Том 2 (1160084), страница 69
Текст из файла (страница 69)
е. третью краевую задачу, так как, полагая 3,(у)= — йа(у)= — О, получим как частный случай и вторую краевую задачу. Если для решения задачи используется такая же сетка, как и в случае первой краевой задачи, то в этом случае значения в граничных узлах, расположенных на прямых х=О и х=1, не могут быть непосредственно определены из граничных условий, Для этих граничных узлов нужно записать разностные уравнения, аппроксимирующие дифференциальные соотношения на границе. Аппроксимация граничных условий может быть выполнена следующим образом.
Про- ди! ди~ изводные — ~, — ~ в граничных дх ~„„' дх ~„ узлах (О, у), (и, 7) заменим соответственно конечными разностями Х д х-г Рис. 43 иж — иги иш — и„ л ' и Тогда для граничных узлов (О, /), (и, Я, используя условия (4'), можно записать следующие разностные уравнения: им иы и„— и„ + йг1ио! = Вгс „' + йг1и„1 — — Взу.
(23) Легко видеть, что погрешность аппроксимации граничных условий в этом случае будет первого порядка относительно й. Поэтому начальные условия также достаточно аппроксимировать с втой точностью, т. е. для отыскания значений решения в узлах первых двух горизонтальных рядов можно воспользоваться равенствами (9'). Итак, для определения приближенных значений решения в граничных и внутренних узлах сетки имеем систему уравнений А; и;,~+г+ В;;ипг,-1, -СОиььь, +0пи! цу+Еыиы — — 7О (1<!<и — 1; 1(,/<и), (7') им+ иго(3ОД вЂ” 1) = ЙВгт и„, [1 + 8аэй[ — и„,, = ДГзт (! '<7 < т).
(23') и, =ср,; им= срг+!ф; (1=0, 1, 2,..., и). (9') 454 мвтоды ввшяння дне. увавнвннй в частных пгонзводных [гл. 1О С помощью уравнений (9') мы найдем значения решения во всех узлах первого н нулевого горизонтальных рядов, включая н узлы (О, 1), (и, 1); нз уравнений (7') найдутся значения решения во всех внутренних узлах второго горизонтального ряда, а с помощью уравненнй (23') найдем значения решения в граничных узлах второго горизонтального ряда.
Далее переходим к третьему горизонтальному ряду н т. д. Более точную аппроксимацию граничных условий можно получнть, заменив входящие в ннх производные центральными разностями. Это можно сделать двумя способами '). П е р в ы й с и о с о б. Кроме рассматрнваемых узлов, привлечем еще узлы — ! н и+1 вертикальных рядов (см. рнс. 44) н будем аппроксимировать граничные условия в узлах (О, у) н (и, у) соответственно разностнымн уравнениями и, — и и„, .— и„ + йтуиоу = Ету( 2„+ йсуииу = Рту, (24) Для исключения значений и т, н и„еьу используем разностные уравнения, аппроксимирующие дифференциальное уравнение в узлах (О, у) н (и, Я, т.
е. Аауис,у„с+Ва,ид,,— т+ Сауиы+ 0оуи пу+Еоуиоу=Хай А„и„,+, + В„и„,, + С„уиь ну+ 0„,и„ь;+ Е„,и„; = уму Подставляя в ннх и т,у н и„+т,, нз уравнений (24), получнм: Аюив, у+ ь + Ваала у- т+ (Сот + Реу) им + (Еоу+ 2!айьуЕзез) иоу = = Уау+2йОауЕт;, ~ (25) Ато „,а+Вам „,, +(С„;+В„у) „ьу+(Е„у — 2ййюс ) Х ~ Х иш= (в — 2йС„Рз. Так как аппрокснмацня граничных условий в ятом случае имеет порядок Йз (в предположении, что уравнение (1) имеет место н на грзннцах х=О н х=1, а также предполагая, что решение можно гладко продолжить за зтн прямые), то естественно н начальные условия аппроксимировать с точностью до ит.
т. е. нспользовать формулы (1О) для ию, ип (! (1(и). Для определения значеннй решения в узлах (О. 1) н (п, !) поступим следующим образом. ь) Кроме зтвх способов, можно длв улучшения аппроксимации граничных условий воспользоваться идеей, описанной в развостном методе решения краевой задачн дав обыкновенного дифференциального уравнения на стр. 373.
ф 3! метод сеток Решения гипеРБолических уРАВнений 455 Окончательно получим следующую систему уравнений для отыскания значений решения во всех внутренних и граничных узлах: А;Гио Го, +В, иг Г, +С;;и;„, у+О;риг, 1+Ег иО= РО (1 ( Г ( и — 1, 1 (у С иг). А Гио 1~,+ВБГио,1,+(Со1+Ооу) иц+ + (Еоу + 2Ы„. Ооу) лог = ХБГ + 2НОБГЕ1 1 Аирип Г,., + Вприп,г-г+ (Сир+ ОНГ) ип-ь г'+ -[- (Епг — 2 Ьо„Спг) ипг — — у„р — 2ЛСпгГоуо (Аоо+ Ви) иог = ~со+ 2(Воофо+ + 2йОооЕго — (Соо+ Ооо) ~Рг — (Еоо+ 2РгйооОго) ~о ( 4ио+ Вио) ипг = Хио+ 2'Вложи — 2ЛС,оЕоо— — (Спо+.
О о) 'р -г — (Епо — 2РгйаоС )) 'р (26) иго = 'рг 1 игг =,1, В [Ло+ 2(Вгоуз — С!оРгог — Оголя г — ЕгооРг[ Аю+ а Используя ее, можно последовательно находить значения решения в узлах первого ряда, затем второго ряда и т. д. В т о р о й с п о с о б. Будем рассматривать сетку, сдвинутую Ь на — в направлении оси х (см. рис. 45).
При таком выборе сетки 2 граничные узлы (О, у) и (п, у) уже не будут лежать на прямых Запишем уравнения (25) для узлов (О, О) и (и, 0), т. е. просто положим в них У=О: Агоиог+ Вооио, -[- (Соо -[- Ооо) иго+ + (Еоо+ 2Я~оОогй иоо — — г",о+ 2РгОооЕ,о, Апоипг+ В„оип г+.
(С„о+О„о) и„ь о+ + (Е„о — 2МюСоо) иио = гпо — 2йСиоЕ и, используя аппроксимацию второго начального условия, с по- мошью центральных разностей иог — ио, о ипг — ип, 21 го' 21 исключим ио,, и ип,. Получим: (Аоо+ Воо) иог =До+ 21Воофо+ + 2" Ооо Его (Соо+ Ооо) 9~ — (Еоо+ 2 "61оОоо) сро (А, + В ) и„, = риз+ 21ВпоФи 2ргСпоГао — (Сио+Опо)срп-~ — (Е. — 2МюС )|р .
458 мвтоды явшвния дие. яялвннний в частных пооивводных [гл. (О х=0 и х= !. Граничные условия (4') будем аппроксимировать разностными уравнениями иг~ — нд иВ+ ио! 2 игу — ио-ь ) ио) + и„ +йгу 2 =Ею. (27) Очевидно. мы снова имеем аппроксимацию второго порядка относительно Й, поэтому и начальные условия нужно аппроксимировать с такой же точностью, т. е. для вычисления значений ияи им использовать равенства ((0), Таким образом, окончательно получим следующую систему разностных уравнений: Аоуио .о,+В1уио у г+С;~ио„, .+Вши! .+Еоуиг (! (Е(п — !! "! (У(пг), (2+(5гу)иоу — (2 — й у)и (=21Е ) (! <у <пг).
иго — — <ро (А!о+ Вы) ин =)го+. 2!Вгофг — Соофоо — Е)оосро г — Воофо (28) Нужные нам для счета значения фо, фо, фо, ф„можно получить с помощью экстраполяции или вообще с помощью продолжения Рис. 45. Рис. 44. функций ф и ф за пределы их области определения, сохраняя нужную ~ладкость.
Значения приближенного решения на истинных границах х=0 и х= ! могут быть после решения системы (28) найдены с помощью интерполяции. Система (28), как и во всех 9 3) метод свток гвшвния гипввволичвских явлвнвний 45Т 4. Другие разиостиые схемы. Мы рассматривали простейшие разностные схемы.
Методами, изложенными в 9 2, можно построить множество других разностных схем, которые будут с различной точностью аппроксимировать дифференциальное уравнение (1), начальные условия (2) и в случае смешанной задачи граничные условия. Все схемы можно разбить на два типа: явные схемы и неявныа схемы. Явными схемами называют такие схемы, что при любом / в каждое из уравнений, связывающих значения искомого решения на горизонтальных рядах у', у — 1, ..., у — и, входит лишь одна точка ряда у, так что значение решения в каждом узле у-го горизонтального ряда можно вычислить независимо от его значений в других узлах этого ряда (исключая граничные узлы).
Неявными схемами называют такие схемы, когда для определения значений решения в узлах у-го ряда при известных значениях решения во всех предыдущих рядах нужно решать систему уравнений, связывающих значения решения в узлах у-го ряда. Все рассмотренные выше схемы являются явными схемами. Приведем пример простой неявной разностной схемы для простейшего гиперболического уравнения дти д"и ьи = дл, — дуа — — О, (29) причем будем для простоты рассматривать квадратную сетку с шагом й.
Ьудем строить разностную аппроксимацию дифференциального оператора 1и в узле (1, у), используя значения функции и в семи Рис. 46. узлах, изображенных на рис. 46. Предполагая у функции и(х. уь существование непрерывных производных до четвертого порядка включительно. разложим функцию по формуле Тейлора с остзточ- предыдущих случаях, решается последовательно, т. е. находятся значения сначала в узлах первого горизонтального ряда, затем в узлах второго горизонтального ряда и т. д.
Из д д з ди Из дзи Из дзи 1 ду 2! дуз 3! дуз 1 4 = з и+ И -- — + — + — — 1 + Изй, >и ю з да Из дзи И' дзи з 3! дуз 4<4 44444 из, Мз-З Составим линейную комбинацию изу — — сзиз + с,из+, з,,+с,из„;, +с,иг... + + с,из, у 4+сзиз з,, +с,из у з с неопределенными коэффициентами сз. с,, ., сз и подберем нх так, чтобы после подстановки разложений в правой части до ди дзи исчезли функция и и производные — „—, —, а члены со дх" ду ' дхду' вторыми производными давали бы оператор Еи.
Лля этого нужно потребовать, чтобы сз, с,, ..., с удовлетворяли системе уравнений =О, =О, =О, = — О, Сз+ Сз+. С2+ Сз + С4+ Сз+ Сз Сз + С2 — Сз — С4 Сз — С2+ Сз — Сз+ С- — Сз с,— с,— с,+с, 2 Из ' Сз+ С2+ Сз+ С4 Сз -+ С2+ Сз+- С4+ Сз+ Сз Лобавим еше одно уравнение с, = сзн 458 мвтоды гвшвния дне. угивнений в частных пгоизводных ~гл. 1О ным членом в производных четвертого порядка.
Будем иметь: 2 3! метод сеток вешения гипегволических яялвнений 459 Тогда, решая систему, получим для сш с,, са, ..., са следующие значения: 2 1 . 2 са — — , 'са= се= са =са= — -,' сь= се= — —. Ля а йд Ла ' При этих значениях коэффициентов после подстановки в (и;у разложений по формуле Тейлора и приведения подобных членов получим: 1 7иа9а — — 2ля а4игу+игаа у,а+мгла,у а+и;, уаа+ 1 дав дал 1 +иг а,у а — 4(яс'у,„а+и; у а))=~ —,— а ( — '1 д.
дуя )'„., ла + 2 (гаа+гса+гса+ааа 4(ааа+)ааа)]' даи дал Отбрасывая члены с Йг для уравнения — — = О, получим для дуя разностную аппроксимацию 4мгу+и;~, ь,+игэьу,+иг, у„а+ +иг ьа а — 4(и;а„+игу а)=О, (30) погрешность которой будет порядка л'. Используя указанный способ и привлекая большее количество у алов, можно построить разностные аппроксимации как для дифференциального уравнения (29), так и для общего уравнения (2), имеющие больший порядок точности, причем в зависимости от выбора системы узлов получим явные или неявные схемы. Например, набор узлов, изображенный на рнс.
47, даст явную схему, а набор узлов, изображенный на рис. 48, даст неявную схему. Рис. 48. Рнс. 47. Нужно заметить, что разностные аппроксимации высокой точности для дифференциального уравнения можно применять только в том случае, если заранее известно, что решение имеет производные нужных порядков. Кроме того, чтобы не потерять выигрыш в точности решения, который мы хотим получить. применяя разностную аппроксимацию высокого порядка точности для дифферен- 460 мвтоды вешания дне, хглвнвний в частных пгоизводных 1гл. 10 циального уравнения, нужно использовать аппроксимации начальных и граничных условий такой же точности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
