Том 2 (1160084), страница 52
Текст из файла (страница 52)
9 й б) вазностныя мвтоды гвшвния гвлвнаний высших погядков 345 Сравнение полученных результатов со значениями ев дает следующую таблицу ошибок (в единицах пятого десятичного знака): 3-й способ 4-й способ 2-й способ х 1-й способ Как видно из этой таблицы, интерполяционные способы имеют заметное преимущество в точности по сравнению с экстраполяционными. формулы, при помощи которых мы решали уравнение в 3-м и 4-м случае, связывают значения у»з, не с у„, а с уь,, и поэтому может случиться, что значения уа с четными индексами и нечетными индексами будут слабо связаны друг с другом.
Так это и произошло в четвертом случае. Тогда прибегают к сглаживанию или самих значений функции или их разностей. Полученные нами способы без каких-либо дополнительных рассуждений переносятся на системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. При этом, конечно, придется параллельно решать все уравнения системы. ф 6, Разностные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений высших порядков Уравнения высших порядков могут быть сведены к системе уравнений первого порядка.
Поэтому на них переносятся все те методы, о которых говорилось в предыдущем параграфе. Однако при этом получаются системы очень специфичного вида, для которых возможны упрощения общих методов. К этому вопросу мы сейчас и перейдем. Пусгь задано дифференциальное уравнение и требуется найти его решение, удовлетворяющее начальным условиям: у~х)=у, у'(х)=у,'. Воспользуемся тем же способом, 0,0 0,1 0,2 О,З 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1.0 0 0 0 0 0 — 1 — 2 — 2 — 3 — 4 — б 0 0 0 0 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 0 0 0 0 +1 Π— 1 — 1 — 2 — 2 — 3 0 0 0 0 +1 0 — 1 0 — 1 0 — 1 34б пеивлижвнныв методы ввшвния овыкновянных эглвнвний [гл.
9 который мы применяли для уравнений первого порядка. Предпо- лагаем, что нам известны значения у иу' в точках х,„, х,,..., х Находим тогда значения У„„,( „..., г'„, а и строим интерполя- ционный многочлен Ньютона для интерполирования назад: г(г+!) ... (г+д — !) д! ю-ьд' (2) Интегрируя его по 1 в пределах [О, Е[, получим: у'(х,+Ей)=у'+д ~ Р +(У', + —,,— Р~,+ о + + "' ) га Ж.
(3) д! ж-в,а ! При Е= 1 будем иметь: о о г(г+ !) ... (с+д — !) а! ж-ьга! =у +Ау' +йа[а ! +а,/~ - + . +ввуза' лв[, (5) где (б) о о Вычислив коэффициенты ам мы сможем найти у и тем самым ж-~г продвинуться на один шаг. На практике приходится сталкиваться с уравнениями, в которых 1(х, у, у') не зависит от у'. Тогда нет необходимости на каждом шаге вычислять у'. Поэтому целесообразно совершенно исключить у' из (5). Для этого проинтегрируем (3) по Е в пределах [ — 1,0[. тде а! — коэффициенты экстраполяционной формулы Адамса. По (4) мы можем вычислить у',, Интегрируя (3) по Е в пределах [О, 1[, получим: 1 348 пеивлиженные методы гашения овыкновенных уеавнений !гл.
9 Таким образом, мы получим: У -~ — ~'У + —,2 ~'~У,+Х'„ч+ — У',+ + —,', У'..ь+,~ У.,+ ...~. (12) Эта формула носит имя Штюрмера. Процесс вычислений по формуле Штйрмера идет так же, как и для уравнений первого порядка, только вместо д=йг'(х, у) берут г=йзУ(х, у). В качестве примера рассмотрим уравнение У =У (13) и будем отыскивать его решение, удовлетворяющее начальным данным: у(0) =1, у'(О) = 1. Ьудем использовать формулу (12) до третьих разностей. Начальные четыре значения возьмем нз таблицы, полученной по формуле Рунге — Кутта. Получим таблицу: г=лт' г! азу гз х у 0,010000 0,011052 0,012214 0,013499 0,01491 9 0.01 6488 0,018222 0,020138 0,022256 0,024597 0 1 1052 110 0,1 1,1052 1162 13 0,2 1285 1285 12 135 135 0,3 1420 1420 14 149 149 0,4 1,4919 1569 16 0,5 1,6488 1734 1734 17 0,6 1916 191 6 20 0,7 2,0138 2118 21 2118 223 2,2256 0,8 2341 0,9 2,4597 1,0 2,7184 2587 Как мы видим, вычисления оказались очень несложными — производятся в уме.
Записей очень мало. Результаты довольно точ« ные. Рассмотрим еще пример интерполяционной разностной формулы для решения дифференциальных уравнений второго порядка. На этот раа применим интерполяционную формулу Стирлинга: 7( +!И)=7„+Ц„+ — ", ~'„+ + ( ) 72 + ) 7'4 -1- ° (14) б 42 24 Как и ранее, получим: У (х + б!4) = у'„+ д ~ ~У + Ч'„+ 2 У" + о + — — ) га + ) 74 + ...~4(!. (15) В частности, при 1= 1 будем иметь: + ( )~3+ '( ) 74+ ~гав б 24 24 =У' +)4(пег„+и У' +а,га +е г'2 +41 ~4 + ...~, (16) где 42 (Г2 1) ... (42 42) ее!22 = (24+ 2)! о 1 !" г(г — 1) ...
(42 — р) / (24+ 1)! о (17) Интегрируем еще рав (15) по $ в пределах (О, 1(, Будем иметь: =У +74У' + 742 ~ й ~ ~1 -+-(Г„+ — !"- + о о + б Р4+ 24 1в+ '''~ г (га — 1) Га (42 — 1) -У-+'.;+Да[р 7-+рЛ+р'У'.+р.72.+р,7.4+ " ] (161 ~ 6) РАзностные методы Решения УРАвнений высших погядков 349 где /' 1' Г (Гз — 1) ... (Гз — Гз) 8„„=~ А~ ~ 21~11 (1, Е Е 1' Гз (Гз 1) ... (Гз Гз) ,1 ',/ (21 + 2)1 (19) о о Интегрирование (15) по е в пределах ( — 1. 01 даст о у =у„,+ь~„'-+-д ~г(1~~у +ц„'+ ~ у„+. о Г (Гз — 1) ~з Гз (Гз — 1) б зз 24 оз =у„,+ ьу.'+д'М.+ у,~'.+М'.+ + (з~з + ( гз + ) (20) где о Е .
1'г(гз — 1) ... (гз — р) '(зз = ~ "Е ( (21+1)1 о о /' гз (гз — ц ... (г — гз) Тзгоз / ~~' / (21+2)1 (21) о Вычитая (20) из (18), получим: -+о ~~ +озУз +о У4 + ~ (22) где +Е /' Г (Гз — Ц ... (Гз — Ез) озе+з=рзе+е Тзео' УоЕ,/ (21-1-111 гег=О, (23) о так как под знаком внутреннего интеграла стоит нечетная функцияг, а Е 1' г (г — ц ... (г — г) озеоз газ+3 (зе+з 1 е1~ / (21 1 2)1 о -Е (24) 350 пгивяижянныв мвтоды гашения овыкноввнных твлвнвний (гл. 9 8 б) г»зностныв катоды гзшвния твлвнвний высших погядков 351 В частности, 1 Е (25) 0 -с 31 8 289 60480 ' з 3628800 Подберем теперь такую функцию э „для которой бы столбец /» являлся столбцом вторых разностей.
Это можно сделать бесчисленным множеством способов. Можно, например, произвольным образом задать у', и последовательным сложением с Д„уо — « заполнить столбец первых разностей искомой функции. а затем произвольным образом задать у , и последовательным сложением с Рг ч ф,, ег, ... полУчить таблицУ значений 70 БУдем обозначать у!,, через 7;. ',, а 7, — через 7, Левая часть (22) является второй разностью для значений у;, взятой в точке лг.
Правая часть (22) является второй разностью от «»[8,7 '+8У.+8Я+3,У',+8У'+ 1 (26) взятой также в точке лг. Поэтому первые разности этих двух табличных функций могут отличаться только на постоянную. Таким образом. Ут-г1 Ум ~ 0)м+'л+ »~та.г'л+ 4~ги+'л+ + 8»7~~- г + 8еу~„ч + ...1+С. (27) Эта постоянная С будет равна нулю, если при т= О она нуль.
т. е. если Уг — Уо = «'~8»У г + 8»Л~ + 8»7*'~ + 8»Л~ + 8»Л~ + ° ° ] (28) Последнее равенство будет выполнено, если подходящим образом выбрать /,'. Будем предполагать. что это сделано и С в (27) равно нулю. Тогда, еще раз применяя такие же рассуждения, получим: У = «»~8 У +8ау + 8 ~" +8 ~4 +8»У' -т' ...1+С (29) Опять если выбрать у', так, что будет выполнено равенство уо ~ о~о + в~о+ 4 о+ в~о+ в~о+ то (29) перейдет в У =ив(8,7„-4-+84/ +8,7 +3„7.
+3,У + ...1 (31) нли, если использовать (25), ,Г ° ! 1, 3! у4о ~74о + 12 ~ и 240 ~4о+ 60480 "' 289 3 628 800 (32) При этом /, и 7, нужно выбрать так, чтобы были выполнены равенства: 31 у у ь2~7 + 7"1 Ув + /в 289 3 628800 'а+ (33) вР в, 1 1, 31 уо !~о 1 12 о 240 ~о+ 60480 ~о 289 3628800 ~о+ ' ' '~' ! Равенство (32) называют формулой суммирования Гаусса.
В качестве примера на применение формулы суммирования Гаусса рассмотрим задачу о колебании математического маятника, Дифференциальное уравнение этих колебаний — = — — з1п р й йгв (34) путем замены независимой переменной (35) приводим к виду й — = — з(п р. йлв (36) Пусть начальные условия будут: р(0) = 60'= — = 1,04720, <р'(О) = О. 3 Шаг й возьмем равным 0,2. Вылксления будем производить по формуле 1 1 <~ = г-'+ — г,„— — г' = г-'+ т, 12 240 ов ы (37) где г,„= гвву,о= — 0,04 сйп р 352 пгизлижвнныв методы гвнввния овыкноввнных воззваний !гл. 9 г„г~„г„гя — 1 г„ з лч — 276 0,98116 — 3 318 — 3 429 — 111 5 1б! — 10 — 286 1,032 77 +76 — 0,2 1 732 — 289 70 — 3 464 — 1732 .
+35 — 342 0,0 1,0472 1,032 77 0,2 — 5 161 — 8 479 +111 10 — 276 0,98116 — 3 318 — 3 118 89 0,97 84 0,4 16 0,98637 110 0,8 938 0,6 — 115 97 310 17 26 — 2 808 0,7781 — 12 0,8 127 10 — 144 05 — 2 371 — 18 02 — 1 112 1,0 0,6344 0,4671 0,2819 12 — 16 776 — 18 578 569 48 — 150 0,46859 1,2 121 б 90 — 41 57 0,28281 — 12 1,4 — 196 90 — 20 ОИ вЂ” 19 577 — 183 60 770 0,0591 27 1,6 7 97 — 62 — 0,11 40 — 0,11441 1,8 762 — 54 +1 217 +1890 — 0,31018 +101 2,0 673 56 — 0,49378 — 0,4 922 +157 2,2 Интерполируя, легко находим, что 9=0 при х= 1,6857. Точное значение х с четырьмя десятичными знаками равно 1,6858. Можно было бы получить еще ряд формул.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
