Том 2 (1160084), страница 73
Текст из файла (страница 73)
криволинейных характеристик, и, кроме того, дифференциалы всюду мы заменяем конечными приращениями. Поэтому может возникнуть необходимость в уточнении координат точки 3 н значений и и О в этой точке. Это уточнение можно выполнять двумя способами. Первый способ. Вычисляют угловые коэффициенты Л((( и Л(п (з вз характеристик первого и второго семейства в точке 3, найденной в первом приближении, и вводят средние арифметические Л(в = — (Л(в' +Л~зз)' Лвв~ = — (Лаз~+-Лй) (37) где Л(((( — угловой коэффициент касательной к характеристике первого семейства в точке 1, Л(п — угловой коэффициент касательной к характеристике второго семейства в точке 2, являющиеся соответствующими корнями уравнения (14) в точках 1 и 2. Уравнения (35) получаются из уравнения направления характеристики первого семейства в точке 1 и уравнения направления характеристики второго семейства в точке 2 заменой входящих в них дифференциалов конечными разностями.
Лалее, заменяя дифференциалы, входящие в дифференциальные соотношения на соответствующих характеристиках, конечными разностями, получим систему уравнений для определения значений и и О в точке 3, которые мы обозначим через и(Н и О(в(Л Эта система имеет вид (38) где Аз, В,, С,', М(в, ))(з — значения А. В, С, М, 1(<' в найденном (1) (1) ГО 1) (1) первом приближении точки (хз, у,, из, оз ). Искомые величины т Н) (1) (1) (1)т второго приближения точки 3: х(), уз), из), оз, находят, решая последовательно следующие системы линейных алгебраических уравнений: (в) (в) < (в) ()ЦА~(~ + В <Ю) (изВ~ и,) + С( ) (озз ) о,)+ М<1 ) (хз ) — х,) .+ +31»(~,) — у,)= .
()за Авю+ Вз ) (из — из)+ С(зм(оз — оз) -+ Мв (хв — хз)+ -(- )()в" (уи) — у,) = О. Получим уточненные значения координат точки 3: х(в), у<в), и уточненные значения искомых функций в этой точке и<в), о',в). Если их еще раз нужно уточнять, поступаем аналогично, принимая в качестве точки 3 вновь полученное приближение. Процесс продолжают до тех пор, пока значения величин хз, уз, и,, о, для точки 3, полученные при двух последовательных приближениях, будут совпадать с заданной точностью '). Второй способ. Используя найденные значения х<')су<'), и<').
о(1), находим: з ' х(') = — (х. + х(')); у» = — (у, +у<')); и(о= — (и +и(1)); <з 2(,1 з)' зз 2( < з)' <3 2(1 3)' о)<з) = — (о(+- о(11)) (Е = 1, 2) 3 2 (39) и за )(вз) принимаем первый корень уравнения (!4), в котором а<во ()<~ взЯты дла точки (х(<з), У(<з), и(1<в), о(')), а за )ы(з) пРинимаем втоРой корень уравнения (14), в котором а<1, 311 взяты в точке (хф, ую(1), ф, ою(1)); далее вычисляем значения определителей А, В, 1) Если расстояние между точками 1 н 2 невелико, то достаточно сделать двв уточнения, твк как в дальнейшем точность возрастать не будет.
41б матоды ввшвния дне. гвлвнвний в частных пвоизводных [гл. 1() Точно так же находят средние арифметические й 41 метод хлвактевистик численного гашения гипевволич. систем 477 «Лм — у> =Л>з'( й — >) у(а> — у = Л>Ю>(хф — ха); (36") (Л>з4з' ~- В(з') (и~Р— и,) + СМ (о",> — Ф>)+ М>з (ха" — х,) + (Лю~нАЙ + Вааз) (изм — иа) + Саз (ез > — оа) .+ Мюд~ (хз > — ха) .+ + А>аз (уз — Уа) = О.
(36") Для дальнейшего уточнения процесс продолжаем аналогично, используя вновь найденные значения величин в точке 3'). Точность, с которой можно получить значения ха. Уа, иа, оа в точке 3, естественно зависит также и от близости точек 1 и 2. Умея решать описанную выше элементарную задачу отыскания точки (ха, уз, иа, па) по двум известным точкам (хо у„и, о>) и (ха, у,, иа, т>а), можно численно решать различные задачи для у 88 системы (34).
Рассмотрим неко- >5 5~~ 87 торые из них. 88 а 5 А, Задача Кегли. Задача Коши 8 /5 8> заключается в отыскании реше- 8 > 5 аз а ния системы (34), если функции и 17 и и о заданы на некоторой дуге >8 гладкой кривой С, не имеющей 5 >5 характеристических направлений ни в одной точке. Численное решение этой задачи по методу д Массо заключается в следующем. На дуге кривой выбираем ряд дои статочно близких точек (рис. 60).
На этом рисунке выбранные точки Рис. З>. занумерованы числами 1, 2, 3, ..., 7. По точкам l и 2, выше указанным методом, находим точку 8 (т. е. ее координаты и значения и и т> в ней). Это сделать можно, так как для точек 1 и 2 все нужные величины известны из начальных условий. Затем по точкам 2 и 3 находим точку 9, ..., по точкам б и 7 — точку 13. Теперь ряд точек 8, 9, ..., 13 рассматриваем как исходный и продолжаем а) Саь сноску на стр. 476. С. М. А> в точке (х>з. У>а>, и)з, о>а): А~з', ВЙ. С>а>, М)з>, А>из и в точке (х>аз~ «аз~ иаз. т>аз): Ааз.
юиы Саз, Мю №з и находим Ч Н» Н р> . и> га> <а> Н> >а> хЛа>. У~а>, и>за>, т>Ла>, последовательно РешаЯ системы 478 мвтоды ввшвния див. квлвнвний в частных пвоизводных [гл. 1О построение. Процесс можно продолжать до тех пор, пока не будет заполнен «треугольник» асЬ, в котором сторона ас есть ломаная линия, являющаяся некоторым приближением к характеристике первого семейства, выходящей из точки а, а ломаная Ьс есть приближение к характеристике второго семейства, выходящей из точки Ь.
Указанное построение можно выполнить и с другой стороны кривой С. При этом получим «треугольник» адЬ, стороны ас( и Ы которого являются соответственно приближениями к характеристике 2-го семейства, проходящей через точку а, и к характеристике 1-го семейства, проходящей через точку Ь. При этом в явном виде находится область, в которой можно найти решения системы при начальных условиях, заданных на участке аЬ кривой С. Для точного решения эта область образуется четырьмя характеристиками. выходящими из концевых точек и соответствующими решению, определяемому начальными условиями.
Если система нелинейна, то эти характеристики заранее неизвестны, и мы попутно получаем их приближения с помощью ломаных линий. В случае линейной системы сеть характеристик может быть заранее построена, и нужно только в точках их пересечения находить значения и и о, используя дифференциальные соотношения на характеристиках.
Рис. 51. Б. Задача Гурса. В задаче Гурса требуется найти решение и, и системы (84), если на двух характеристиках аЬ и ас, выходящих из одной точки а, заданы значения и и е, причем значения соответствующих функций, заданных на характеристиках, совпадают в общей точке а. (Само собой разумеется, что заданные функции и и о на каждой характеристике таковы, что дифференциальные уравнения характеристик удовлетворяются.) Численное решение этой задачи методом Массо состоит в следующем. На дугах характеристик аЬ и ас берется ряд близких точек (рис.
52) l, 2, ..., 9 в нашем случае. В этих точках значения и и о известны. С помощью нашего элементарного построения по точкам 4 и 5 находим точку 10, по точкам 3 и 10— точку 11; по 2 и 1/ — точку 12; по / и 12 — точку 13. /(злее, принимая ряд точек 5, 10. 11, 12, 13 за новый ряд, продолжаем то же построение. При этом мы заполним элементарными четырехугольниками «четырехугольник», аппроксимирующий криволинейный четырехугольник, две стороны которого суть заданные дуги характеристик аЬ и ас, а две другие есть дуги характеристик вторых й 4) мятод хавлктввистик числвнного гвшвния гипввволич. систви 479 семейств, выходящие из концов Ь и с.
Таким образом, снова определяется область, в которой можно построить решение по заданным значениям. В. Первая слсешанная задача. Эта задача заключается в построении решения и и и системы (34), если на дуге аЬ, являющейся характеристикой, и на дуге ас, которая ни в й одной точке не имеет характеристического направления, 1 д /Ю ЯЬ '5 авданы значения и и и. При 77 /5 !У этом предполагается, что ду Ю в общей точке а значения 74 7д .у соответствующих функций г7 согласованы и характери- Ж стика второго семейства, д выходящая из точки а, лежит и ,з с внутри угла Ьас (рис.
53). д Решение первой смешанной задачи сводится к после- Рис. 52 довательному решению задачи Коши и задачи Гурса изложенным выше методом, нужно только начинать с решения задачи Коши с начальными данными на дуге ас. При этом мы сможем построить решение в «треугольнике», аппроксимирующем треугольник асд, ограниченный дугой ас и дугами двух характеристик разных семейств, выходящих из концов а и с. При этом приближенно определится У вторая характеристика ас(, с выходящая из точки а, которая вначале была неизвестна. а также определятся значения и и и в узлах этой характеристики.
Далее, решение задачи в области с(аЬ сводится к решению задачи Гурса, так как и и и будут известны на обеих характеристиках, выходящих из точки а Ь Г. Вторая смешанная за- У т дача. Эта задача заключается в отыскании решения систеРис. 53. мы (34), если известны значе- ния и и и на характеристике аЬ и известна линейная комбинация аи.+Рп=у на кривой ас, не имеющей характеристических направлений, где а, р и 7 — заданные функции точки дуги ас. При этом предполагается, что вторая характеристика„выходящая иа точки а, лежит вне угла Ьас, и, 480 матоды овшзиия дно.
звавивиий в частных пвоизводных [гл. 1О кроме того, значения и и о в точке а кривой аЬ удовлетворяют соотношению аи+ро=1 в этой точке. Для решения этой задачи поступают следующим образом. На дуге характеристики аЬ берем ряд точек 1, 2, 3,... (рис. 54). Из точки 1 проводим в направлении характеристики второго семейства прямую до пересечения с кривой ас. Пусть это будет точка 3. Из дифференциального условия на характеристике второго семейства и граничного условия находим и и о в этой точке. По найденной точке 5 и точке 2 обычным путем найдем точку б, Фу е по точкам б и 3 — точку 7 и т. д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
