх+ — ) Т+(1 — х~ Ф е4 Т= еиу ) (1- — х)соахе "ах, соо х о е4 з4 1 У,=)пх — е'о / (1 — хт)совхе "е(х.
сов х о Процесс уточнения границ можно повторять неограниченно, если только квадратуры выполнимы. Как было показано акад. Н. Н. ЛузидоУ ным, последовательность у — и, если — )» О, или У вЂ” у, если ду о доУ С вЂ” (О, будет стремиться к нулю как — в предположении, что дуо 2оо начальное приближение взято достаточно близким к у. Это очень быстрая сходимость, такая же, как и у метода Ньютона для решения алгебраических и трансцендентных уравнений. Общность между 269 метод с.
А. чаплыгина 9 2) методом Ньютона и методом Чаплыгина не заканчивается на этом, )ь(ажно показать, что метод Чаплыгина является обобщением метода Ньютона на нелинейные функциональные уравнения. (( сожалению, обычно метод Чаплыгина приводит к очень сложпым квадратурам.
не выражающимся в элементарных функциях. З. Второй способ построения улучшенных приближений. Улучшенные приближения и, и У, можно находить по способу ЧаплыдьУ гина только в том случае, когла — сохраняет свой знак в рассматдув риваемой области. Дадим еще один способ получения улучшенных приближений, свободный от этого недостатка.
Теорема 2, Пусть функции г'(х, у), Р(х,у), у(х) и У(х) определены как и в теореме 1. Тогда если наложить й (х) = У'(х) -у(х, У(х)). (46) то функция У,(х) =У(х) — / е-ь( -ый(г)аг ьь (49) где ь — константа Лиятица для функции У(х, у), является верхней функцией на отрезке (хв, хе+а) и на атом отрезке имеет место неравенство у (х) «( У, (х) ( У (х). (50) Очевидно, У,(х) ( У (х). Далее то и,(х) = и(х) — ~ е-~( -е"н,(1)й( (53) также будет нижней функцией и будет удовлетворять неравенствам и(х) (и,(х) (у(х). И в этом случае мы можем, по крайней мере теоретически, неограниченно продолжать процесс получения последовательных приближений. В связи с этим докажем следующую теорему; у;(х) — Г(х, у,(х))=у'(х) — Ь(х)+Е ~ е с~ -бйяа( — у(х, у,(х)) = т =У(х, У,(х)) — У(х, У,(х))+1.!У(х) — У,(х))) О.
(51) Следовательно, у(х) (У,(х), что и требовалось доказать. Совершенно аналогично доказывается, что если и(х) является нижней функцией и мы образуем йь(х)=и'(х) — У(х, и(х)), (52) 270 пьчьглижвнныв методы вешания овыкноввнных гвввнвний (гл. 9 Теор е ма 3. Пусть 7(х. у), Р(х, у), у(х), У(х) определены нак и в теореме 1. Положим И,(х) =У'(х) — 7(х, У(х)) (54) а образуем последовательности У„(х) = Ув (х) — ~ е ь< ПИ„,Яг(( И„(х) = У„'(х) 0х. У„(х)( (а=1, 2, ...), (55) (а=1, 2, ...). (56) У,(х)+(У,(х) — У,(х))+ ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
