Том 2 (1160084), страница 46
Текст из файла (страница 46)
(55) Будем разыскивать периодическое решение этого уравнения, имеющее ту же частоту, что и г" созе~. Произведем замену переменных О=ам'. При этом уравнение (55) перейдет в Лзх ша —,.+(ах+ рха) = гт соя 0. пзз (56) Потребуем, чтобы функция х (О) удовлетворяла следующим условиям: х(0-+2 ) =х(0), х(0) = А, х' (0) = О. (5г) Здесь штрихом отмечена производная по О. В качестве параметра выберем 1) и будем разыскивать х(0) и э в виде рядов по степеням р: х (8) = х„ (9) -+ )х, (8) +- ~~ха (0) +- ..., ы = мз+ ню~.+ н юз+ От функций х,(9) потребуем х, (О +- 2п) = х; (8), хз(0)=А; х~(0)=0, (С) 0).
х' (О) = 0; х', (0) = 0 (59) Таким образом, мы можем последовательно находить все у„при помощи квадратур. Так. если начальные данные будут заданы при х = О, то функции у„могут быть последовательно определены по формулам 285 6 З) МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА для упрощения полагаем также, что амплитуда Г мала: В=~ГА (6О) Приравнивая нулю члены, не содержащие р, находим: аах" +.
ахе = О. (62) Общее решение этого уравнения имеет вид хв = Ае соз — 0+ Ве ейп 0. )г ° "о аа Из условий (59) получаем: (63) ао — 1я; В =О. (64) Итак, хе=Асоз0; ае=)г а. (65) Приравняем теперь нулю члены, содержащие р в первой степени. Получим: ех,+" ~= ае, 2 А+Ва (66) или после подстановки вместо хр его значения а'х" +ах, =12авагА — — А2+ Ве) сов 9 — — А'соз 29. (67) 0) 2 Так как х, должна быть периодической функцией, то член с соз 0 в правой части должен обратиться в нуль. Поэтому 2аоа А — — А'+Го=О 2 (68) или /1 Ро~ а,= — ( — А — — ~, 2'~а (,2 А) (69) Таким образом, общее решение уравнения (67) примет вид А2 х, = А, соз 0+ В, з)п 9+ — соз 29, 92 Условия (59) дадут А2, А = — —; В,=О.
ба ' Итак, А2 х, = — ( — соз 0+ соз 20). (7О) (71) (72) Подставляя (58) и (60) в (56), получим: ( 'о+2Р а,+ ...)(х'о-+Р ",+ ...)+ (хе+Рхг+ ...)-+ +~(хеа+2~хех,.+ ...) — ~Весов 0=0. (61) 286 пРиБлиженные методы РешениЯ овыкновенных УРАВнениЙ [гл. 9 Продолжая процесс, найдем: х = А соа 0+- — ( — соз 0+ соз 20) + 0Ао ба е .),гц+~ ( А о')+ (73) ф 4. Метод Рунге — Кутта Методы, рассмотренные в предыдущих параграфах, давали приближенное представление решения в аналитической форме. Как мы видели, их применение связано с выполнением большого числа интегрирований, а это не всегда может быть осущесгвлено практически. Перейдем теперь к изучению численных методов, позволяющих получить таблицу значений решения.
Мы начнем с метода, предложенного Рунге и усовершенствованного Кутта и другимк математиками. 1. Метод Рунге — Кутта решения дифференциальных уравнений первого порядка. Пусть нам требуется найти решение дифференциального уравнения У=У(х у) (1) УдовлетвоРЯющее начальномУ Условию У =Уо пРи х = хо. БУдем пр.дтолагать, что в рассматриваемой области у(х, у) имеет непрерывные частные производные до некоторого порядка п. Тогда искомое решение будет иметь непрерывные производные до порядка и.+1, и мы можем записать: (х — хо)о йУо=У(х) Уо=(х хо)Уо+ 21 Уо+ ''' ( . )ао! + — о у~а+И +о (! х — хо /~ю) (2) Уо=У(хо Уо) =Уо.
(4) Далее, дУо дУо У = — +го —. о дх ду (б) Обозначим х — хо=в. При достаточно малом д мы можем отбросить в (2) член о (1х — хо/"") и пРиближенно считать Ло Лао 1 йуо — у (хо+ л) — уо — "уо+ 2 уо + ° ° ° + у~"+П (3) Может оказаться, что для получения Ьуо с нужной нам точностью не требуется использовать все члены (3). Производные, входящие в правую часть (3), могут быть фактически найдены. Так, 287 метод ганге — кттта А (и)=(у +.7~ ) и= ~а~ Сей а-о (б) Для этих операторов будут справедливы следующие равенства; А и (и +- о) = А„, (и) -+ А,„(о), А, (ио) = А, (и) о+.
иА, (о). (7) Заметим, далее, что !дих А,!Ао,(и)1 = А +,(и)-+ гиА,(У) Ао~ '(д ! ~ у!' (8) Действительно, ИФ ~в оз=л, а с"~' ~г =) о'.А,[у г ' ] а-о а-о ы т — )~с';, Аоо~~ с~~ [ ' ' ] 9 а=а а-о Но ( [уа) А (7) Ъ~~ ~а .а-а д и к=~ а-1 ФИ-1 — ги ( (у) ~~)~~ Са уа д ' [ди~ ['ди ~С~ А, [ ауа ~ д + и д~о+аи с„у ~ аоахулдУ а-о ~д +' ад а д ~ — ад а"' бл а д'"+1и а а+а д'"+1и +~с у+ д ~о+' " д а д м ад а+' щ+ 1 (1(у Чтобы запись последующих производных была менее громоздкой, ввелем операторы 288 пгивлижанньш мвтоды вешания овыкноввнных увлвнзний [гл.
9 что и требовалось доказзть. Применение оператора А, к функции и(х, у) эквивалентно дифференцированию этой функции по х в предположении, что у является решением дифференциального уравнения (1). Таким образом, последовательно дифференцируя (1), мы получим: у" = Аг(У) у" =А [А (г)[ = А (г)+-А,(г) —, -) '~ г(')+ г(') д ~ =Аз(У)+3АгУ) Аг (д )+Аг(У) ' +А(У) (д ), У~= Аа(У)+Аг(У) д +4Аг(У) ° Аа(д )+-6А,(У)Аг(д )+ -+7А,(7) А,( — ) — +-3 [А,(7)[г — + + А, (,У) (~~) + А, О') (~~), (12) (дх ~оду7 Ь ы~о д ог-ад а (Уз=сова[).
(13) а-о Лля них также выполнены равенства (7), а (8) переходит в А, [А,„(и)[ = А„, „, (и). (14) Таким Образом, А,„= [А,[~. (15) Производные у~,'> мы получим, если в (12) заменим у на аА на А.. Мы убедились, что производные уф, вхоляшие в (3), могут быть фактически вычислены. Но в связи с тем, что формулы (12) очень громоздки, их непосредственное использование в (3) для вычисления Ьуо вряд ли может оказаться полезным на практике. С увеличением порядка выражения для производных становится все более и более громозлкими, даже при операторной записи, Рассмотрим еще операторы метод егнге — кгттл Рунге предложил вместо этого составлять линейную комбинацию Ртглг (12)+Рвала(22)+ ° ° ° +Р лт(22) (16) С ПОСТОЯННЫМИ КОЭффИЦИЕНтаМИ Ртг НЕКОТОРЫХ фУНКЦИй лг(Ь)=127 (Ц, 'О1) (1=1, 2, ..., г), (17) где 21=хо+атй )1=уо+Р11К1(й).+Р12йа(д)+ .. +Р;,1 гй1 1(д) (18) и а;, Ц вЂ” постоянные, а,=О.
Таким образом, К(72) = ау(хо Уо) вва (тг) = вв1 (хо+ аа~' УО+ Р21 21)' нв (~) Мв (хо+ а22' УО + Р21 21 + Р22 22)' (19) йт(й) = М(ХО+ атй Уо+ РтЛ+Ртайа+ .+Рт. т-А.-1) знаЯ ан Р17 и выбРав шаг л, мы можем последовательно вычислить все нг(Ь). Выбор постоянных р„1, а1, РО производится так, чтобы разложение (3) и разложение (16) по степеням 72 совпадали до возможно более высоких степеней л при произвольной функции 7 (х, у) и произвольном шаге 12.
При этом функция от(Ь) = У(хо+72) — Уо — 1ртгл1(л) +Рвала(й) + . ° ° +Рттлт (72)1 (20) будет Обладать свойствами 1Р„(0) = У„(0) = 1Р„(0) = . =1р12>(0) = О, р< +1>(0) ~ О, (21) и мы должны подобрать ртн а1, Р1 так, чтобы з было возможно большим лля проиавольных л и 7(х, у). Разность между точным значением Ьуо при продвижении на один шаг длиной л и приближенным значением его, вычисленным по формуле (22) буо =Р, й +Р. й + ° +Р-4' т. е. погрешность метода на одном шаге, будет равна дв+1 Э(2+11 (В) й„(д) = (23) где 0(5(Ь, 290 пгивлижвнныв методы вешания овыкноввнных угавнвний [гл.
9 Условие 9„(0) = 0 в нашем случае будет выполнено всегда. Условие ф>(0) = 0 означает угой= РгМг (0)+Раааа (0)+ .. ° +Райк (0). (24) Производная, стоящая в левой части равенства, может быть всегда вычислена указанным ранее способом. Займемся сейчас вычислением производных Ж~(0). Для )а,(п) будем иметь: й,' (д) =У(х„у ), йгп (й) = 0 при 1 '.ь 2. (25) Для Фг(Д) при () 1 получим: К (д) = У(Ег ти) + й [оо д + ); (й) ~-1.г (Ен тй) = =Х(Ен )г)+а[а» д -[-(рмй!+рада+- ... дт '''+[г ' ' ' ')ду)~(о (26) ьи т 1 тй дхж-а дуя' а-о Операторы В„, обладают следующими свойствами: и) (2Т) В'„", [о(Ео ти)+ф(Ег, ой)[ =В(н [ р(Ео ъ)а)[+ ВЙ[ф(Ео ъ))[, Вгй[у(Е». тй)Ф(Ео о[г)[=В['[у(Еы тн)[Ф(Ен тн)+- + р(Ео оа) В[9 [ф(Ео тн)[. (28) Применение оператора Вг к некоторой функции от Е, и о)г экви- 01 валентно дифференцированию этой функции по И.
Заметим, что д Вжб [Е (Ег тн)[: ~и~и~ Сщ~а да [аз)~ дд а дуа ~ а-о '[; 'ч; д щ ~д а+Воз+г['Г(Ео тн)[ %' а ж-а (а-г од т(Еь|~) (О а-! (29) Чтобы сделать выражения менее громоздкими, снова введем опе- раторную запись. Обозначим В" [у(Ео ~г)[=~вйд — +-),'д — ~ у(Ег тл)= 291 ф 4[ метод втнгя — кяттл Применяя к (26) правила (28) и (29), последовательно получим: (30) (31) И в этом случае наряду с операторами В~„,~ введем операторы В н [Е1(х, у)[ = ) С" а,. "[>),'.(0)[в д в, а. (35) й-о Дла опеРатоРов ВыбУдУт спРаведливы соотношениЯ (28), а Равенн) ство (29) заменится на В~>'>( В~„',~[1я(х, у)[) = В~о„ [ч1(х, у)[. (36) Таким образом, (37) И,'(И) =У(Е>, >)+ИВ',"[У(Е>, тк)[, и1 (и) = 2В) [ 1 (Е1, г)Д[+ иВа [У (Е> тн)[+ итн дя И, (И) =3Во>[У(Еь тд)[-[-3>".
~~~' "' -[-ИВа) [У(Ен ~>)[+ «ВН) [' ~Ч(Ея Ч>) '[ [ И 11 ~Ч(Ея «К) (32) ду ! 1' ду Ичч(И) = 4Во>[у (Е,) )[+12, Во> [дУ(Ея я)1+4 '." ~~(~ь 'в) -[- .+ИВо'[У(.:,, [1)[+6И)',.'В)1>~' '" '"~+4И)'."В>1>~ У"и ">)~+ +ЗИ( ".)а (' " +И (>т> ' ", (33) дуя 11 ду И(" (И) = 5В,"' [~ (Ен 4>)].+ 30)",В)1> ~ — +'-'-'~+- + 20 „,В<;> [ ду (Ея Ч1) ~[+ 15 ( „), д~у (ЕЮ яд + 5 П„> ду (Ея Ч>) + ду 1 ") ду "' ду +ИВ~во[У(Еь тн)]+1ОИт)",В>1>~ ' к ~+1ОИ>)УВ>1>~ ('тм ~+ +-15И( ")аВ)>[~'У(Еьи>)[+5И»ВО>[дУ(Е Чд~+ + 10И ° ( > 1) -[-И <т> ( > ")') (34) ")>'). ду з[ ду 292 пгивлижвнныв мвтоды гвшвния овыкноввнных гглвнвний [гл.
9 Итак, при Й=О мы получим: Фг(0) =У(лв Уо) =Уо л;(0) = 2В10 [у [, )гю (0) = 3Вай [Уз! + 3т)г' (О) 3й, У йр"' (0) = 4Вз ~ [уо! + 12я" .(0) В10 à — в [+ 4ау (0) — ~, А[" (0) = бВ,"' [уз[+ 30з)" ,(0) Вззй [ф+ 20)'," (0) В~н ~ —" ,~ + +13[а".(О)!' — '-[-бапш(0) о —.', ° .! (38) Рассмотрим теперь некоторые частные случаи. 1-й случай: г=1. При этом 9~ гл) =У(ло +л) — У(лв) РггЧ(лв Уа) (39) 9,(") =У (ко+а — РпГ (ла Уо) (40) При а=О получим: 9~(0) =Уо Рп1(ко~ Уо) (4 1) и, вообще говоря, в нуль не обращается. Таким образом, приближенная формула йуо Ю(ло уо) (43) имеет ошибку метода на одном шаге, равную ггг(й)= 2 У (ч) 2 Аа (У) (хо ($~(ло+л).
(44) ~е-Е Говорят, что в этом случае погрешность метода на одном шаге имеет порядок Ьа. Интегрирование дифференциального уравнения по формуле (43) называют иногда способом Эйлера. 2-й с л у ч а й: г = 2. При этом 'та (л) = У (ко+ л) Уо [Ргглг (в) + Рагйз (л)!. (4б) фз(0)=Уо !Рагй~(0)+Рыьз(0)!=/о !Раьуо+Р22)о! (46) и ~р~(0) = 0 для произвольной У тогда и только тогда, когда р„= 1. Далее, р",(О) =У," (42) 293 метод РунГе — куттл Таким образом, у'(0) =0 для произвольной )' в случае, если Рм+Ры= 1. том и только в том (47) Далее, е~ (0) =Уо — !Рагд,"(0)+Раайо(0)) = А1(Уо) — Рж2Вь (Я. (48) Необходимым и достаточным условием обращения ~у," (0) в нуль будет (о! А, = 2Р.„Вг , (49) т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
