Том 2 (1160084), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Сравнивая члены с производными третьего порядка в (96), получим: 3 и з 1 Р43йз+Рааь+Рыач= 4 ° (108) 300 пгивлижвнныв методы гашения овыкноввнных ягавнвни» (гл. 9 СобиРаЯ все соотношениЯ, свЯзывающие величины Ры, ан Рьр мы получим следующую систему уравнений: аъ= ргь. аэ !)э! + гэъ аь = 'рьь + рьъ + !эьэ, Рьь + Рьъ+ Рьъ+ Рьь = 1 1 Рьъаь+Рьэаь+Рььаь = 2 ° ъ ъ ъ 1 Ръ +Р +Рыа 3 э э э 1 Рьъаь+ Риаз+ Рььаь = Ч ° (111) 1 РьэРэъаь + Рьь»ьъгьь+ Р4Аэ"ъ = б 1 РьэРъъаг~з+РььРьъ<Ьаь-+ РыРьэ~ аь = З, ъ ъ в 1 РььРэвав-+РыРьвае+ Ры(ььэаэ = !2, 1 24' 1 Р444ФЫ~ь 2,1 (112) 1 Рьъаь+Рьэаь Г Рььаь — 2 Рм + Рьъ+ Рьъ+ Рьь = 1 ° Найдем'теперь соотношения, связывающие аь и Ц. Возьмем восьмое, десятое и одиннадцатое уравнения системы (111) и будем рассматривать их как систему линейных алгебраических уравнений относительно ры и р .
Для совместности этой системы требуется: ! ~ э 6 в ъ в ! гэъьэ гьъаэ + гьъаэ 12 = 0 1 о р~Ъ,.~ (113) Из послелнего уравнения системы следует, что ры чь О, рьэ Ф О, рэъ чь О, аъ + О. Поэтому, если нам каким-то образом удалось найти величины аь и Рьр то Ры могУт быть найдены последовательным исключением из следующей системы: 801 ф 41 МЕТОД РУНГŠ— КУПА Отс юла 1 аз 4 аз аз О р,за, 1 =о (114) или — 4рззаз+ 2рззаз — аз+ а,а, = О. (115) ас и вычтя из него девятое, по- 1 1 ас 8 Рсзгззаз (ссс аз) (116) Проделаем тоже самое с пятым и шестым уравнениями, а затем с шестым и седьмым.
Это даст два равенства: ! 1 2 ас — 3 =Рсзаз(ас — аз)+Реваз(ас — аз) (117) 1 ! 2 2 3 ас — — =рсвхз(ас — аз)+рсзаз(сс~ — ссз) (118) Умножим (! 17) на аз и вычтем из (118). Будем иметь: (- --)- (- — —.)= 1 !! /! 1! — схс — 4) — аз ! — ас — 3 ) = Рсзаз (аз — аз) (ас — сс,), (119) Подставим сюда вместо рс,(ас — аз) его выражение из (116); получим: !зззаз ((3 ас 4) аз (2 ас 3)~ (6 ас 8) аз(аз аз) (120) ! 1 1 ! 1 1 или Жзаа — 6рззаз+ Заз — Зазаз = ~12~)ззаз — 8рзза + 4аз — 4азссэ] ас. (121) 2 з Г 2 2 Прибавим теперь к левой части (121) утроенную левую часть (115), а к скобке в правой части учетверенную левую часть (115).
При этом равенство (121) переплет в 2 3 — 4~22аз = — 4()ыазаа. (122) Так как Ц ~= О, а, + О, то аз = 1. (123) Соотношение (1!5) позволит нам ! аз Ф вЂ”,, и ласт равенство а,=а, 2' Умножая восьмое уравнение на лучим: выразить рзз через аз и а,, если 1 если аз = —.
2 ' Потребуем теперь совместности пятого, шестого, седьмого и один- надцатого уравнений системы (111) относительно р42, рв,, р44 с уче- том (123). Это возможно только, если ! 2 аг "в 1 а ав 1 2 В ав а 1 в в 1 3 (124) 1 4 1 О О Рдфвгав 24 Отсюда 1 1 1 12 аг ав 1 6 аг а 1 6 О О Р4~33 а (125) Раскрывая определитель и производя некоторые сокращения, найдем еще одно соотношение, связывающее аг и ~41." р43(гввав (12а,а, — 8а, — 8ав+ 6( = (1 — ' аг) (1 — а,). (128) Наконец, последнее соотношение мы получим, если потребуем совместности восьмого, девятого и одиннадцатого уравнений (121) относительно рв, и р44. Это даст 1 3423+Р4336 1 342 2+ 143 3 6 1 143 32 г 24 бвгав (127) р~ваг~~ Отсюда 1 42 ~+бы в 6 1 ''+'' 8 1 24 =0 (128) и окончательно (гввав (! ав) = (гвврввав (3 ~ав) + рагав (ав — 1), (129) 302 пгивлиженные методы гешения оеыкновенных еглвнений (гл.
9 303 3 4! метоа РунГЯ вЂ” куттА Итак, для удовлетворения системе (111) мы сначала подбираем а» и р»Р удовлетворяюшие условиям: аз= гвъ+ Рм а, = Р»ъ+ Р»2+ Р»з, а» = 1, 2 2 482ъаь — 2рвъйь + ав — аъаз = О. (130) Р»врвъйъ (12аъав — 8а, — 8аз+ 6 ! = (1 — аъ) (1 — а,), р»ъйъ (1 — ав) = !2»врвъйъ (3 — 4аъ) + р»зъв (аз — 1), а затем находим Р»о решая систему (112). Рассмотрим некоторые частные варианты формул Рунге — Кутта, имеюших порядок погрешности на одном шаге И'. 1 1 1 ! а) йъ = —, йз =, 822 = —, ПРН этОм йгъь —, йгзь = О, й»=1 2' 2' 1 1 1 ! г»2=1, Р»2 — — О, !)ы — — О, Рз»= 6 Р»ъ= з* Раз= 3 Ры= 6 ° Получаем формулу »»Уо 6 (Иъ -!-2И2+ 2Из+И»! ! (131) где И»=Из'(хо Уо)! Из=Из' (Хо+ Уо+ 2)1 И Иъ! 2' Ив= Ит (хо+ 2 Уо+ 2! И» И» (Хо+И.
Уз+ Ив). (132) И Иъъ ИУЭ= 3 (Иъ+3И2+3Ив+ И»! 1 (133) где И Иъ! ( 2+3' -!о+ 3)' 2 Иъ ,— У(.+ЗИ, У,— 3+И); И„= ИУ (хо + И, Уо+ Иъ — И2+ Из). (134) Это одна из наиболее распространенных формул Рунге — Кутта. б) Полагаем аъ — — —, а,= 3. Тогда Ръъ 3 а,=1, !)22 —— 1. 1 2 ! 1 1 3 3 Гм — 3 ° Р»з — !)»2 — Рзъ — Рз» вЂ” 3 ! Р»в — 3 Рьъ — ц ! Рсч = и . Получаем следуюшую формулу: 304 пгивлижвнныв методы гашения овыкноввнных хвлвнвний [гл.
9 1 1 в) Полагаем аа = ~а, = —, а, =— 1 Тогда ра, = —, [)о1 = О, 1 2 Рая= б Роз= 3 ° Раз — — О, ач — 1, р4з= 2, 3„= — 2, р„=1 1 Ры = —. При этом получаем: б ' ~Уо б [нг+47гв+ ло[ 1 (135) где аг=йУ(хо Уо)' 1 ( о 4 '.)о+4 г)' 1 ФЗ ЬУ (хо+,2, Уо+ ~[' (зо=лт (хо+а Уо+ Ф,— 27за+йз). (136) При желании набор формул можно увеличить. Погрешность каждой из этих формул равна Ло 15)() 04(й) — 12 (137) где Р„(й) =У(х +й) — У(хо) — [Р И (й)+Роа7г (Ы.+ + Р4з1ез Й) + Р44ла (Й)1 (138) Вычисления показывают, что при г= 5 мы не достигаем увеличения порядка точности.
Поэтому эти формулы применения не находят. Можно получить формулы, имеющие порядок ошибки Ьо, но при этом придется брать г, об. Получаются очень громоздкие формулы, неудобные для практики. Поэтому о них мы говорить не будем. Применяя ту или иную формулу Рунге — Кутта, мы найдем приближенное значение Ьуо, а следовательно и у,=у(хо+ 7г). Затем можно взять за начальную точку х,=хо+гг и за начальное значение У,=У(хо+7г) и продвинуться еще на один шаг такой же или другой длины. Повторяя этот процесс, мы получим таблицу значений искомого решения в некоторых точках. Приведем примеры на применение формул Рунге — Кутта. Будем искать решение уравнения у' =у, удовлетворяющее начальному условию у (0) = 1 на отрезке [О, 1[. Шаг вбзьмем равным 0,1, 305 й 4! метод Рунге — ну!та Точнь!м решением будет у= ее и его значения будут даны позже. Ход вычислений будет виден из таблицы.
Применяется формула 1 ау! = 6 (~ + 4д*+ л ) Ф, = ду(хе у;)1 аз= лУ(х!+ 2, у;+ — ); аз= ау(кз+ и,у;+2да — АД, и у(х, у) 2ла 2лз — Лз х;+Ь 0,0 6ауз ау! 0,2100 0,1100 О.! 1,1052 0,6310 0,1052 0,2320 0,1215 0,2 1,2214 0,6972 0,1162 0,2564 0,1343 х а к+в 2 0,00 0,05 0,10 0,10 0,15 0,20 0,20 0,25 0,30 У! У1+ 2 л! уз+2аа — Л~ 1,0000 1,0500 1,'1 100 1,1052 1,1605 1,2267 1,2214 1,2825 1,3557 Х(хе у!) /(хз+ —, у!+ — ) У(х;+ Ь,уз+2яе — Аз) 1,0000 1,0500 1,1100 1,1052 1,1605 1,2267 1,2214 1,2825 1,3557 да ла "э 0,1000 0,1050 0,1110 0,1105 0,1160 0,1227 0,1221 0,1282 0,1356 0,1000 0,4200 0,1110 0,1105 0,4640 0,1227 0,1221 0,5128 0,1356 9 4) мвтод Руигв — куттл х ( 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 1,34986 1,49182 1,22140 1,10517 1,64872 1,82212 0,9 0,7 0,8 1,0 2,22554 2,45960 2,01375 2,71828 Как мы видим, результаты получились довольно хорошие. 2. Метод Рунге — Кутта решения систем дифференциальных уравнений первого порядка.
Метод Рунге — Кутта без труда переносится иа системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Для сокращения записей ограничимся системой двух уравнений: — =7(х, у, г); — = п(х, у, г), (139) и будем разыскивагь ее решение, удовлетворяющее начальным УсловиЯм У(хо)=уо, г(хо)=го. Как и Ранее, обРазУем фУнкции )зо()г)=)гУбю.
Ъ "-); (о(д)=дубо ')г (г), (140) где Ц = хо+ аг)г, аг = 0; ог = хо+ аг)г, а, = 0; ти Уо+гггйг+гго'го+ ' +ге г-ганг-г 'Ог = уо+ М! + Йо)го+ + 10 1- А- г; ~г = Яо+ ТгА + Тго1о + ° ° ° + Тг,г-А гг ~г = хо+ ТгА+ Тгойз-)- ° ° ° .+ То, г-А-г (14! ) Приведем таблицу значений ео с пятью верными десятичными знаками: 812 пвивлиженные методы Решения ОБыкнОВенных УРАВнений (гл. 9 Задача опять будет заключаться в подборе постоянных и!, рар 7ау, и!, Зав, т!р р„а, д„! так, чтобы разложения функций Оу,— (р Д,(Д)+р„~,(Д)+ ... +р„„й„(й)Ь (142) Д»,— (4,,1,(Д)+д„Д(Д)+ ...
+4„1„(Д)) (148) по степеням й начинались с возможно более высоких степеней л. Введем операторы /д д дАт А (и)=!А — +7 — +и — ) и= 'Адх ду д») (144) г ! в ! г! ' е дх" ду' д»' ' в+в+В т l д д дат Ат (и) = ~ дх + Уо ду + да д» ) — Х вЂ” м ,„! дт, г! в!Г!" а о дхвдувд»! — ~'ав . (145) вава! т Как и ранее, получим: А,(А (и))=А „,(и)+лвА,(7)А~,( — )+лвА,(о)А~,( ~) (148) А, (Ат (и)) = А„„, (и). (147) Используя (146) и формулы, аналогичные (7), получим: ув=А,(7,), Уа~!а!=Аз(~о)+ЗА (,7о) А (д')+ ЗАв(да) Ав(~У.)+ (148) — дУо Г дУо аа дно дУа +~(7~) о+~(в) о + 1( ) о а ду 'А ду! д» ду +АЯМа) д,— + в(Уо) д д, +4вМо) д, д,, дУо дко <Чо дзо дУа 515 метОд РунГе — кутта $4) а'„' = А, (во) =Аз(зо)+ ((Го) д + ((во) да ' а((т( = Аэ(Ко)+ 5А((~о) А1 ( — )+ 5А((Ко) А( ( ')+ +Аа(йо) д'+А((Уо) д д + 1(Ко)~д ) ° (! 49) Далее, вводим операторы В (и) = ! ( д +4((Д) д +Е((Ю) — о( и= Е ~ И 3 "' ( ' ~1 ( ~ ~1 "ЗРЭР дз ' о+о+( т д от Сй(п) =~а'д„+К() д +(-() д 1 и= ,— (,'„а,-~4;(ДДЕ,'(д)1', ', ",, (150) о+о+( т Очевидно, (151) Заметим также, что — „'„Вйу(ЕМ .4ь Е,)) =В'*'„~у(ЕМ )о Е())+ +щ4( (й) В((> Г у(Е(' чо ~() 1+т"~ (д) В( > à — — '".'— 'д 1, (152) ,ц, С(МУ(ЕМ .4о С()) =С(П+((У(ЕМ о!о С;))+ +(и'4( (д)С'~-, ~ "' ~+п(С((д)С('-(~ ~' ~* (155) Операторы В„, и СО зависят от параметра Ь.
Их значение при (и (и А=О будем отмечать чертой сверху. й (д)=Убз ял гч)+-йв['[Убо чз ~г)[, йй (д)=2В['[Уб~ тй (ч)[+-ЙВУ'[У(сз з[з, (з)[+ ° „) ду(6~ чъ "~) +,г'. „) дуби чь гч) дз А',"ж=зв~н[Убн )о ~д[+3)",ж ""',' "'+ +3'"(д) ' "' ' +дво'[Убо тй, ~~)[+- + ЗИ" (д) В'н [ ~~б' ч' ~) "+ Зд"." ® В'01 ~~"' " 'д~+ дУбь ч,, ~Д + „„«, дарбо вя Сю) да~~(д) 4в~зо [У'б з)о ~;)[-+ 12т[у (д) В[ ~[ ' ~' ~+ ду + 120 ( ь) В(н [ дг(еь чь сг) 1 [ 4 'в (ь) дУ (сь пь ".д + 425(ь) ду(гч тк гч) дз (154) Члены в фигурных скобках для нас сейчас значения иметь не будут.
Таким образом, Ф, (О) = У, Ф, (0)= 2В~н(Уз), й (0) = Зв~~н (Уз)+. 34 (0) — в+ 3, (0) чз А~~~' (О) = 4В) ~ (уо) + 124 (0) В[ч ( о1+ 12Г; (0) В,О[ — ~1+ (155) Аналогично получим: 1ю(0) = ко Ю, (0) = 2С[0 (Ко), )'у(о) = зСзн м -+ 3.4" (о) '" + з:"(о) — ',"', 4"~ (0) = 4Счзн Мо) -1- 124" ,(О) С'," ( „д') + 12".; (0) С~Н ( д') + (156) 314 пгизлижвнныв методы гашения овыкнованных гглвнвний [гл. 9 Использун свойства операторов Вм„", и С'„~,', находим (при 1) 1): 815 6 41 мвтод вунгв — кэттл Будем получать формулы Рунге — Кутта, имеющие порядок погрешности на одном шаге )зз.
Для этого необходимо, чтобы функции 47 (7)) = У (Хо+ )э) У(Хо) 1Рз)74) (") + Рвов (7)) -+ 1 + Рзз~з ('") + Р44724 (74)1 ф (7)) = я (Хо + Ь) — я (Хо) — 1474)7) (7)) + з74272 (7)) + + )7 7 2))+ 474 ! (7))1 (157) облздали свойством т (0) 'р (О) р (0) = ср (О) = %ря)(0) — О.
ф(0) = ф' (0) = ф- (0) = ф- (О) = ф)).)(0) Равенство нулю первых производных даст Рзэ+Р42+Рзз+Р44 = 1 р. + 47 -+- ч4 + р = 1. Из ~р" (0) = ф" (0) = 0 следует: А, = 2рззВз '+ ЗрззВ)') +- 2Р44Взв). А, = 2з742С) ) + 2474)С) ) + 2з744С~~ ). (! 58) (159) (160) Приравнивая нулю третьи производные, получим: и) )2) — <з) А,=бр„Т,2С, +6Р,Т С, +бр Т„,С), Аэ — 347„С2 + 3474,С2 + З)744С„, А, = бз74зрззВ,' + бз744р42В) + 6)744рзэВ~", — , (2) 42) )э) А, = 6)7аТэв~ + 64744Т42 ) + 6474)Т42С) (161) Наконец, равенство нулю четвертых производных даст Ав(Уо)+ЗА)(Уо)А)(д )+ЗА)(ло)А) (д )+А21Уо) — + +Аз(72)(,ду) +А)(82) ду д +Ав(82)да +А)(уо) д д + I дуо т' — д12 дуо дуо ддо дУо При 7= 1 булез) иметь: А(74)=72' л) (7))=0 (l'> 1): 7)(7))=6~, '7) (7))=0 (/) 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
