Том 2 (1160084), страница 65
Текст из файла (страница 65)
д. Этого пересчета можно избежать, заранее составляя для значений функции в граничных узлах особые б г с уравнения. отличные от уравнений ,Р во внутренних узлах. Достаточно удобный для практики способ составления этих уравнений предложил Коллатц. Каждому граничному узлу А (рис. 33) соответствует Рпс, 33. точка В, лежащая на пересечении границы Г с прямой, принадлежащей сети (узловая прямая), удаленная от А на расстояние бл С Ь, а также ближайший к А внутренний узел сетки С, лежащий на продолжении отрезка ВА (предполагается, что сетка достаточно мелкая), Тогда для узла А можно написать уравнение 428 методы вешания дне. гглвнвний в частных пгоизводных (гл. 1О Это уравнение означает, что значение и получается линейной ин~ер- А полянией значений ио и у .
Получаемая при этом погрешность будет порядка Из. Используя при составлении уравнения для значения и в граничном узле большее количество узлов, можно получить более точншо аппроксимацию. Например, Микеладзе при решении задачи Дирихле Рис. 34. Рис. 35. для уравнения Пуассона предлагает следующие уравнения для определения значения ие в граничном узле О: И Итя+ азиз З иг+ из В ИзУв И+в И+В + И+В 2 2(И-)-Ь) ' (см, рис. 34) Ит. + Ви4 + В Луч+ гиг ШИУе +з и+в +в и+ 2( +з) ' (см. рис, 35) Порядок погр.шности будет в этом случае И'.
Такого типа формулы могут быть получены с помощью второго способа аппроксимации дифференциального уравнения разностным, описанного в п. 2. Рассмотрим теперь аппроксимацию других граничных условий, встречающихся при решении краевых задач для эллиптического дифференциального уравнения второго порядка. Наиболее общий вид линейных граничных условий следующий: (25) д где з, Р и е — заданные функции точки границы Г, - — — производ- ' дл ная по нормали определенного направления (например, по внутренней нормали), причем предполагается, что па+~') О.
При з= — О, р=1 получим задачу Дирихле, при а==1, Р=О получим задаче Неймана. В зависимости от е и р' на различных кусках гранины Г условия могут быть разные (на одних кусках заданы значения ршения, на других кусках — значения нормальной производной, на третьих кусках — их линейная комбинация с переменными ~ 21 метод сетОк РешениЯ ЕРАевых 3АдАч ллЯ диФ. УРАВнений 429 коэффициентами). В этом случае переход от заданных граничных условий на Г к условиям на границе Г сеточной области сильно усложняется из-за наличия в граничных условиях нормальной производной. При этом переходе нормальная производная должна быть заменена через разности значений в узлах сетки.
Ограничимся случаем квадратной сетки и укажем простейший способ построения уравнений для граничных узлов. Пусть Π— один из граничных узлов. Перенесем в этот узел нормаль из ~очки границы Г ближайший к О. Всегла можно найти два таких внутренних или граничных узла, что направления проведенные из узла О в них будут образовывать прямой угол. Тогда, обозначая угол направления 1, с направлением нормали через ро 1рис. 36), булем иметь: ди ди ди — = — СОЗ Фо+ — ЯП Фо. дл д1г д1э 126) 4. Разрешимость разностных уравнений и способы их решения. Применяя мезод сеток для решения краевой задачи для линейного дифференциального уравнения с линейными граничными Произволную по направлению Рис. 36.
приближенно заменим оз ношением иг — ио иг — ио гт — а произволную по направлению 1Š— отношением где 1; — расстояние 1-го узла от узла О 11 = 1, 2). Тогда будем иметь приближенное равенство ди и,— ио иэ — ио дл 1 соз ро+ — яп ро го и для граничного узла О вместо заданного граничного условия иа Г будем иметь уравнение "о ( 1 соз Ро+ 1 згп 9о) + Роио= 9о А 27) где ао, Ро, эо — значениЯ соответствУющих фУнкций в точке гРаницы Г, ближайшей к узлу О. При этом мы совершаем погрешиосзь, заменяя нормальную произволную линейной комбинацией значений функции в узлах, а также перенося нормаль и функции а, Р, Ф сГвузелО.
Такие уравнении записываем лля каждого граничного узла. Присоединяя их к уравнениям для внутренних узлов, получим систему линейных алгебраических уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных и равно числу внутренних и граничных узлов. условиями, мы получаем систему линейных алгебраических уравнений,число которых равно числу неизвестных. Естественно возникает вопрос о разрешимости этой системы и способах ее решения.
Рассмотрим эти вопросы для системы (4), которая получается при решении задачи Дирихле для уравнения (1) методом сеток при разностной аппроксимации, изложенной в п. 1 настоящего параграфа. Эта система имеет вид и+ ь — 2иь+ и,. ь и; ьчг — 2и в+ ив ь 1 + 1ч и;+, ь — ич ич ь — и; ь + ссь ' 21, ' +. Аа ' 21 ' +-Кььигь = Ль.
где число неизвестных иы равно числу уравнений, т. е. числу вну- тренних узлов. Перепишем эту систему в другом виде, сгруппиро- вав члены, содержащие одни и те же неизвестные. Получим систему 1иа,— — Атис+1 ь+Вгьиг на-+С лип ь+г+1)саик ь г — Е вись — — (сто где аг сг„ Агь = — „+-— Лч 2И ' ась сьь ьсе йа В„= — ' — — ' Ст= — '+ —, Лч 26 ' 1ч 2г Ь - й~ 2асч 2ьгь Г)т = — — —, Е ь = — — '+ —, — ка. гч 21 г 'Лг + 1ч Так как мы предполагаем, что а, Ь, с, й, и непрерывны в области О+Г, причем а) О, Ь) О, в (О в О+Г, то при достаточно малых и, 1 коэффициенты Аап В,„, Сон От, Есь будут положительны во всех узлах сеточной области. Будем предполагать, что это условие выполнено.
В этом случае имеет место теорема (принцип максимума): Если оо,— какая-либо система значений в узлах сетки и для каждого внутреннего узла 1от)~0, то оьь во внутренних узлах 0* не могут иметь положительного максимума, а если во всех внутренних узлах 1о;ь (О, то от во внутренних узлах не могут иметь отрицательного минимума. Исключением является случай оо,= — сопз1. В сймом деле, пусть осьфсопз1 и во всех внутренних узлах меет место неравенство 1от)~0. Предположим, что огь достигает положительного максимума М в некотором внутреннем узле. Тогда можно найти такой внутренний узел (1в, йь), в котором о„ь,= М и хотя бы в одном соседнем с ним узле значение о,,ь меньше М.
В выражении 1о;„ь„заменим огь на М, тогда будем иметь строгое неравенство М [А' ь, + Вць„+С ь +-1)сь, — Есь,[ ) О. Но 430 мвтоды гвшвния диь. гвьвнвний в частных пгоизводных [гл. 1О 5 2) мвтол свток гашения квлевых задач для див. эвлвнвний 431 Таким образом, л. а > О, что невозможно. Следовательно, наше допущение было неверно и первая часть утверждения показана. Вторая часть доказывается совершенно аналогично. Теперь легко показать, что система (4) имеет решение и притом елинственное. Для этого достаточно доказать, что соответствующая одноРолнаа система (7!а и все значениЯ в гРаничных Узлах Равны нулю) имеет только тривиальное решение, а это сразу слелует из принципа максимума.
Так как если бы решение однородной системы было отлично от нуля хотя бы в одной точке, то оно. лолжно постигать на Г" либо наибольшего положительного значения, либо наименьшего отрицательного значения, что невозможно, так как на Г' по Условию ига = — О. Следовательно, однороднав система имеет лишь тривиальное решение, а неодноролная система(4) имеет одно и только одно решение.
Совершенно аналогично можно доказать разрешимость систем уравнений. которые получаются при решении задачи Дирихле лля уравнения Пуассона методом сеток при всех разностных аппроксимациях. которые мы рассмотрели в п. 2, а также системы уравнений, в которой для граничных узлов записываются уравнения по. способу Коллатца, так как во всех этих случаях для разностных операторов имеет место принцип максимума'). Для решения получаемых систем могут быть использованы метолы, изложенные в главе б.
Часто применяют метол простой итерации или метод Зейделя, Докажем сходимость этих метолов применительно к системе (4), пополненной уравнениями Коллатца лля определения значений в граничных узлах. Для применения метода простой итерации удобней систему переписать в таком виле: .4 В„, С„, 77!а У! и!а = е и!ч-!,а+ — и! — !,а+.— ипаэь+- — 'ипа ! — —, (28) га! ' Е!а ' Е!!, " + Ега ' Е!а влип лтв л+ А В этом случае, когда коэффициент !г в уравнении (1) строго.
отрицателен, а сетка выбрана настолько мелкой, что Ада, В!а, Саы Йа Е!а положительны, сходимость процесса простой итерации процесса Зейделя показывается очень просто, так как тогла в системе (28) все коэффициенты положительны и сумма коэффицненв пРавой части каждого уравнения строго меньше елиницы. в силу неравенства 3л ( )г, а А„.
4 В. -+- С,„+ Ег — И. = Е; ° т. е. Ам+В!а+Сд,-+Е!!а ( Еш. ! и 374, ) Соответствующие рассуждения аналогичны приведенным на стр. 878 432 мвтоды ившвния дие. твлвнзний в частных пгоизводных 1гл. 10 Этого достаточно для сходимости обоих процессов итерации, причем скорость схолимости будет определяться величиной А,а+ В,а+ С„+ )9аа ~ ~у= шах л,„а За+а ' Ем —,.( ' (см гл, 6).
Это доказательство не пройдет, если а может обращаться в нуль, так как в этом случае в некоторых уравнениях сумма коэффициентов будет равна единице. Поэтому мы приведем отдельно доказательство сходимости итерационных методов решения системы 128) для случая л в О. Начнем с простой итерации, В этом случае последовательные приближения находятся из соотношений С,а нн О;„<„г;, а+ и, а+,-+ — ива г — —— Е~а Еаа ' Еы ' 129) зли + атв зл+ а и1а = Е и1+ьа+ Е и,-г ~ввн А а 1в1 В а 1в1 и(в и л Введем обозначе1 им Ага В,. С,. Ви 1 вл Т = пп1п — ', — —, - ', — — ','; Ь = гпах 10 ( Ь ,а( ега еа еш ' ° еы )' вл1а ( ("'н(< —,'"( '"', (+ — ""-( 1-'ь.(+ — '"( ~",' (+ "( 5 (; Ета ' Ега ' Ед, для узлов первого разряда будем иметь неравенство ~в.~-1) ( ~ -А11в! Назовем граничные узлы узлами первого разряда.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
