Том 2 (1160084), страница 72
Текст из файла (страница 72)
й — 1 дх Итак, дифференциальные уравнения характеристик таковы: 1-е семейство Ых — (и+ а) сй = О; — а да+ ди+ аи — дт = О. 2 Н !ну" й — 1 Нх 2-е семейство а'х — (и — а) дг = О; — а На — би + аи — ей = О. 2 с! 1иу й — 1 а'х 4. Одномерное неустановившееся течение в трубах. Вихревое течение. В атом случае уравнения движения имеют вид ди ди 2 да ат д8 и — + — + — и —— в =О, ОХ д! Ф вЂ” 1 дх Л (Э вЂ” 1) с„дх ди 2 / да да! о!пу а — + !Ли — + — Г! = — аи —, дх й — 1Л дх д!/ с!х ' д5 д8 и — + — =О, дх дс где и, а имеют прежний смысл, Я вЂ” энтропия, с — постоянная (удельная теплоемкость гала прн постоянном объеме).
Уравнения направлений характеристик бх — Лс сй = О (1 = 1, 2, 3), где Ле†корни уравнения э — 1 2 — (и — Л) Л вЂ” 1 О и — Л й (я — 1) с„ =О, и — Л или Л| = и; Лт = и+ а; Ла —— и — а, Дифференциальные соотношения на характеристиках получим из уравнения (20); ат Ф(А — 1) с„ д!яУ 2 аи сй — + с!а и — Лс О а'х Л вЂ” 1 ов О и — Лс д1пУ 2а ат = (и — Лс) [7(и — Лс) би — ати сй — — — с!а + дВ~ =О. дх Л 1 й (й 1) св 470 мнтоды впшвния дне.
илвннний в частных пвоизводиых [гл. 10 ф 4] мнтод ханлктвэистик числвнного эвшвния гипнгволич. систнм 471 При г=! это условие превращается в тождество. Поэтому условие на ха- рактеристиках первого семейства получим, используя другое соотношение; «и а и — й аи«! — + — «а «!пУ 2 ! а'х й — 1 О О «5 и — х! а = «5 [(и — )ч)э — аэ] = О, откуда следует, что на характеристиках первого семейства «Б = О. Окончательно будем иметь следующие уравнения характеристик 1-е семейство «х — и «Г = О, «Я = О.
2-е семейство «х — (и + а) «т = О:, 2 а «1пУ «и — «а + й — 1 й(й — 1)св «Б — аи — «г' = О. «х 3-е семейство «х — (и — а) «Г = О, 2 а «!ну «и + — «ив Ф 1 й (й 1) св «5+ аи — «Г = О. «х 3. Уравнении характеристик квазилинейного гиперболического дифференциального уравнения второго порядка. Рассмотрим теперь квазилинейное дифференциальное уравнение второго порядка д"и дэи дэи а дх, + 2Ь дх ду + еду — — ) . (23) ди ди где а, Ь, с, 7 — заданные функции х, у, и, — — непрерывные дх' ду' н непрерывно дифференцируемые в некоторой области изменения своих аргументов. Предположим, что в плоскости х, у задана некоторая гладкая кривая С: (х=х(т[)! у=у(т[); х' (4)[-усв(т[)) О~.
Пусть вдоль кривой С задана функция и(х, у), являющаяся дважды непрерывно дифференцируемым в области 6, содержащей кривую С, решением уравнения (23), а также заданы и ее производные первого порядка ди ди вдоль С: р = —, 7 = †. Снова поставим вопрос: можно ли на С дх' ду ' дэи дэи найти частные производные второго порядка г= —, а= —, дхэ ' дх ду дэи — используя уравнение (23)? дух ' 472 методы ввшвния див. ввлвивний в частных пвоизводных [гл, 1О Для отыскания г, е и Ь вдоль кривой С имеем три соотношения: аг + 2Ье+ ег = г', г е(х + 8 йу = ар, е а ~ х + г й у Ф д (24) или а ( — „) — 2Ь вЂ” „~+с=О.
(2б) Разрешая зто уравнение относительно — получим: йу ах' йу Ь+ )'Ье — ае а'х а (27) Если Ье — ас) О, то получим два обыкновенных дифференциальных уравнения первого порядка, которые определят два однопараметрических семейства интегральных кривых, покрывающих область 6, где определено решение и (х, у). Эти два семейства называют первым и вторым семействами характеристик, соответствующими данному решению и (х, у) уравнения (23). Через каждую точку области О проходит одна и только одна характеристика каждого семейства.
Если в некоторой области изменения х, у, и, р и д уравнение (2б) Еу имеет два действительных различных корня для —, то говорят, йх где все дифференциалы берутся вдоль кривой С. Рассмотрим (24) как систему трех линейных алгебраических уравнений для неизвестных г, е и г с определителем а 2Ь с гг = йх йу О = а йу' — 2Ь йх ау+ е ахе.
О ах ау Нас будут интересовать два случая: 1) определитель ц отличен от нуля на кривой С; 2) определитель а тождественно равен нулю на кривой С. В первом случае вторые производные г, е и г функции и (х, у) определяются вдоль кривой С единственным образом. Во втором случае, так как мы исходим из существующего решения и(х. у), система (24) будет совместна. и мы получим бесконечное множество значений г, е и г в каждой точке кривой С.
В атом случае кривую С называют характеристикой уравнения (23), соответствующей заданному решению и(х, у), а кривую С вместе с заданными на ней значениями и, р, о — характеристической кривой. Если кривая С является характеристикой при заданном решении и(х,у). то вдоль нее имеет место соотношение а йу' — 2Ь йх ау + с а х' = О, (23) $4] метод ЕАРАктеристик численнОГО Решения ГипеРБОлич. систем 473 что в втой области уравнение принадлежит к гиперболическому типу. Только такие уравнения мы и будем рассматривать. Если уравнение (23) линейно, т. е. а, Ь и с не зависят от и, ди ди — — то характеристики не зависят от выбора решения и обв дх ду' семейства характеристик можно найти, интегрируя уравнения (27).
Если кривая С для данного решения и(х,у) является характеристикой, то из совместности системы (24) следует, что все определители третьего порядка матрицы «х «у о «р на кривой С должны обращаться в нуль, т. е. Д1 = а «Х О (28) а «х О Используя условие, что С есть характеристика и исключая из соотношений (28) йу с помощью соотношения (27), во всех трех случаях получим: (а йр — (йх)(Ь+~/Ьа — ас) + ас йд = О. (29) Знаки в (29) соответствуют знакам в (27). Таким образом, имеют место соотношению а йу — (Ь+) ГЬЯ вЂ” ас) йх = О, (а йр — у йх) (Ь+'~(Ь' — ас)+асйд = О, йи=рйх+дйу. (30) называемые уравнениями характеристик.
Первое из них называют уравнением направления характеристик, а последние два — дифференциальными соотношениями вдоль характеристик. Если ввести обозначения Ь вЂ” )гьь — ас Ь+)ГЬЯ вЂ” ас 1= а а (31) с о «р «у «д с о «р «у «д 2Ь «у «р «х «д = с (йр йх — йд йу) — 2Ь йр йу + ( «у' = О, = — с йд йх — а йр йу+-7'йх йу = 0 = а(йд йу — йр йх) — 2Ь йд йх+) йхз = О. 474 методы Решений диФ. УРАВнений в члстных пвоизводных [гл.
1О то уравнения характеристик можно переписать следующим образом: для первого семейства йУ вЂ” Л,йх=О; а(йР+Л,АУ) — 1йх=О; йи=Рйх+г(йу; (32) для второго семейства йУ вЂ” Лвйх= О; а(йР+Л, сну) — 1 йх = О; йи =Р йх+д йУ. (ЗЗ) Относительно характеристических кривых уравнения (23) можно сделать такое же замечание, как и о характеристических кривых системы уравнений первого порядка, т. е. она может принадлежать нескольким поверхностям и = и(х, у), которые будут касаться вдоль нее. Можно построить решения уравнения (23), которые на характеристике С будут непрерывны вместе с первыми производными, а вторые производные будут терпеть разрыв.
Разрывы такого рода называют слабыми разрывами. 4. Численное решение квазилинейной гиперболической системы двух дифференциальных уравнений первого порядка методом Массо' ). Для численного решения различных задач для гиперболических систем квазилинейных дифференциальных уравнений первого порядка может быть применен метод Массо, в основе которого лежит замена дифференциальных уравнений характеристик, выведенных в и. 1, соответствующими конечноразностными уравнениями. Мы подробно изложим этот метод применительно к системе двух квазилинейных уравнений. Идея метода следующая. В плоскости х, у рассмотрим две близкие точки 1 и 2 (рис.
49). Обозначим координаты этих точек через (х„ у,) и (хз, уз). Пусть в этих точ- У ках известны значения искомых функций и и о, удовлетворяющих квазилинейной гипер- У болической системе уравнений ди ди дв дв ип д +.Ьп д .+аад +да д Г ам — + да1 -д- +- а„— + даа — — — с,. ' дх ' у дх ду й Д" Их значения в точках 1 и 2 обозначим соот- ветственно и,, о, и из, оз. Через точку 1 Рис. 49. проведем прямую в направлении характе- ристики первого семейства характеристик, выходящей из точки 1, а через точку 2 — прямую в направлении характеристики второго семейства, выходящей из точки 2. Эти пря- ~) Метод Массо улучшался н применялся для решения ряда задач раз- личными авторами, в частности Хрнстиановнчеч.
ф 4) метод ХАРАктеРистик численнОГО Решения ГипеРБОлич. систвм 475 мые пересекутся в некоторой точке 3. Координаты х',", у(в(( этой точки являются решением системы (н (н (() ( ((( (35) (Л(в'в(А(зп + В(( ~) (йз ~ — и() + С(,' (Оз' — Оз) -4- 1И( (хв — хв) + (л~юпАвп + Вази) (пз — ив) +- сз (Оз — Оз) + мз (хв хз) + + ((('вп (Увй — Уз) = б, (55 где А('Л В('Л С('Л М('>, М((н (1=1, 2) суть значения определителей (17) в точке 1. РешаЯ этУ системУ относительно и('>, О(в((, найдем первое приближение функций и и О в точке 3. Это приближение может оказаться недостаточно точным, так как мы заменили характеристики, выходящие из точек 1 и 2, отрезками прямых, в то время как точка 3 на самом деле должна быть точкой пересечения, вообще говоря.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
