Том 2 (1160084), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Ряд точек 3, б, 7, .. принимаем за исходный ряд и процесс по/ вторяем. Таким образом, мы можем заполнить сетку в области, ограниченной кривыми аЬ, ас и харакгеристикой второго семейства, проведенной из точки Ь до пересечения с кривоа ас. Рис. 54. до дго дго д +гггз д' +'Ьгз д до дго дго +изз +Ьы д =ем до дго ди д +изз д +Ьз д =сз. (39') Элементарная задача в этом случае решается следующим образом.
Пусть 1 и 2 — две близкие точки, в которых известны все величины хо у;, ио оь нгг (1= 1, 2). Будем обозначать через Л,г, Лзь Лм корни уравнения (19) в порядке их возрастания, вычисленные для точки д Обозначим через О середину отрезка, соединяющего точки 1 и 2. Координаты этой точки суть 1 хо = 2 (хг+ ха); 1 Уо = 2 (Уг + Уз) Положим, что в этой точке 1 1 1 "о= 2 (иг+ "з)1 оо= 2 (ог+оз)! ~о= 2 (пгг+тоз).
жеииый в предыдущем пункте, ного решения гиперболической ний первого порядка: ди ди до а — +Ьп — +а„— +Ь„ " дх ду дх ди ди до г' дх + з' ду + зз дх + ди ди до ггзг дх +Ьзг ду +вм дх +Ьзг б. Численное решение гиперболической системы трех квази- линейных дифференциальных уравнений первого порядка методом Массо.
Метод Массо, изломожет быть применен и для числеи- системы трех квазилииейиых уравне- ф 41 метод ХАРАктеРистик численнОГО Решения гипевволич. систем 481 Из точки 1 проведем прямую в направлении характеристики, соответствующей )ч(, т. е. у — у, =),и(х — х,), а из точки 2 проведем прямую в направлении характеристики, соответствующей ).зз, т. е. у — у, = )чз (х — хз). (40) Из уравнений у~!! — у(о!! =" (х(зо — х(о'!) ) (41) точки О, (х('!, у(!!). Вводя обозначение (О У! Уо (42) Уо Уз найдем новые координаты (и ч(11 = хо х! хз — х5'! линейной интерполяцией определяем значения и, О, те в точке О,: (1) и,+о И.
"о +,(О / (О о'и = "'+' (43) о, (О г -1- о!!!и! Рис. 55. о 1+„(П Далее, принимая отрезки 13, 23 и 0,3 за характеристики и используя дифференциальные соотношения(21) вдоль характеристик, пишем систему уравнений для определения первых приближений и, О, тв в точке 3: М(!1(из(" — и1) + 1(Г(1О(ез(И О() + Р(11(п!з(~! ш ) + СИ(хо(" — х ) = О, м(з'!(и(зо — из) + 11(з( (ез('! "з) + Рз(О(ызп! ыз) + сз(о(хз(п х,) = О, Мо (~з "о )+.А(о (Оз "о )+ ' о (шз и!о )+Со (х(о хо ) =О (44) где М',(, !1(,1, Р,(, С',' — значения М, !т(, Р, С в точке( (1=0,, 1, 2). найдя точку 3: (х%, у(н, и%, о('>, ш'1), производим ее уточнение одним из следуюших способов. Точку их пересечения обозначим номером 3.
Координаты этой точки найдутся из решения системы 482 мвтоды ввшвния див. явлвняний в частных пвоизводных [гл. 1О Пе Р в ы й способ. ВычислЯем значениЯ ),)з, Лзз, Льз, использУЯ О) )1) ° !1) первое приближение точки 3. а также Ма~, !))з!), Рз)), Сз!'. Находим величины Л! ) = — (Лн-)-а); (з) 1 ( р+ Н)) (45) — 1 Находим координаты уточненных точек О и 3 по формулам: у)з) — у, = Л!з)(х!') — х,), ! у!з) — уз = Л!и) (х!з) — х,), ! З О зо( з о) у — у)-' = у" у' (х — х!з)) х,— х(1 о) и значения о!з), и!з), ~з), ти") — по формулам: о ' о о (40') (4! ') ХО Х! о!1) = и) ' Хз — ХО и,+о) )и, и!') = о !+о)з! (42') вп О)+ о ОО о !+о)з) гв .1- о! )ш ,ий) — "1 (43') о 1+,)з! Используя эти формулы, вычисляем Лз), Мо, !))а, Р,, Со, а затем )1) П) !1) (1) !1) Мо)з), )))~,'), Р,'з', С,'1' и находим значения изр), т)з!', и)',', решая систему уравнений М! ) (и) ) — и ) + )т) ) (о з) — о ) + Р)з) (в)~) — ж)) + С! )(х! ' — х ) = О, Мз''(из!) — из)+ Л7'(ез' — оз)+ Р!з (ы',' — шз)+ 4'(хз" — х)) =О, (44') М,")(и.'" — и'-))+))))з)(о)з) — о)з))+Р")(и))з! — и);")+С)о"(х„'" — хи) =О.
! 1) См. сноску иа стр, 476. Таким образом, мы находим второе приближение точки 3 и продолжаем уточнение до совпадения с заданной точностью двух последовательных приближений '). В т о р о й с п о с о б. Этот способ аналогичен первому, но только берутся не средние арифметические величины по формулам 145) в точках 1 и 3, а значения этих величин вычисляются в средних точках отрезков 13.
23, 03. В остальном процесс уточнения остается такой же. 5 41 метод ХАРАИТЯРистик числвнного Рвшяния ГинЯРБолич. систим 483 С помощью этого элементарного построения задача Коши и задача Гурса решаются точно так же, как было описано в предыдущем пункте. При решении задачи Коши с начальными данными на дуге аЬ (рис. 66), не имеющей характеристических направлений, решение Рис.
57. Звдвчв Гурсв. Рис. 56. Задача Коши. можно найти в криволинейном четырехугольнике, ограниченном крайними характеристиками, выходящими из точек а и Ь, а в задаче Гурса в криволинейном четырехугольнике, ограниченном двумя заданными характеристиками и двумя другими характеристиками экстремальных направлений, выходящими из концов заданных характеристик (рис. 57 — 69). Первая смешанная задача решается путем ~ гааваааас Рис. 58. Задача Гурсв.
Рис. 59. Задача Гурсв. последовательного решения задачи Коши, а затем задачи Гурса; только нри постановке задачи нужно требовать, чтобы кривая аЬ, не являющаяся характеристикой, лежала бы вне угла, образованного крайними характеристиками, выходящими из точки а, а заданная характеристика аЬ не должна быть ближайшей к кривой оЬ (рис. 6О и 61). На остальных задачах в этом случае мы не будем останавливаться ввиду многообразия их постановок. 484 мвтоды вешания див. ьвлвнвний в частных пгоизволных !гл.
10 дьм „. дзи дзи а — + 26 — +с — =У. дхз дх ду дуз (46) Для этого уравнения мы получили следующие уравнения характеристик: 1-е семейство 2-е семейство ду — )ч с(х = О, с(у — ) ох=О, а(др+)едд) — у Их=О, а(др+Л,с(з)) — Ус(х=-О, ди = р с( х .+ д Ну. с(и = р дх -1- д с(у. Снова предположим, что в двух близких точках 1 и 2 плоскости х, у известны значения и, р, д, т.
е. известны точки (х,, у,, ин р,, д,) Рнс. 60. Первая смешанная задача. Рнс. 61. Первая смешанная задача " (хы уз пз. Рз Чз). Провелем через точку 1 прямую в направлении характеристики 1-го семейства, выходящей из этой точки, а через точку 2 — прямую в направлении характеристики 2-го семейства, выхолящей из точки 2, Координаты хи!, уы! точки их перез з сечения удовлетворяют уравнениям: у(п — у, = ).и (х~н — х,), уп> — у =Х (хР! — хд), где )чу — значения )ч, вычисленные в точке у. т) См. Ф.
И. Франкзь, С. А. Хоистианович, Р. Н. Алексеева, Основы газовой динамики, Е!АТИ, 1938. 6. Метод Массо численного решения квазилннейного гиперболического уравнения второго порядка. Рассмотрим теперь квази- линейное дифференциальное уравнение второго порядка гиперболического типа ') й 41 метод хлвлктввистик числвнного гвшвния гипвгволич.
систвм 485 )(злее, заменяя в дифференциальных соотношениях входящие в них дифференциалы конечными разностями, будем иметь систему уравнений для отыскания р1,'>, д',.'Л и!и: а, 1(Р,"~ — Р,) + Лз1(ф~ — д,)) — г',(х!зн — х,) = О, а !((р!и — р,,) + Л1з(с)!зп — д )) — Уз(х!зп — хз) = О, и~,'! — '+ ' = — (р,(х~,'! — х,)+д,(у<'> — у,)1.+ + — [рз(х!и — х,)+ у„(у!зп — у,)1. !47) 2и — + о( — + — ) = — 2е-зт, ди /ди де ! дх Лду дх/ ди де — — — =О, ду дх удовлетворяющего начальным условиям и(0, у)=сову, о(0, у)=вшу (1 (у.(1,5).
ан Л вЂ” значения а и Г в точке ! (1 = 1, 2). (Последнее соотношение мы получили, заменив в дифференциальных соотношениях для обеих характеристик дифференциалы конечными разностями, а затем взяв их полусумму.) Таким образом, решая последовательно системы (4б) и (47), мы найлем первое приближение точки 3; (х!11, ун>, р!1Л дп>, и<п). Уточнение полученных значений может быть выполнено способами, совершенно аналогичными тем, которые были описаны в п. 3, где было рассмотрено решение системы двух квазилинейных уравнений первого порядка. Решение задач Коши. Гурса и смешанных задач также не будет по существу отличаться от решения соответствующих задач, описанных там, поэтому мы не будем на них останавливаться. Заметим лишь, что при постановке задачи Коши и первой смешанной задачи на кривой, не являющейся характеристикой, мы должны задать функцию и и производную от нее по направлению, не касательному к кривой, несущей начальнме значения, так как по этим данным в точках этой кривой могут быть вычислены обе частные производные.
Во второй смешанной задаче не на характеристике можно задать функцию и или линейную комбинацию ее частных производных. П р и м е р. Найти методом характеристик несколько значений решения системы уравнений 486 методы Решения диФ. УРАвнений в частных пгоизводных [гл. 1О Дифференциальные уравнения характеристик этой системы имеют вид: 1-е семейство 2-е семейство 0 1,0 0,5403 0,8415 0 1,! 0,4536 0,8912 0 1,2 0,3624 0,9320 0 1,4 0,1700 0,9854 0 1,5 0,0707 0,9975 0 1,3 0,2675 0,9636 х» У» и» е» Для отыскания координат точки 7', лежащий на пересечении характеристик двух разных семейств, выходящих из точек» и 1+ 1, и значений и и т) в этой точке имеем систему уравнений у»в) — у.
= Л»в). (х»в) — х.); у»в) — у. = Лнв (хзй — х. ); в — в ( в )1 ЬЬ (»Р)1 ,[в) г)1ву) (иш) — и») + е 'е (у)в) — у ) = О; а гв) ,о[в), (о»») — о»,)+ и[в), (и)в) — и»,)+е '" 'У(х»Ю — х»,) =О, где 11») »в- ») 1») »в- О Лн+ Л,,Ю Л, »„+ Л„ 2 Д ' 2 ь~,~.»,у = =О; »в- ») »в- ») »в-1) и»+ и~У „е»+ е~7 1в х»+ ху и»у= 2, о»у= 1 х»у= 2 „в-О ив Отсюда получаем следующие расчетные формулы: ,»в) 1У»е) х» = — (у — у»)+хб и» = и»вЂ” »в) 1 »в, в е (У вЂ” У;) Щ е,в -ах»в) и[в), (иу»в) — и»„,) -[- е 'ФЕЕ(х»ув) — х,,) ,1в) »в»,У (и=1, 2, ...). У) '=У»-»» 1в\ »в) о»»» с»у = — »»х; [У=О; о»[и + е-а ' »[у = О. т)»14» -[- и»[и .+ е - а»[х = О. Для численного решения задачи возьмем на отрезке, несущем начальные данные, шесть равноотстоящих точек. Координаты этих точек и значения и и о в них приведены в таблице: 'з 4) метод хАРлктеРистик численнОГО РешениЯ ГинеРБОлич.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
