Том 2 (1160084), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Достаточно взять следующие значения: р=2; с=г; И= — 2гс шах [У(х)[. (83) еЕ]а, Ь] Таким образом, все предыдущие рассуждения применимы к нашему случаю. Но здесь мы можем пойти и дальше. Рассмотрим ](у„) — у(у). Обозначим Ь вЂ” у= ](х). (84) Тогда ь у(у„) у(у) = ~ ~р (х)у„'а+д(х)у'„+2/(х)у„— р(х)у'— » — д(х)уа — 2У(х)у]с]х= / [р(х) т]" +д(х) т] [с]х+ а + 2[ [р(х)у'т]'+-д(х)ут]+-у'(х)т]1ах. (85) а Произведем интегрирование по частям в первом члене второго интеграла, учтя, что й(а)= 4(Ь)= О.
Получим: ь ь ~ р(х)у'т]'с]х= [р(х)у'т]] — ~ [р(х)у ['т]г]х = ь = — ~ [р(х)у'['т]с]х. (86) а У У 5(Р()з1 +Ч()ч] ь — 2 ~ Цр(х)у'] — Ч(х)у — Р(х)] т1с(х, а (87) и так как у удовлетворяет дифференциальному уравнению (1), то ь .7(у„) —,7(у) = ~Яр (х) (у„' — у)а+ Ч (х) (у — у)а] Нх.. (88) а Следовательно, / (у'„— у')зс(х < и (89) Г 1у„— у~ ~ / ~у„' — у']Их~(~Я вЂ” а~~~у„' — у'~аг(х~ ~( < 3à — '-,' ~~(у.) — 7(у). (90) Так как Р(у„) — 7(у)-+О при л-+со, то мы приходим к заключению, что вся последовательность (у„) стремится к у.
При этом неравенство (90) даст оценку погрешности. В нашем случае функция Ф, минимум которой приходится отыскивать, имеет вид /(у„) = Аз + 2 "~~ Аьаь + ~~.'~ ~~'.~ А гла;аь, ь-г г ь 1 (91) где ь о = Я Р (х) 9о + Ч (х) Раз+ 2 Р (х) Чо] с(х. а ь .'Р '1 Р (х) ЧоРь + Ч (х) 'РоЧь +Пх) 'Рь] их (92) (Рз= 1, 2, .... л), (93) Аы=Ад,— — / [Р(х) сР'лРь+Ч(х)<РРь]Нх (Г, й=1, 2, ..., л) (94) а — известные постоянные числа.
101 ввшвнив квлввых задач для овыкноввнных дие. квьвнвний 405 Таким образом, Таким образом, для отыскания коэффициентов аь получим систему линейных алгебраических уравнений — ь " — Аь-+У~А„а,=о ()ь=1, 2, ..., а). (95) $1 Чтобы эта система имела решение и притом единственное, необходимо н достаточно, чтобы соответствующая однородная система имела только тривиальное решение. Но это так и будет в нашем случае, Действительно, если бы имелась нетривиальная система значений а,, ао,, а„, удовлетворяющая системе ~ Аоьаь — — 0 (рь=1, 2, ..., и), Ф 1 то, обозначая ф, = агр, + лоро+ ...
+ а,ро (97) и используя значения Ае„мы получили бы ь / [р(х)ф' <рь+д(х)ф ~р ~Ых=О (й=1, 2, ..., а). (98) Умножая каждое из этих равенств на соответствующее аь и складывая полученнгяе равенства, мы нашли бы ь [ [Р(х)ф" + а(х) ф'„~с(х =О. Равенство (99) противоречит нашему предположению о том, что функции р,, <ро, ..., <р„' линейно независимы. Изложенный нами метод решения вариационных задач был впервые предложен Ритцем и поэтому носит название метода Ритла.
Методом Ритца можно решать и краевую задачу (4) с нулевыми а и р. При этом принимаем сРь(х) =(х — а)" (х — Ь)о (й = 2, 3, ...), (100) а функции ~ро и ор, подбираем так, чтобы при любых е и е, были выполнены условия аз[соре(а).+е,ср,(а)[+а,[еро'(а)+с,~р',(а)) =О, ~ "р. [ео ро (Ь) + ег р (Ь) [+ р [е. р, '(Ь) + е, р, '(Ь)'[= О (101) Это возможно осуществить, если взять <ро (х) = (х — а)' ~х — Ь— Ро (Ь вЂ” а) 23~ + Ьо (Ь вЂ” а) ср, (х) = (х — Ь)о [гх — а — ' ) ~. (103) (102) 406 пвивлингвнныв мвтоды гашения овыкнованных явлвнвний [гл.
9 Случай ненулевых а и р можно свести к случаю нулевых заменой искомой функции у(х) =г(х)+0(х), (104) где 6(х) — некоторая функция, удовлетворяющая краевым условиям (4). 3. Понятие о методе Галеркина. Рассмотрим теперь кратко метод академика Б. Г. Галеркина. Хотя он и не связан по своей идее с предыдущим, но часто приводит к тем же вычислениям.
Пусть нам требуется решить дифференциальное уравнение (105) при некоторых однородных краевых условиях. Опять выбираем полную систему независимых функций (ув(х)), удовлетворяющих краевым условиям. За у„(х) принимаем у„(х) = ~ч~ аь~рь (х) (106) и требуем выполнения следующих условий: ь ~ (Е(у„) — Яэь(х)~1х=0 (1=1, 2, ..., и). (107) Если бы нам удалось так подобрать у(х), удовлетворяющую крае- вым условиям, что было бы выполнено ~ (Е(У) — У!Уь(х)с(х=0 ()э=1, 2...,), (108) а то в силу полноты системы функций (ув(х)) отсюда следовало бы, что у(х) удовлетворяет уравнению (105).
В нашем же случае можно ожидать, что у„(х), удовлетворяющее (107), будет близко к точному решению у(х) при достаточно больших а. Теория метода Галеркина более сложна, и мы ее здесь излагать не будем. Заметим, что если Е(у) — линейный дифференциальный оператор, то для определения коэффициентов получается система линейных алгебраических уравнений. Эта система совпадает с системой (95) для случая задачи (1). (2), если функции эь(х) выбирать как и в предыдущем случае, Преимущество метода Галеркина состоит в том, что не приходится разыскивать вариационную задачу.
эквивалентную краевой задаче. 6 101 эяшвнив квлввых задач для овыкноввнных дна. явлвнвний 407 408 пвивлижвннып методы вншнння овыкновннных ивдвниннй [гл. 9 УПРАЖНЕНИЯ 1. Найти решение уравнения у-+ ' у .( ~1 "',) у = О в виде ряда у = аох'+ атх'+'+ ... + а„х'+" + 2, Методом последовательных приближений найти решение уравнения У =У. удовлетворяющее начальному условию у (О) = 1. 3. Пусть для дифференциального уравнения у' =У(х, у) найдены функ- ции (Го (х) и ио(х) такие, что: а) Ц,(х) и ио(х) определены на отрезке хо(х < хо+ а; б) 0о(хо) = ио (хо) = Уо' в) (»'о(х) — у(х», (уо (х) ) > О, ио(х) — у(х, ио (х) ) ( О при хо ( х ( (хо+а.
Тогда, если У(х, у) — непрерывная функция в области, опреде- ленной неравенствами хо(х~<хо+а; ио(х)(у(бо(х), и является там монотонно возрастающей функцией у при всяком фиксиро- ванном х, то последовательность, образованная из Уо(х) при помощи ре- куррентной формулы (Уя=уо+ ~ У(х, (1я т)а»х, монотонно убывает и сходится к решению уравнения у' =У(х, у), удовле- творяющему начальному условию у (хо) = уо. Аналогично последовательность, построенная из ио при помощи рекуррентного соотношения и„=уо+ ~ у(х, и„») ах, аь монотонно возрастает и сходится к такому же решению. Доказать. 4. Заменить условие монотонного возрастания функции у(х, у) по У в предыдущем упражнении на монотонное убывачие и исследовать поведение введенных там последовательностей функций (у (х) и и„(х).
5. Считая 1» малой величиной. найти периодическое решение уравнения иту иу »тхт — + о»ту = и (а — Ттуо) — + о з! п х »тх (оь а > О, 1, р > Π— постоянные). 6. Исследовать остаточный член формулы Рунге — Кутта при г=2 в предположении, что выполнены неравенства (138) б 4. Т. Различными численными методами найти решение уравнения — ха+ уз »тх 409 упважнвния удовлетворяющее начальному условию у(0) =1, Решение разыскивать на отрезке [О, 1[ с четырьмя верными значащими цифрами. 8, Различными численными методами найти решение уравнения на отрезке [О; 0,75[, если начальные условия имеют вид у(0) =1,у'(О) =О, 9, Различными численными и вариационными методами найти решения краевой задачи: у" — 4хту = — 2а *, у(0) =1; у(1) =е '.
ЛИТЕРАТУРА 1. Л. В. Кант о ро ви ч, В. И. Крылов, Приближенные методы высшего. анализа, Гостехиздат, 1952. 2. Л. В. Канторович, Функциональный анализ и прикладная математика, УМН, т. 3, вып. 6, 1948. 3. Л. Кол па тц, Численные методы решения дифференциальных уравнений, ИЛ, 1953. 4. А. Н. К р ы л о в, Лекции о приближенных вычислениях, Гостехиздат, 1951. 5. Ш. Е, Микеладзе, Новые методы интегрирования дифференциальных уравнений, Гостехиздат, 1951. 6. В.
Э. М и л н, Численное решение дифференциальных уравнений, ИЛ, 1955. 7. С. Г, Михлни, Прямые методы в математической физике, Гостехиздат, 1950. 8. М. Р. Ш у ра - Бура, Оценки ошибок численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, ПММ, т.
16, вып. 5, 1952. 9. Н. С. Бахвалов, К оценке ошибки при численном интегрировании дифференциальных уравнений зкстраполяшюнным методом Адамса, ЛАН СССР, 1955, т. !04, М 5, 683 — 686. Кь А, Л. Горбунов и Б. М. Буда к, О сходимости некоторых конечноразностных процессов для уравнений у' =у(х, у) и у'(л) =у(х у (л). у (х — г (х) ) ), ЛАН СССР, 119, Уй 4, стр. 644 — 647, 1958, или Б. М. Буд ак н А. Л.
Горбунов, О сходимости некоторых конечноразностных процессов для уравнений у' =у(х, у) н у' (х) =У(л у (л) у (х — г(х) ) ), Вестник МГУ, гй 5, 1958, стр. 23 — 32. ГЛАВА 10 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ И ИНТЕГРАЛЬНЪ|Х УРАВНЕНИЙ 5 1. Введение С дифференциальными уравнениями в частных производных и интегральными уравнениями приходится встречаться в самых разнообразных областях естествознания, причем получить их решение в явном виде, в виде конечной формулы, удается только в самых простейших случаях. В связи с этим особое значение приобретают приближенные методы решения различных задач для дифференциальных уравнений в частных производных, систем дифференциальных уравнений в част.
ных производных и интегральных уравнений или, как часто говорят, задач математической физики. В настоящей главе мы и рассмотрим некоторые, наиболее распространенные методы решения задач математической физики. При этом мы ограничимся в основном методами решения задач для линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с двумя независимыми переменными и линейными интегральными уравнениями, в которых искомая функция зависит только от одного независимого переменного. Изложение методов для случая произвольного числа переменных было бы связано с очень громоздкими записями, в то время как основные идеи методов, а тахже возникающие при их реализации трудности хорошо усматриваются в простейших случаях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
