Том 2 (1160084), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Таким образом, иго = о78 игз = 'Р'+ ! йз + гз) (9) где !- ол г! о [П[~ 2 з' о' (17) Прн втором способе аппроксимации начальных условий имеем: дУ но! где з!Г= 6 и'„'[ ! ей[~( 6 Мз. Далее, !а =А +)[о, где )Св имеет вид (!б) с /=!. Исключая ан о как прежде, получим: ! "го=то' азз = Азо+ Взо [Л+2!ВМ)з — Св9г~,— Ов'у~ ~ — Ев9з!+ г" — г" Г10) где г.
= 1 1 Ав+ В!о Яго + 2!Ввти! = — — [!заев — 1(2дв + 1з(зо) т!з! (18) ив или [г,(~( 2[И [ ~ !2 [([ав[+а'[Ьв[) Мз+2([его[+ос'[з(в[) Мз[+ + 6 (2[ив[-+аИ [ззв[) Мз. (19) Для уравнения (!') при а=1 зта оценка будет иметь вид Из Из !г*,! <ГМ+ 6 Мз (19') Выбор сетки. Если мы хотим получить методом сеток решение, сколь угодно близкое к точному решению задачи Коши для гиперболического уравнения, то нельзя произвольно выбирать соотношения шагов сетки по осям х и у. Для иллюстрации рассмотрим решение задачи Коши для простейшего дифференциального уравнения гиперболического типа дзи дза с начальными условиями и~ = р(х); — ~ =(з(х) ( — со С х( со) ди а о дУ в о 448 мвтоды вишвния див.
твлвнзний в частных пвоизволных (гл. 10 методом сеток. Будем использовать прямоугольную сетку с шагом И по х и 1 по у. Пусть 1=аИ. В этом случае булем иметь разностное уравнение и„уь» — 2и» + и» и», — 2и» + и» !им — а»И» И, ' — О или и»дь» =2и,» — и», »+ аг(и»ь» ! — 2и» +и», ), Зная значения решения в узлах первых двух горизонтальных рядов, можно послеловательно вычислить значения решения на втором, третьем и т.
л. рядах. При этом аначения решения в узле 8(1, у) будут определяться начальными данными на отрезке оси х, высекаемом прямыми, выходящими из этого узла и образующими с осью х углы, тангенсы которых равны + а. Треугольник, образованный этими прямыми, назовем треугольником определенности разностноа схемы. Если через тот же узел провести две выходящие из него характеристики до пересечения с прямой у=О, то получим еще один треугольник — треугольник определенности дифференциального ураене- 9 ния. Известно, что решение и(х, у) задачи Коши лля дифференциального уравнения в 3 узле 8(1, У) будет полностью опрелеляться начальными ванными на основании последнего треугольника.
Пусть шаг 1 по оси у больше И, т. е. а ~ 1. Тогда треугольник определен- мости разностной схемы целиком содержится внутри д треугольника опрелеленности дифференциального уравнения Рис. 39. (рис. 39). Покажем, что в этом случае при постоянном и и при И, стремящемся к нулю таким образом, чтобы точка 5 была все время узлом сетки, значения решения в узле 5, получаемые методом сеток, могут не схолиться к значению истинного решения ззлачи Коши в этой точке, Это просто показать слелующим образом. При указанном способе стремления к нулю И треугольник опрелеленности разностной схемы все время остается неизменным и приближенное решение в этой точке при любом И будет целиком определяться начальными данными на отрезке СВ.
Если мы будем изменять начальные ванные на отрезках АС и !)В, то на решения разностных уравнениЯ в точке 5 это изменение совершенно влиять не будет, а значения решения задачи Коши для дифференциального уравнения будет существенно зависеть от этих изменений. Следова- э 31 метод свток гзшвния гипегволичзских увлвнвний 449 2. Оценка погрешности и сходимость метода сеток для неоднородного волнового уравнения.
Оставляя в стороне общий случай, рассмотрим оценку погрешности решения задачи Коши для неодноролного волнового дифференциального уравнения, получаемого методом М сеток: дэи дэи — — =У(х. у). дхв дуа (1') (! +/у'-/! с начальными условиями и!и в= р(х)1 д ~ =т(х) ( — со ( х ( со) Рнс. 40. для случая квалратной сетки 1=а.
Разностное уравнение в этом случае имеет вид (!1), Мы его перепишем в более удобной форме.' иы — иены 1= иг ь д — и у я — Гь где. (!! ) В левой и правой частях уравнения (11') вхолят разности значений и в узлах, соединенных на рис. 40 пунктирной линией. Значения решения на первых двух горизонтальных рядах опрелелим тельно, в этом случае мы не можем говорить о сходимости решений, получаемых методом сеток, к решению задачи Коши для диф~реренциального уравнения.
Отсюда вывод, что для сходимости последовательности приближенных решений, получаемых мето- 1 дом сетон при постоянстве отношения а = — „, при и-+0 необходимо выполнение условия и (1, т. е. треугольник определенности дифферепциального уравнения должен совпадать или содержаться внутри треугольника определенности разностной схемы, имеющего ту же вершину. В общем случае треугольник определенности дифференциального уравнения становится криволинейным. но и в этом случае для сходимости необходимо выполнение условия, чтобы треугольник определенности дифференциального уравнения содержался бы внутри треугольника определенности разностной схемы.
Это требование калагает определенные требования на соотношение шагов, т. е. на выбор сетки. При некоторых требованиях гладкости коэффициентов и начальных функций указанное выше условие является и достаточным для сходимости послеловательности решений, получаемых методом сеток, к точному решению задачи Коши для дифференциального уравнения (1). К вопросу выбора сетки мы еще вернемся в дальнейшем уже в связи с исследованием устойчивости разностных схем (см. э б). 450 методы гашения диэ. зелвнвний в члстных пооизводных (гл. 10 с помощью равенств (13): 1 иго = <р1; ин = — ~ — И2У1о+ 2Ифг+ <р1 ю+ уа-1) Используя (11'), будем иметь следующие равенства: ип — игл!, 1=и! 1,! 1 — л1, -а — И2УН2-1= ... —— ьн сл1,!в У-а ла л« вЂ” и! уеа,о —" ла са-" 1-»-1' .-о у-а ла о' изоь1, — и!Оа 1 а= иа-сл2,1 — и; ужа,о — !' ~~ (1-..л1.
—.-а -о где а 1-2,1-2-» 5 =ИаУ .» ! ~Л! А- .~.а,з-а — »-1' «О «О Сумма 5, содержит лишь значения решения и в узлах первого горизонтального ряда, отмеченных на рис. 41 жирными точками, а 5, — значения решения а в узлах нулевого горизонтального ряда, тоже отмеченных жирными точками. Сумма 5, содержит значения правой части Г' в узлах сетки, отмеченных крестиками. Обозначим через яйу значения точного решения задачи Коши в узлах сетки, т. е. о;! = и (1И, /И), а под иау будем понимать знах О чения решения, полученные методом сеток. Через 211 обоРис.
41. значим разность иы — ог~, т. е. погрешность приближенного решения. Докажем, что е!1 по абсолютной величине не превосходит некоторой постоянной и»о1-2, а — и!о! 1, ! —— и!.лу-а, а — иао,-а, о — И Л.лс-а, ь ,л2 С. Суммируя их почленно, получим; — ! —,-а 2 2 1 2 1-2-« иь1= с„о~;.2..»1.1 — с~ и!»а.~.а,о — И,к! ~л> сса- е у- — -!=в !»а '%' у * «-о -о 2 а 51 52 53' (20) Х 2 — -1. И а — -а в!оа.+1,1' 52 = Х л1+а'ла.о1 1 9 3( мвтод сеток гвшвния гипияволичяских киавнаний 451 1оы — — УгГ+ НВ. Из где ~йг1)~< — М, или Я — — 8;.М (О <(ВВ! <1), 1 ога 91 оп 2 1 ~ Ле+ 2ИФ1+ В~г+й-г! + го (14) (15') (1О') где Иа Иа )г*,.~ < —,М,+ — 'М,.
(19') Вычитая из (11) и (13) почленно соответствующие равенства (14') и (10'), получим для погрешности аы систему уравнений Из 1еВ )10 6 00Ма, ~ ею=О ап— (21) Воспользовавшись явным представлением решения разностной системы (20), будем иметь: а 2 у-3 М ,— ,'~ .;„.„„,+ — 6М,~~ е;~ = зга есез.+г й~-~ч-а,у — а — ~-ь Х к=а п-0 (22) Все слагаемые второй суммы нули; первая сумма содержит / сла- Ы Из гаемых, каждое из которых не превосходит — М -4- — М,; третья 12 а 6 )0 — 1) сумма состоит нз слагаемых, каждое из которых по абсо- 2 лютной величине не превосходит единицу.
Таким образом, Из Из Ич - У(12 а+ 6 а)+ 12 Если узел (1, г) имеет координаты (ха, уа), то /Й=уе. Отсюла Из Ит 1;;~ <Ж(М.И+-2М.) у.+ — „у.М, При фиксированных хе, уе и И-+О погрешность аВ в этой точке стремится к нулю как Иа. Это означает, что последовательность решений задачи Коши, получаемая методом сеток, сходится к точному решению задачи. умноженной на Иа. Будем предполагать, что задача Коши имеет реше- ние с непрерывными и ограниченными производными до четвертого порядка включительно. Мы вплели, что лля точного решения оВ имеют место равенства 452 митоды гишвния диф.
аяавниний в частных пгоизводных !гл, 10 3. Метод сеток решении смешанной задачи. Метод сетон решения задачи Коши для уравнения (!) с небольшими изменениями может быть применен и для решения смешанной задачи. Рассмотрим сначала первую краевую задачу: Найти решение уравнения (1) в области О (р (х ( Т; 0 ~(У ~( Г), удовлетворяющее начальным условиям !а о=ср(х); д" ) =ф(х) (р а:.х~( Т) (2') и граничным условиям а = Фз(У); п~„ т = Фа(У) (О ( У С У). (3) Отрезок !р, Т) можно с помощью линейного преобразования переменного х свести к отрезку (О, 1», поэтому в дальнейшем мы будем полагать р' = О, Т = 1, Проведем две системы параллельных прямых: х=(Д (1=0, 1, 2,..., и; Ь= — ); 1т у=/1 (У=О, 1, 2,..., т; т1е У((т+-1)1), и точки пересечения их назовем узлами сетки.
Узлы, лежащие на прямых х=О, х=1, У=О. назовем граничными, а лежащие внутри области Π— внутренними узлами. У Лля каждого внутреннего узла, так же как и в случае задачи Коши, напишем разностное уравнение (7), аппроксимирующее дифференциальное уравнение (1) в этом узле. Значения искомого решения в узлах нулевого горизонтального ряда и во внутренних узлах первого ряда найдем с помощью начальных условий 1 по формулам (9) или (10), значения же решения в граничных узлах, лежащих 'Л! т х г на прямых х=О и х=1, определим из Х граничных условий, положив Рис.
42. леу Фг И) Фгт пчу ! 2 (71) Фау. Тогда, используя уравнение (7), мы можем найти последовательно приближенные значения решения во внутренних узлах второго ряда, затем в узлах третьего горизонтального ряда и т. д., т. е, сможем вычислить значения решения во всех узлах сетки.
Если граничные условия заданы на прямых х = 0 и х = 1 на отрезках разной длины, то решение может быть найдено в узлах сетки, отмеченных на рис. 43 жирными точками. Заметим, что в первой краевой задаче, если предполагать, что значения граничных функций Ф, и Фа в граничных узлах вычисляются точно, то граничные 9 3[ мвтод свток вяшвния гипвэволичяскнх явлвниний 453 условия не внесут дополнительной погрешности по сравнению со случаем задачи Коши. Рассмотрим теперь вторую и третью краевые задачи. Для того чтобы не повторять рассуждений, будем рассматривать случай, когда при х=О и х= 1 заданы условия Гдх+3)~~ =~'г(у)' Гдх +3~и3 =Ра(у) [О <у < !'[. (4') т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
