Том 2 (1160084), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Воспользуемся простейшей устойчивой явной разностной схемой и+, +и, " ~+1= /Р выбрав шаг по оси х и=0,1 и шаг 1 по оси 1: 1= —,=0,005. 2 Ниже приведена таблица значений решения в узлах сетки (в единицах четвертого десятичного знака). Так как решение симметрично 0,1 0,2 0,5 0.4 0,3 0,025 0,050 0,075 0,100 7431 7813 5806 6105 4537 4770 3545 3727 4593 3588 2804 2191 2414 1886 1474 1152 21 22 23 24 6321 4939 3859 3015 25 26 27 28 0,025 0,050 0,075 0,100 1О 15 18 17 33 50 60 47 19 30 36 37 31 48 57 60 27 41 49 40 0 1 2 3 4 5 б 7 В 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0 0,005 0,0! 0 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040 0,045 0,050 0,055 0,060 0,065 0,070 0,075 0,080 0,085 0,093 0,095 0,100 3090 2939 2795 2658 2528 2404 2287 2174 2068 1967 1871 1779 1692 1609 1530 1456 1384 1316 1252 1190 1135 5878 5590 5316 5056 4808 4574 4349 4137 3934 3742 3558 3384 3218 3061 2911 2?68 2633 2504 238! 2270 2154 8090 7694 7318 6959 6619 6294 5987 5693 5416 5150 4898 4658 4430 4213 4007 3810 3624 3446 3288 3117 2975 95!1 9045 8602 8182 7780 7400 7037 6694 6365 6055 5758 5476 5208 4953 4710 4480 4260 4072 3853 3680 3485 10000 9511 9045 8602 8182 7780 7400 7037 6694 6365 6055 5758 5476 5208 4%3 4710 4480 4260 4072 3853 3680 9 5! мвтод свток гвшвния плвлволичвских гвлвнвний 505 относительно прямой х = 0,5, то в таблице даны лишь значения решения для х = О; 0,1; 0,2; О,З; 0,4; 0,5.
и, и,,=2(и...— 2и)+и. ь.) при той же сетке (и=0,05; 1=0.005), а в строке 1Π— погрешности этих значений. Как видике неявная схема дает хороший результат, так как после шести шагов относительные погрешности не превосходят ! %. 0.35 0,40 0,45 0,50 0,15 0,20 0,25 0,10 58788 7071 8 76 92 7314 б 6714 5532 112 84 30 90 2 938 27 94 2650 2562 2170 37 38 4540 4316 41 04 3 904 3684 3732 1 808 0 0,005 0,010 0,015 О, 020 0,025 О, 030 1564 1 488 1412 1352 12 44 13 92 1 64 090 8910 8472 80 50 940 7 684 7110 8032 — 7 58 9511 9041 8 8141 7967 6137 152 83 98777 9391 603 8925 8511 7909 8815 — 723 10000 9508 9040 8580 8304 6724 15088 5588 5314 50 48 4830 4332 6282 6723 6391 6083 5727 5907 2007 7074 — 82 09 7128 — 54 6017 6626 — 5267 7384 6063 6678 — 46 52 1163 999 1172 — 9 22 98 — 1440 2316 — 18 3376 4372 1568 — 1910 34 02 44 05 — 26 — 33 5259 3252 52 99 — 40 7346 8069 7402 — 56 0,030 7437 — 7651 7495 58 7 8 д 10 0,030 В строках 21 — 24 таблицы приведены значения точного решения залачи в указанных там узлах таблицы, а в строках 25 — 28 — погрешности приближенного решения в соответствующих узлах.
Относительная погрешность не превосходит 2%. При сравнительно большом шаге и = О, ! результат совсем неплохой. Используем теперь неустойчивую явную разностную схему иь,~,=2(и,чь,+-и, ь,) — Зикр Для того чтобы не ухудшать аппроксимации дифференциального уравнения разностным уравнением, шаг и по оси х возьмем равным 0,05, а шаг по оси Г: 1= 2йа = 0,005, т, е. оставим его прежним. Ниже приведена таблица полученных значений решения (строки 0 — 7) снова в единицах четвертого десятичного разряда. В строке 7 приведены значения точного решения задачи для 1 = = 0,030, а в строке 8 указаны погрешности приближенных значений, полученных по укаэанной схеме, при 1= 0,030. Как видно из таблицы, после шести шагов по оси 1 погрешности настолько велики, что по абсолютной величине в некоторых узлах даже превосходят значения точного решения.
Это вполне естественно, так как схема неустойчива, поэтому небольшие погрешности в начальных значениях решения очень быстро возросли. В строке 9 приведены значения решения при 1 = 0,030, полученные по неявной схеме 506 методы гашения дио. гвавнаний в частных пгоизводных (гл. 1О ф 6. Метод прогонки решения краевых задач для уравнений в частных производных') Метод прогонки мы изложим на примере решения краевых задач для уравнения теплопроводности и для уравнения Пуассона.
1. Уравнение теплопроводности. Пусть требуется найти решение уравнения ди дои д 1(' )да' дт ' дха' (') удовлетворяющее условиям: (2) и(х, 0)=р(х) (а (х (Ь), ~ д' — ио(1) и1 = и«(1). [Й вЂ” Ь(1) 1,=М ~ (3) Для решения этой задачи применим следующую разностную схему. Возьмем сетку узлов; х, = а + (1-+ — ) Ь; 11 — — «1 (1 = — 1, О, 1,..., И; !т 21 /=О, 1, 2, ...; Ь= ) и для внутреннего узла (1„2) запишем «ч разностное уравнение и,« — ий««я и+,« — 2и; +и; =р«« ' „, ' (р; =р(хо 1«)) (4) 1~~ и6 — — иь«,+ — „" (и,+, « — 2иг -1-и, ь,) (1=0. 1, 2, ..., И вЂ” 1; 2= 1, 2, 3, ...), (6) аппроксимирующее уравнение (!) в узле (1, Я с точностью до 0(1-!-ЬЯ).
В граничных узлах запишем следующие соотношения: и«,о= р( = р(х;) (1= — 1, О, 1, 2, ..., д(), (6) и-ь «+ ио« о,«2 1« (/=1, 2, ...; ао) — — ао(11); а«1 — — а«(11)), ии,— иь г) ии, «+им, — ~о) 2 =4 (у= 1, 2...: 1о,— ~о(1,): Ц=~«(1,)). («,) (7а) г) Прн написании данного параграфа использована рукопись неопубликованной статьи И. М. Гельфанда н Локуцяевского, любезно предоставленная нам авторами. метод пРОГОнки Решения кРАевых 3АдАч 807 Р!з методических соображений рассмотрим сначала предельный случай а=0 (так называемый мегпод прялсых, О котором подробнее см.
% 8). Полагая п(х, 1~)=о!(х); р(х, !!)=!сЕ(х), в этом случае будем иметь: Фи, (х) !р,(х), = 3(х) — у),(х) (7'=1, 2, ) оо(х) = ро(х) (8) (9) ии! — — поз~;1 = агу (7'=1, 2, ...). ф — ь„;~ (10,) (1Ог) 'Таким образом, для отыскания оа(х) (при известной ту,(х)) имеем краевую задачу (8), (10). Для ее решения применим метод прогонки, описанный в $ 9 главы 9. В соответствии с этим методом для отыскания о)(х) находим функции аоу(х) и а,с(х) (а < х ~(Ь), удовлетворявшие уравнениям: сс' (х)+аг (х) = ое со о(х) ! (1 ') а, '(х)+ао (х)а~(х)= —,, о.,(х) Р (х)! и начальным условиям: сч,у(о) = аос а, (о) = акн (12) (12') т. е. совершаем прямую прогонку.
Далее, из системы о',(Ь) — ро) ) (Ь) = игр о'(Ь) — ао)(Ь) и (Ь) = аст(Ь) (13) определяем о)(Ь) и, интегрируя уравнение о'(х)=аог(х)о (х)-+ -4-аг!(х) с начальным условием о)(Ь) на правом конце, находим функцию ог(х), т. е. выполняем обратную прогонку. Так как оо(х)=у(х), то, используя этот метод, найдем последовательно ог(х), от(х), ..., т. е. приближенные выражения для решения п(х, !) на прямых ! =7!. Если ао(Е) Р О, то при числен. ном решении системы (11) и уравнения (8) мы не будем иметь резкой потери точности при отыскании значений о)(х). Теперь видоизменим этот метод применительно к методу сеток, т. е, рассмотрим случай И Ф О.
В этом случае метод прогонки мы будем применять не к дифференцируемому уравнению, а к граничной задаче для разностного уравнения второго порядка (6) с граничными УсловиЯми (7,), (7Д (7' считаем фиксиРованным, а пьг т— известными). 508 методы гашения дие. хвлвнвний в частных пвоизводных (гл. 10 Уравнения (5) и (7) при /=ят можно записать в таком виде: А~тигеа, т — 2В!ти~т + Сати~-а, т = 7)!т. и а, — — Ро ио +9~~, и» а„„вЂ” — Й пят+В (14) (1 5,) (15т) где Ит Оат= и! т-а! !аа аал Ив В,т= !+. 2!мат (16) 2И»,т 2+ Иола„' 2И1ааал 2 + Иолоааа 2 — Иаоал Рот= 2+ И 2 — даро»а, 2+ ~ф,~ (17) В соответствии с идеей метода прогонок будем перегонять левое граничное условие (15,) в правый граничный узел, т.
е. будем находить такие Рт и !',)! . чтобы при всех 1=0, 1, 2, ..., М и; , т = Р; и; + Ятт. По-ставляя и; а,т из (18) в (14), будем иметь: (! 8) А;та!+ а, т — 2Ва„и;т + С„„Рь„ит„= От — С~тфт, или, разрешая относительно ио,, нот = Р;+ а, ти а+ а, т + ()а+ а, т. где Ааааа Ра+а, т = 2Втт — СатРнл ' (19) — — (20) »т'+ь "' '  — С Р А '+ь т' и» ял гт ат Вт — С;тР Теперь решение находится просто. Зная А;т, Вт., Ст, Р;т, Р,т и Яот, находим с помощью рекуррентных соотношений (19), (20) Рнт Я, и далее с помощью (18) находим последовательно ии о,т, ии-о, т»...
ио, т, и ь т. ПогРешности, допУШенные пРи вычислении а„, апь 'Р' Р Цаю пРи этом методе не могут сильно сказаться на результате, если аог) О, В самом деле, если ( Р,т ) < 1, то из (19) следует, что и а Рао а, т ~ < 1 ° так как Ат =С, ='1, а В! ) 1. Но при ао, ) 0 !Ро~! <1, поэтому )Р~ ) < 1 при всех 7. Погрешности в' аоа и а„вызовут погрешности в Р, и Я~ и будут сказываться на значениях Ро Покажем. что они не возрастают. Если 8Ртт погрешность в Р;, то с точностью до членов первого порядка относительно 8Р,т ф б) МЕТОД ПРОГОНКИ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 509 В нашем случае А! — — Сг = 1 и множитель при ьР, в правой части равен Р'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
