Том 2 (1160084), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Внутренние узлы, у которых среди соседних имеется хотя бы один граничный узел, назовем узлами второго разряда. Внутренние узлы тне принадлежащие предыдугцим разрядам), у которых среди соседних имеется хотя бы один узел второго разряда, назовем узлами третьего разряда и т. л. Таким образом, все граничные и внутренние узлы мы разобьем на конечное число разрядов, причем каждый узел будет принадлежать к олному и только олному разряду.
Пусть число разрядов равно т. Тогда из неравенств э 21 метод сеток гашения квлввых злдлч для див. гглвнвиий 433 для узлов второго разряда — неравенство Аж+Вы+Сш+Вш )Ад Вгл С~у: Ви) ! 3 ! ш-и Ега 1 ец, ' еш ' ем ' еж 1 < (! — ((1 — 3)1 М'" для узлов третьего разряда — неравенство <~Ад,-1-Вц,-1-С!а+Рта . ) Аза Вы Сд, Е)дс ! (! 3)1 Мш-з) Еа 1Ец ' Еы' Еча' Еш ! <11 Т (! 3)1М наконец, для узлов и-го разряда — неравенство (ь.ь1) ( < ~1 т-1(1 3)~ Мщ-иь+и откуда будем иметь неравенство Мщэп аМ!ч+~-т! где О <р= шах(Ь, 1 — ((1 — 3), ..., 1 — т '(1 — 6)! < 1 или М!лт> < ялМВ! -1 и так как р -+ 0 при л-+ + со, то М~ !-ь 0 при л-ь+со и М' 1-+ 0 при л -+ оо, а это означает, что процесс простой итерации сходится.
Рассмотрим теперь сходимость процесса Зейделя в случае, если л= О. Для исследования сходимости этого метода перенумеруем все внутренние и все граничные узлы, которые не находятся на Г и для которых записываются особые соотношения по Коллатцу следующим образом. За первый узел примем один из граиичных узлов, не принадлежащих Г, или если таковых иет, то один из внутренних узлов, у которого среди соседних есть граничный узел; за второй узел примем один из узлов, среди соседних у которого будет первый узел; за третий примем узел, у которого соседним будет второй узел, и т. д. Перепишем систему уравнений (28) в порядке новой нумерации узлов (т.
е. искомых неизвестных) и для ее решения будем применять метод Зейделя. Если мы возьмем фиксированиый узел Й и в правой части уравнения для этого узла исключим последовательными подстановками значения (л-+ !)-го приближения в узлах предыдущих по номеру, то значение (и +-1)-го приближеиия решения в этом узле можно представить в следующем виде: Х м л иь = ~~~,с)ОМ'-+~чР„ЬЯ~! — ~~~~ г!ф~; (й =1. 2, ....
й!) (30) 2 -1 1-1 $=! 434 мзтоды гашения дне. хвлвнзний в частных пгоизводных 1гл. 10 асан+ Хба"'=1- (31) г 1 1-г Это равенство следует из таких соображений. Коэффициенты с)О и ф~ не зависят от граничных значений и правых частей. Поэтому если положить р= 1, у = О и за нулевое приближение и~> принять значения, равные единице, во всех узлах, то при всех и и и будем иметь и~">— = 1, а отсюда и будет следовать равенство 131). Так как при любом )з хотя бы один из коэффициентов Ььп Ф О, то ~~', с),"(1.
«=! Пусть р= шах ~~.',с~ ( 1. Если иа решение системы 128), то ь з 1 иа —— ~~~~~ саби~+ ~ Ь~~ р~ — ~~р ~4' уо г -1 а 1 Ф 1 Вычитая его из равенства 130), получим: и),"чц — иа — — ~ с)О(иЖ вЂ” и.), г 1 откуда ~ и)"+ц — иа ~ ( ~ с~и> ( и1Я> — из ~. з з Отсюда. если ввести обозначение Мин =зпр ~ идь"1 — иа ~, будем иметь неравенство и)Моо ( Мно сь ~ и),"+о — иа! ( а следовательно, М~ + ( рМ~"', или Мы+и ( "+'М~М или -- Р Так как р.(1, то р,"+ -+О при п-+со и М~"+'~-+О при и-+со, Таким образом, сходимость метода Зейделя для нашей системы доказана.
б. Оценка погрешности и сходимость метода сеток. Оценим погрешность, которая получается при решении задачи Дирихле для ()Ч' — число узлов, не лежащих на Г, М вЂ” число уалов на Г). Коэффициенты с~за~, й)О, п~ьн не зависят от номера п. Все коэффициенты с~ай и вау неотрицательны, так как они получаются сложением и умножением неотрицательных чисел. Далее. при любом )з имеет место равенство и 2! мвтод пяток ввшвния квлввых задач для див. увлвнвний 435 уравнения (1) п. 1 методом сеток. При этом будем предполагать, что решение и(х, у) уравнения дти деа ди ди !.и = а + Ь вЂ” + с — + г( — -~- ии = г', дхэ дуэ дх ду (1) удовлетворяющее на границе Г области 0 условию и~у- — 9, (2) имеет в области 0 ограниченные н непрерывные вплоть до границы Г производные до четвертого порядка включительно.
Для этого коэффициенты уравнения а, Ь, с, с(, и, функции У и е должны иметь производные до определенного порядка, а граница Г должна быть достаточно гладкой. Кроме того, будем предполагать, что а. Ь, с, с(, и удовлетворяют требованиям п. 1 и в кач:дой точке области 0 выполнено неравенство а Ь 1с~ ~д! —.+ — — — — — ) О, Рэ 4 Р 4 где р и а — полуоси эллипса с осями, параллельными координатным осям с центром в некоторой точке (х,, ус), целиком содержашего внутри себя область О. Пусть эта задача решается метолом сеток с прямоугольной сеткой с шагами Ь и ! по оси х и у соответственно, при этом во внутренних узлах используется разностное уравнение (4), а значения решения в граничных узлах полагаются равными значениям граничной функции а в соответствующих ближайших к ним точках. Таким образом, обозначая значения приближенного решения задачи через 00, будем иметь для них систему уравнений 1и„= А,ьиз,ь,+В;,и; ь,+С„ин„,+В,,Ь„,,— Е,,и,ь =Угь для внутренних узлов, У!а=ты (4) лля граничных узлов, гле 2 аз„2Ь,.
Ед, — — — „',, + — са — лы а;„с; ага с; Аы= '+ ' Всь Дэ 2Д ' ДЯ 2Ь (5) Ь д Пы — — — „— —,', !иы =И. ), „, +Вы(и), (б) Булем предполагать Ь и ! настолько малыми, что Асы Ви„С!ы йгь, Еся положительны во всех узлах (1, а). Мы видели (п. 2), что если функция и(х, у) имеет в 0 непрерывные и ограниченные производные до четвертого порядка включительно, то 436 методы ввшвния див. увлвнвний в члстных пгоизводных (гл.
10 где йз (йг»(и)( ( — ((аг»+а~де») М,+2((сг»(+а (Нг»!) Мз), М,=шах~ д — з), ~д — з)~; М,=гпах~~д —,~, ~д,)~. а= л. (7) Если ((ы йв) — граничный узел, а  — ближайшая к нему точка границы Г, из которой сносится значение а, то. используя формулу конечных приращений, получим; ди ди и.
— и = — 3+ — 3, е» и дх» ду или 1и1,»„— у(В)~ (23М, (3=шах(К 1); М,=шах11 д !'! д 1~) Если ввести обозначение е;» для погрешности, т. е. то для граничных узлов будет иметь место неравенство (вг»( (2М,3. Вычитая из уравнения (6) соответствующее уравнение (4), для погрешности вг» во внутренних узлах получим разностное уравнение (зд, — — Из» (и). (32) Решение системы (32) булем искать в виде вд = «с» + тн», (33) где 1чг» = О для внутренних узлов, з)ш = — ет для граничных узлов и Рис. 37.
Йг» = 77г»(и) для внутренних узлов, 1д, = О для граничных узлов. На основании свойства максимума ~зн»! достигает наибольшего зна- чения на границе сеточной области; таким образом, ~ тн»( (2М,3, Для оценки Ц~ докажем слелуюшее утверждение: Если на сетке заданы две системы значений о~в и М,у такие, что во всех внутренних узлах имеет место неравенство 1»'О ( — /(осу~, ф 2) метод сетОк РешениЯ КРАевых ВАЕАч длЯ диф. УРАВнений 437 а в араничных узлах Рц) ~о; ~, то всюду в сеточной области О' имеет место неравенство р'ц ) ~ оц ~. В самом деле, неравенство срц ( — ((ос)~ эквивалентно двум неравенствам: ((Ъ'ц — оц) ~( О; ((Ъ'ц +оц) (О. а неРавенство Р'ц)~(оц( на Г' эквивалентно неРавенствам 'Р'ц — оц) 0; Ъ'ц.+оц)~0 на Г'. Но в силу принципа максимума и минимума (см. п.
4) Ъ'ц — оц и Рц+оц в этом случае не могут достигать во внутренних узлах отрицательного минимума, а на Г' они неотрицательны. Следовательно, Рц — оц)~0 и Ъ'ц+-оц ьО во всех внутренних узлах, т. е. 'Р'ц )~ ) оц ) всюду в 0'+Г'. Рассмотрим теперь вспомогательную функцую (х — хор (у — ув)' ) ="('- Рх чх с неопределенным пока коэффициентом ).) О. На основании равенства (6) ((7'т=((.(вЪИ ю+Я (к')=((((7'))з „, так как Юга((Г)и— т О. Отсюда (аз Ьа Йгс'А = — 2). ! — '+ — + ст+ Рз ,7х Рх т 2 (а, Ь )с.
( — 2), ~ — + —— ' ( Р' й' Выберем ), так, чтобы во всех внутренних узлах имело место неравенство Для этого достаточно положить Шах ((а + ахЬ) Ме + 2 ( ( с 1+ ах ! и () МА) ).— вх о 24 . (а Ь )с( (д~~ енп ~ — -+ — — — —— о ~ Рх 4' Р 4 ) 438 методы гашения див. хвхвнаний в частных пгоизводных )гл.
1О Тогда на основании доказанного утверждения имеет место нера- венство ~(гу~ <)Угы в каждом внутреннем узле, так как сгу —— О в граничных узлах, а Ж'гу) О. Таким образом, тах ((а + аоЬ) Мх+2 (1 с 1+ ах ( гу ) ) М ) -~ ~тг~+~ уь~ г +24 . га Ь (о( ~~Х)1 ппп ~ о (рх гух р у) Х 1 — '" "' — '" "'-'< х(1 — — -) < р гух ) И о тах ((а + а "Ь) Мх + 2 ( ~ с ) + ах ( д 1 ) Мо) +24 . ра Ь 1с1 )с~ П ' (34) о г.р гуо р у ) В случае уравнения Пуассона и квадратной сетки оценка записывается значительно проще, так как а =- Ь = 1, с = сг = О И рочхМ, ~ ега ~ (2Мг)г+-— и если вместо эллипса ваять круг радиуса Й, то ЬЧх 1огь ( ( 2МгД + — М,. (36) Если для граничных узлов составляются уравнения по Коллатцу и сетка квадратная, то имеет место оценка И гу гп ах ((а + Ь) Мх + 2 ( 1 с 1 + ( л 1) Мо) о 1рх уо р у) (~г о) (Уь Уо) ) Х((в ро ~уо Мх = — тах ~ ~ — (, (37) (см.
Коллатц, гл, 1У, стр. 28!). Из этих оценок следует, что если мы будем неограниченно измельчать сетку, то последовательность решений, получаемых методом сеток, будет сходиться равномерно к точному решению задачи Дирихле. Приведенные оценки имеют тот недостаток, что они содержат максимумы модулей производных от искомого решения. Они должны быть определены из дополнительных соображений или получены приближенно по найденным значениям решения в узлах заменой производных разностными отношениями. ф 2] метод сРток Решения кРАеВ|ях ВАдАч для дие. УРАВнений 439 На практике для оценки погрешности решения, полученного методом сеток, часто используют лриниии Рунге, заключающийся в следующем. Пусть известно, что порядок погрешности решения при использовании квадратной сетки с шагом й есть и, т. е. в точке (х, у) погрешность еа(х, у) может быть приближенно представлена в виде еа(х,у) й(х, у) й", где й(х, у) от й не зависит. Пусть (га(х, у) и (гга(х, у) — решения краевой задачи, полученные методом сеток при шаге й и 2й соответственно.
Тогда, если и(х, у) есть точное решение, то и(х, у)=УА(х, у)+е„(х, у); и(х.у) =()га(х, у)+ага(х,у) или (гл с|ел = ега 'А Далее, по условию еа й(х,У)й"; аглай(Х,У)2"й" '2 ел(х,у). Следовательно, (|А — (ггь ]2" — !] е„(х, у), откуда и, — (г,„ еа(х У) 2и (38) (ГА — ие 3 П р и ме р. Найдем методом сеток решение задачи Дирихле для деи деи уравнения Лапласа — + — = О в квадрате со стороной, равной дхе дуе единице, при следующих граничных условиях: и(0, у)=0; и(1,у)=з]пну; и(х, 0)=0; и(х, 1)=О, Возьмем квадратную сетку с шагом й = 0,125. Используя простейшую разностную схему, получим следующую систему уравнений для отыскания значений и в узлах сетки: и,+, „+ и, |,,+и;, .~|+ид„| — 4и0 — — 0 (1, /= 1, 2, ..., 7), ие)=иге — — иье=О; иег=е)пк1й (Г,1=0, 1, 2, ..., 8). ! Решение этой системы в общем случае й = —, где и — целое ) О, найдем с помощью аналога метода Фурье, Будем искать частные решения этой системы вида 1, /=О, 1, 2, ..., и; г=1, 2, ..., и — 1; й= — ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
