Том 2 (1160084), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Нужно только заметить, что применение более точных формул может усложнить систему, а применение менее точных формул потребует введения большого числа узлов и тем самым увеличения числа уравнений системы. 1. Метод конечных разностей решения краевых задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка. Рассмотрим, как решаются второй и третий вопросы для уравнения ') у" — д(х)у=г(х) (и(х)) О).
(8) Заменим вторую производную в узле хг выражением увы — 2уг+ уг Ьз (7) При этом получим систему линейных алгебраических уравнений Уг+з — 2Уг+У~-г — г)у;=гг (1=1, 2, ..., п — 1), (8) уь (9) Если наши краевые условия имеют вид (4), то добавляем к (8) еще два уравнения: — у,+ау,— Зу, Зуя — 4У„,+ у„,, уз=и Полученная система линейных алгебраических уравнений будет разрешима при любых а, Р и гг, если соответствующая однородная система имеет только тривиальное решение. Обозначим угьз — 2уз+ уг (11) Пусть дана произвольная система и+ 1 чисел: уь, у,, ..., у„; докажем, что если при любых 1 1(у;))~0.
то наибольшим положительным числом среди уг может быть только уь или у„. ') Здесь д(х) и г(х) предполагаются дважды непрерывно дяффереяЫяруемыми. О разиостных схемах решения краевых задач для уравнения (ь(х)у')' — «(х)у=г(х) с разрывными а(х), в(х) иг(х) в. А. н. тихоновв н А. А.
С а и а р с к я й, ДАН СССР, т. 122, 562 — 566, 1зое. Если наши краевые условия имеют вид (2), то к уравнениям (8) еше добавятся 374 пгивлижвнныв мвтоды вяшвння овыкноявнных явлвнвний !гл, 9 Действительно, пусть у» —— М вЂ” наибольшее положительное число из уь, у,, ..., у„, такое, что по крайней мере одно из чисел у„ь, или у», меньше М.
Если бы наше утверждение было неверно, то такое у» обязательно нашлось. По предположению у"' У»+ У» * — Ч»у ) О. — Ч»У»- Если заменить здесь у„+, и у„, на М, то мы увеличим левую часть. Таким образом. М вЂ” 2М+ М вЂ” д„М= — Ч,М) О. (13) — — 0 йь %У~ = (14) — У»+ 4У1 — ЗУ» 2й — йу =О ь— (15) находим 1+ йй 1 1 — — д,й 2 (16) Совершенно так же найдем; 1 + й,й Ун-1 = 1 Уя 1 — — Ч„,йэ 2 (17) ПУстЬ тенеРь имеетсЯ какаЯ-то система чисел Уь, У„..., У„, Удовлетворяющая нашей однородной системе, такая, что не все у; равны нулю. Опять приходим к выводу, что наибольшее положительное из них или наименьшее отрицательное могут быть только на концах.
Пусть уь будет наибольшим положительным значением, Будем предполагать, что й настолько мало, что — Ч йа с,. 1. Из 1 2 Но это невозможно, ибо Ч» >~ 0 и М ) О. Точно так же доказывается, что если мы имеем систему чисел уь, у,...., у„, длн которой 1(у,) < О, то наименыиим отрицательным числом среди них может быть толысоуь или у„, Теперь мы в состоянии доказать, что система (8) при краевых условиях (9) имеет только тривиальное решение, если а= р=г, = О.
Действительно, если бы она имела нетривиальное решение, то среди чисел ун ..., У„нашлось бы или наименьшее отрицательное или наибольшее положительное, а это противоречит только что доказанным утверждениям. Докажем теперь то же самое для системы (8) с граничными условнямп (10) при а=р=г,=о. В граничных условиях (10) будем предполагать, что й) 0 н й, )~ 0 и по крайней мере одно из этих чисел отлично от муля. Исключая у, Нэ уравнений ~ 81 Рвшвниа квлввых 3АЛАч для овыкноввнных дно зелвняний 375 ЕЕУ,)~( — !Е(у,)~ (Е=1, 2, ..., а 1), а на границе Уо>!уо~ У >!у.! ° то ари всех Е будет У > !у !. Действительно, из (18) следует: Е(У,— у) (О; Е(У,+у) (О, а из (19) (18) (1 9) < 20) (21) у, — у, > о, у„— у„> о, ) (22) У,+у,> о, У„+у„> о. 1 Поэтому, в силу доказанных на стр. 373 — 374 утверждений, имеем (20). Ьудем, как обычно, обозначать через у, точное значение решения дифференциального уравнения (6) и через у,— приближенное решение, полученное путем решения системы (8).
Через е, обозначаем разность (23) Ео=ув ун Величины о, удовлетворяют системе ~ а — (ечв,=й, (Е=!. 2, ..., а — 1); оо = о = 0 (24) где ЕЕ, есть погрешность, вызванная заменой второй производной формулой численного дифференцирования (7), и может быть оценена как ло 1Е7,) < — М,, М = шах !ун!(х) ). нй!о Ы Рассмотрим систему чисел ч)о удовлетворяющую условиям: тв„— 2ж+,Ь, Ло д1ч)~, Мо (Е 1 2 а 1) 1 чЕо = Ъь = О. ) (25) (26) равенства (!6) следует, что у,»уо. Так как в силу нашего предлоложения не может быть у, уо, то у,=уо. Но тогда из доказанных нами утверждений следует, что все у, равны друг другу. При етом из (8) и (10) при а=()=г,=о следует, что у,=о. Таким же образом доказывается, что среди чисел у, нет наименьшего отрицательного.
Решение системы (8) не встречает затруднений, поэтому мы этого касаться здесь не будем Перейдем к оценке погрешности. Будем рассматривать только граничные условия вида (9). Докажем сначала еще одно утверждение. Если в узловых точ ках даны две системы значении уо, у,, ..., у„ и 1'о, Уо ..., У„ такие, что 376 пеиялижвнныз катоды гвшвния озыкноввнных гвавнвний [гл. 9 В силу только что доказанного утверждения будем иметь т)г ) [е;[. Мы еще увеличим наши величины, если будем рассматривать значения, удовлетворяюшие системе Рг ~= — — Л(4 (1= 1 2 ...
л — 1)' ро — — р = О. (27) Ла 12 4 Итак, рг)~['ег[. Решение системы (27) находится без труда. действительно, уравнение (27) говорит о том, что вторая разность величин рг постоянна. Таким образом, величины р; можно рассматривать как значения некоторого многочлена второй степени в точках хг. Этот многочлен имеет вид Лт (х — а) (Ь вЂ” х) — Мг 12 2 Максимальное значение многочлена (28) на отрезке [а, Ь[ дости- а+Ь гаегся в гочке х=,, и оно равно 2 ЛзМг (Ь вЂ” а)т (29) 96 Гаким образом, [е [~ (Ь а)г лам, (30) Если решение у(х) имеет ограниченную четвертую производную, то из (30) следует, что е; — +0 пря л-+О, Недостатком этой оценки, как и всех аналогичных оценок, является то, что в нее входит четвертая производнаяот искомого решения, которую обычно бывает трудно оценить, 2.
Метод конечных разностей решения краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. Перейдем теперь к нелинейным уравнениям второго порядка. Этот случай потребует более громоздких рассуждений. Будем рассматривать дифференциальное уравнение у"=Дх, у, у') (31) и граничные условия азу(а) — а,у'(а) = а; рау(д) + ~,у'(Ь) = ~. (32) При этом будем предполагать, что /(х, у, х) — непрерывная функция в некоторой области О пространства х, у, х, выпуклой относительно у и х, и что а,>, а,, ре, рг — неотрицательные числа. В дальнейшем мы наложим на функцию 7(х, у, г), область гг и постоянные ае, а,, рю рг некоторые дополнительные ограничения. Как и ранее, разбиваем отрезок [а, Ь[ на л равных частей точками: Ь вЂ” а а = хе ч х, ( х, ( ...
с. х„, ( х„= Ь; хг — х;, = )г = —. л (33) 378 пгивлнжвнные мвтоды гашения овыкноввнных гглвнвний )гл. 9 Отыскание (о не встречает затруднений. Действительно, первое пз равенств (40) означает, что вторая разность функции (о равна нулю. Таким образом, 1„должна иметь вид („=С,+С,И, (41) тде С, и С, — постоянные, которые следует подобрать так, чтобы были выполнены граничные условия, Это накладывает следующие ограничения на С, и С,: Гг Го С Со ао(о — а,— =аоС,— а, — =а, И И (42) Ягогя+ 0~ и = 8о(с, +сои) + ~, '= ог. Получили систему двух линейных уравнений для определения С н Са.
Чтобы зта система имела определенное решение, необходимо и достаточно требовать отличия от нуля определителя = —,(аоро(Ь вЂ” а)+ао8,+аЩ= — „'. (43) 1 ат яо го" +— р! И Это требование мы будем считать выполненным. Тогда, решая систему (42), найдем: а от И р роя+в И = — (~~ л + — „' + +), (44) С =— 1 г а С, = —,' ~,"'; ! = —,'(~8 — Р,). (45) 10 ((ФФ) +о кы+ Кп о-ив — 2 (7=0. 1. 2...,, л; И= 1, 2...., и — 1), (48) аойм — а, йп К" =О, (47) (48) Величины его будем искать в виде / (с)+т()(еИ+ Г) (1 (А), '1 (сИ+ Н)(е1+Я ((,оИ), (49) Для отыскания яю удовлетворяющих (89), подберем сначала величины п,о(С И=О, 1, 2, ..., л), для которых выполнены.следующие соотношения; 4 81 ввшвнив кваввых задач для овыкноввиных див.
гяавнвний 379 а Д(14 7) а е(ег+г) (ае! — а е)(е)+7)=0. (52) Вторая скобка (ег+7) не может быть тождественно равна нулю, так как тогда было бы ет„0. Поэтому из (52) следует: аф — а, — „= О. (53) Совершенно аналогично из (48) получим: ро(с!+ Н) (ел -)- 7) + (), ( + ) = [Ц(ел +/) + р, ~~~ (с!+ а) = О. (54) или ро(ел+7)+р,— „=О. Из (53) и (55) следует: ао(~оп+ — ') ее(+ ! о с(= О. (55) (56) Будем рассматривать (51) и (56) как систему линейных алгебраических уравнений относительно ее! и су.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
