Том 2 (1160084), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Поэтому Нлю нужно выбирать так, чтобы и условие (36) было выполнено. Наконец, на практике мы всегда ограничиваемся каким-то решением у„, и следовательно, нам необходимо уметь оценивать разность между точным решением задачи у и приближенным у„. 398 пгивлижвнныв мвтоды гвшвния овыкноввнных квавнвний (гл. 9 при некоторых краевых условиях. Функцию 7' будем предполагать непрерывной. Возьмем какую-нибудь систему функций у(х;а,,аз,...,а), (38) зависящих от а параметров а . а,, ..., а„, число которых можно неограниченно увеличивать и таких, что прн всех значениях параметров в некоторой области они удовлетворяют краевым условиям (последнее требование не обязательно, если краевые условия есгественны). Зафиксируем а и будем использовать в качестве допустимых функций в (37) только функции (38).
Подставляя (38) в (37), получим некоторую функцию а переменных у=Ф(а,, аз, ..., а„). (39) и наша задача свелась к отысканию минимума такой функции. Этот минимум находится обычным образом. Приравнивая нулю частные производные — =О (1=1, 2, ..., а), (40) получаем систему уравнений для определения а,, а,...,, а„. Пусть а,, аз, ..., а будет решением этой системы (условия существования и единственности решения предполагаются выполненными). Тогда у„=у(х; а,, аз, ..., а„). (41) (42) то на отрезке 1а, Ь! !» — у„'~ <: !У вЂ” у„* ~ <' Действительно, тогда и лля функции у(х), дающей точное решение минимальной задачи (37), можно подобрать такую функцию у„", что будут выполнены условия (43).
Прн этом ь .I(у„*) — г(у)= ~ ~7(х, у„", у*„) — у(х, у. у')]г(х (44) а (43) Как мы видели, Нш з'(у„) существует. Наложим некоторые ограничения на семейства у(х; а,, а,, ..., а„), обеспечивающие выполнение условия !!ш /(у„) = гп. Для этого достаточно потребовать следующее: для каждого е ) О и для каждой допустимой функции краевой задачи можно полобрать такое и и такие значения параметров а",, а",, ..., а„', что если у„=у (х; а",, а,*, ..., а*„), 10) евшвнив кгливык задач лля овыкновянных див.
гвлвнвний 399 может быть слелано как угодно малым в силу непрерывности 7, Таким образом, о < у(у*„) — у(у) < ), (45у где т1 как угодно мало. Тем более о<ду„) — у(у) <), (46г (Злесь у„— минимизирующая функция в семействе (38) .) Неравенсзво (46) и показывает, что у(у„) — ту(у), Сейчас мы перейдем к одному эффективному способу построения функций у(х; а,, аз, ..., а„). Нам придется наложить некоторые лополнительные ограничения на функцию 7'(х, у, у'). Ограничимся краевыми условиями вида у (а) = а; у (Ь) = 1), Как и всегда, будем прелполагать, что вариационная задача имеет единственное решение у(х) в классе гладких функций, уловлетворяющих краевым условиям (47).
Относительно функции 7'(х, у, у') будем предполагать следующее: 1. Для каждого числа М должно существовать такое число Й, что любая функция, уловлетворяющая краевым условиям (47) и неравенсзву 7(х, у, у)ах <М, (48) должна также удовлетворять неравенству 1у ) < й; х ~ (а, 51. (49) 2. Для каждого числа )с можно подобрать такие постоянные с> О, г(, р) 1, что при всех х и у, принадлежащих области О: а ( х ( Ь, — )т' ( у ( 77, (50) и произвольном л, — со (л( со, имеет место неравенство 7(х, у, л) ) с ( л1~-+ г(.
(51) Возьмем произвольную систему непрерывно дифференцируемых на (а, 51 функций ое(х), (т(х)... „у„(х), ..., лля которых выполнены следующие условия: 1. ро(а) = а' ~о(Ь) = 8' <рь(а) = оь(Ь) = О (л = 1, 2, ...), (52) 2. При любом а функции у',(х), о'(х), ..., ~7'„(х) линейно независимы. 400 пгивлижанныв мвтоды вешания овыкноввнных ававнвний [гл.
9 гт„(х) = ар',(х).+ а,у,'(х) + ... [- а„?„(х) такой, что (53) (54) [Р(х) — Р„(х)!(е х~[а, Ь[. В качестве функции о (х) можно, например, взять р — а ~?е(х) = а+ — (х — а), (55) а в качестве функций еа(х) (й=1, 2, ...) ~ра(х) =(х — а)" (х — Ь), (56) или х — а у„(х) = а[и йяв а — а (5?) За функции у(х; а,, аа, ..., а„), о которых 'говорилось выше, будем брать многочлены у„(х)= <ре(х) + аг4,(х) [- ...
-[- а,р„(х). (58) Очевидно, при любых а и а; многочлены (58) удовлетворяют крае- вым условиям (47). Подставляя (58) в (37), получим: у(у„)= Ф(а„аа, ..., а„), (59) Докажем, что эта функция достигает своего наименьшего значения при некоторых конечных значениях ап Для этого возьмем какую- нибудь систему значений ал а*,, а', ..., а*„ и обозначим Ф(а'и а„', ..., а„')=-М.
(60) Ясно, что нам достаточно рассматривать только такие значения ап для которых функция Ф имеет значения меньшие или равные М. Тогда, в силу первого условия, наложенного на /(х, у. л), найдется такое )с, что будет выполнено неравенство (49). Но при этом мы можем ограничиться областью О определенной (50), где выполнено неравенство (51). В силу этого неравенства будем иметь: М)~ ~ 1'(х, у„, у„')с(х)~ ~ (с~уз+~а,р,', +г() дх. (61) а а 1 а-! Отсюда а И ре'+,~~ аа9'„ах а,. = М~ (69) а а 1 3. Для любой непрерывной на [а, Ь[ функции Р(х) и лля любого е) 0 можно найти обобщенный многочлен 10) Решение кРАеВЬ|х ВАдАч для ОВыкноВенных диФ.
УРАВнений 401 или 1 ь а р )р 17'+ ~) 11р„' с!л~ (М,р. а й 1 (68) Применяя неравенство Минковского '), найдем: 1 1 < й» р ) — ( й )р ( а р Р ~ 1) а,Р', ал~ =~ ~ Фа'+~~) айр' — Фа' С(Х~ ( а й-1 а й 1 1 ь (М, +- ~~Т„'~'Ь =М,. а (64) Обозначим (66) Ма,+ ай+ ... +ай Тогда неравенство (64) можно записать в виде 1 ь а р )р у'а1+а,'+ ... +а'„1 ) !) )АФ,', с(х~ (М,. (66) (а й-1 )1 ай1+а',+ ...
+а'„( — '. (67) Итак, мы получили, что множество тех значений аг, для которых функция Ф не превышает М, образует замкнутое ограниченное множество пространства )са. Следовательно, найдется такая система значений ао для которых эта функция принимает свое наименьшее значение. Заметим, что для многочленов (58) выполнены условия полноты (43).
Действительно, в силу третьего предположения о функциях Фй(х) для любого е ) О и любой непрерывно дифференцируе- 1) См.. например, Л. А. Люстерник, В. И. Соболев, Элементы функционального анализа, ГТТИ. 1951,'стр. 847. Второй множитель левой части последнего неравенства как непрерывная функция )ч на единичной сфере ибо ~~' )й= ! достигает й-1 там своего наименьшего значения 3. Это 6 не может быть нулем, так как функции Фй' линейно независимы. Таким образом, из неравенства (66) следует: у'( ) — у,'( ) — ~', а',( )(< а[.., ' .[. На в-1 Отсюда у(х) — <ра(х) — у аьсрь(х) = ь 1 =([, -Я.-Х.„:+* .. а А-1 (69) Поэтому мы можем утверждать, что 1пп ./(У„)=т. При наших предположениях о функции 7(х, у.
Е) мы можем доказать и большее. Покажем, что из последовательности функций У„(х), минимизирующих функционал (37), можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Прежде всего заметим, что мы можем предполагать неравенство (62) выполненным для всех и. Таким образом, ~ ~ у„' (х) ~Р г(х < М,. а ~ 70) Поэтому неравенство Гельдера даст нам ~.а( > — аа.И= 1"К~ >~ )< 1Р~К( Ч» < 1 1 1 ( 1 хг — ха[У / [У, (х) ~ г(х ~([х1 — ха )' Мгв, (71) где х, ~х,1 х,, ха~[а, Ь[, — + —,=1. 1 1 Р Р (72) Это означает, что последовательность функций у„(х) равностепенно непрерывна.
Она является и равномерно ограниченной, так как )с, определяющее область О. можно считать одним и тем же для всех функций последовательности. Тогда на основании теоремы Ариеля мы можем утверждать, что найдется подпоследовательность из функций у„(х), сходящаяся к некоторой предельной функции у(х): 1!а у„(х) =у(х). а -«са 1 402 пвивлиженные матоды РешениЯ ОВыкноВенных УРАВнвний [Гл. 9 мой допУстимой фУнкции У(х) найдУтсЯ такое л и такие ао что ~ 10] Решение кРАВВых ЗАДАЧ для ОВыкноВенных дие.
УРАВнений 403 Ио лг = [[ш У(Уаг) = У) ['ш Уа,1=.г(у). Таким обрааом,у(х) = а -ьас [а -ьас г Обозначим ш]п р(х) = г; шах ~у(х) ! = г'. а ч [а, Ь] ее[а, Ь] Из (74) следует: ь ь ~ у" г]х ( — + — / ) 7(х) ] с]х. (76) (76) Кроме того, очевидно у (х) = сг+ 1 у' (х) Нх, (77) Поэтому у «( ~ а ~ + / ! у' (х) ~ Нх. (78) Применяя неравенство Буняковского, получим: г ° Г«« ~ а]+']Г б — а ~ уса НХ. (79) Из (79) и (76) следует: у«()а!+)г д — а (80) Преобразовывая это неравенство, найдем, что У должна удовлетво- рять условию ь а — с([,~.с' — ' / [са~~с,) с-~.[ ° ~ — а" ' <о.
~са =у(х). Дальнейшие рассмотрения будем проводить для краевой задачи (1) и (2) при тех предположениях о р(х), д(х) и 7'(х), которые были сделаны ранее. Прежде всего покажем, что в этом случае выполнены требования 1 и 2 на функцию 7'(х, у, г). В этом случае 7(х, у, У')=р(х)У' +су(х)У'+27(х)у. (73) Пусть У(у) ( М. Тогда ь ь / р(х)у"с[х(М+-2 / )У(х)((у)дх. (74) а а 404 пеивлижвнныв методы гвшвния овыкноввнных ввавнвний [гл. 9 Последнее неравенство будет выполнено только при ]', заключенных между следующими двумя числами: ь [а[+ / [у'(х)[Нх + а + [~~ — а г (82) Таким образом если обозначить»срез ]т значение величины (82), где выбран знак «+» перед корнем, то 0 < 'г' (Й. Проверка того, что выполнено второе условие, тривиальна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
