Том 2 (1160084), страница 80
Текст из файла (страница 80)
В 6 5 было введено понятие устойчивости разностной схемы. играющее важную роль в решении задач методом сеток, В настоящем параграфе мы изложим метод сеток в более общем виде, рассмотрим связь сходимости и устойчивости и изложим некоторые методы исследования устойчивости. Эти вопросы обстоятельно освещены в монографии В. С. Рябенького и А.
Ф, Филиппова «Об устойчивости разностных уравнений», которая и была использована при написании данного параграфа. 1. Разносгная аппроксимация дифференциального уравнения и граничных условий. Рассмотрим в и-мерном пространстве область О с границей Г, состоящей из нескольких кусков Гг (1= 1, 2, ..., лг), которые могут иметь общие части или даже совпадать между собой. Пусть в области 0 нужно найти решение дифференциального уравнения 1. (и) — г' = 0 с граничными условиями 1;(и)=ч; (г= 1, 2, ..., лг), (2) где у — заданная в О функция, »г — функции заданные на Гн а Е и 1~ — некоторые дифференциальные операторы. В замкнутой области О+Г для каждого й(0 «.
й «. йв) определим некоторое множество точек, которое назовем сеткой и обозначим через О». Дифференциальному оператору Е поставим в соответствие некоторый разностный оператор Й», преобразующий функцию и». определенную на О», в функцию Й»и», определенную на некотором множестве О» ~ Ом При этом будем предполагать, о что какова бы ни была точка Р области О. при достаточно малом и о в любой ее окрестности найдутся точки, принадлежащие О» и О». Дифференциальному уравнению (1) поставим в соответствие разностное уравнение й»и» — — А,, (3) где У» определена на О» и в точках О» совпадает с (. Каждому о о граничному условию 1г(и)=»г на Гг поставим в соответствие некоторое разностное граничное условие гн, (и») = ~,» (1 = 1, 2, ..., т), (4) где оператор ги, определен на некотором множестве Г;» из 0» н переводит функцию и», определенную на Г;», в функцию г;»(и»м э 7) СХОДИМОСТЬ И УСТОЙЧИВОСТЬ РАЗНОСТНЫХ СХВМ 517 опРеделеннУю на множестве Гьь <= Ггь, а огь — фУнкции, опРеделенные на Гьгь, некоторым образом соответствующие функциям ~уо Способ этого соответствия зависит от способа переноса граничных условий с Гг на Ггю Будем предполагать, что между функциями у;А выполнены условия согласования, под которыми мы будем понимать такие условия, связывающие ргь в отдельных точках, которые являются необходимыми и достаточными для существования хотя бы одной функции и„, удовлетворяющей условиям (4).
Пусть (7 и Р— классы функций, определенных на О, а Ф О=1, 2, ..., т) — классы функций, определенных на Гн такие, что при и~ (7 определены Е,(и) и 1г(и), при этом Е(и)~ Р,1;(и)~ ФИ Булем предполагать, что в каждом из этих классов определена норма, вообще говоря, своя в каждом классе, обладающая обычными свойствами нормы. Эти нормы обозначим соответственно через 11 и11 !Ы1,, Ийьб Пусть для функций и„, определенных на ОА, определена норма 11иь11'о; длЯ фУнкций уь, опРеделенных на О,, — ноРма 117Ь1).
и ОА' "л для функций Ргь, определенных на Гьгь, — норма ))ргь(! . Функции и~(7, уг=Р, определенные на О, имеют смысл и на Оь, следовательно, длЯ них имеют смысл ноРмы 11и11, 11Д„, опеРатоР )чьи ПЛ' "А' и т. д. Будем предполагать, что нормы определены так, чтобы для любых функций и~ К 7'Е Р и ~ь;<= Ф; имеют место предельные соотношения: 11и11 — «11и11„; 1ф1 — «11711 !)сугь11 — «))срг11 (1=1, 2,...,т) (5) при й -+О. В этом случае мы будем говорить, что соответствующие нормы согласованы.
Говорят, что разностное уравнение (3) и граничные условия (4) аппраксимируют дифференциальное уравнение (1) и граничные условия (2) на классе функций (7, если для любой фуннции и~(7 при й-«О имеют место соотношениьп (6) 11г'. (и) — )чьи 11 -+ О. 11(1г("))г А г'л(и)11 — «О (1=1, 2, ..., т), (7) где через [1;(и))гл обозначен оператор переноса граничных условий с Гг на Г,ь. Далее, говорят, что порядок разностной аппроксимации равен й, если для любой функции и ~ (7 и О ( й йь имеют место 518 методы гашения дне. таьвнений в частных пяоизводных [гл.
10 иеравенслзва [[(()-йв 11, <д"М, 1~[11( )[,„ — гз ( )~~ < Ь" М, (1 = 1, 2, ..., ). (8) (9) где М и М; не зависят от а. П р и м е р. Рассмотрим уравнение дзи дзи Е (и) = —, — — - = Г (х, 1) дзз дхз (г 0). в области О = [О < х < 1; 0 < 1 < Т) с граничными условиями: на Го= [О <х <1; с=О[, на Г, = [О < х < 1; (= 0[, на Г,=[х=О; 0<( <Т[, на Г, = [х = 1; 0 ~< С < Т[. 1о(и)= и (х, 0)= сро(х) (з(и) =— и,'(х, 0) = р,(х) 1, (и) = и (О, 1) = зз (С) 1з(и) = — и(1 з) = тз( з Под сеткой Ов будем понимать совокупность точек (х;= (И, Г~= г1) (1 = О, 1, 2...,, М;,р' = О, 1, 2, ..., И), где й = —; 1 = ии (а = сойз() 1И < Т 1(И+1).
Определим операторы: ил (х, Г+ 1) — 2ил (х, Г) + ил (х, à — !) йвив— гз ил(х+ в,г) — 2ив(х, 1)+ ив(х — ь,г) о на Оь гол(ил)— = иг (х. 0) ил (х, 1) — ил (х, О) ' зв (ил) = (1=1, 2...., М вЂ” 1; /=1, 2... „, И вЂ” 1), точек (й. 0) (з= О, 1, 2, ..., М), точек (й, 0), (й, 1) (1=0, 1, 2, ..., М), точек (О, уу) (/= О, 1, 2, .... И), точек (1, /1) ( / = О, 1, 2... „И), точек (й, /1) ,о з 1л = Гол о о Гзв — = Гзл1 Гзв = — 1зв. а Гол=— Гов гзл (ив) — = ив (О, г) г,в(и„)= — ив(1, С) Здесь бь — совокупность о Гов — совокупность Г,в — совокупность Гзв — совокупность Г,л — совокупность на Г„в, Г,, на Гзл, на Гзв.
ф 7! СХОДИМОСТЬ И УСТОйЧИВОСТЪ РВЗНОСТНЫХ СХЕМ 519 Положим, далее, Л,(хн ру)=У((й, У1); ров(хз)=Ь(ГА): язв(хг)=р (1А) (з= О, 1, 2, ..., зИ); Условиями согласования здесь будут условия: 'ров (О) = <рзв (0)' ~ров(0) + (срьз (0) = ~ров (1); ров(1) = ров(0): 9ов(1) +(язв(1) = 9зв(1) которые получаются из следующих соображений.
Точка (О, 0) принадлежит Гою Г,в и Гзв, а точка (О, 1) принадлежит Г,в и Г,в. Следовательно, значения ив в этих точках можно вычислять различными способами: ив(0 О) = сров(0)' ив(0. О) = озз„(0); ив (О, 1) = ч ов (0) -4-!<рзв (0); ив (О, 1) = ~ров (1), откуда 9ов (0) = 'рзв (0); 9ов (0) + Й~зв (0) = аров (1). Аналогично получим и два других условия согласования. За класс '(з' примем совокупность функций с непрерывными производными второго порядка в замкнутой области б, за гт — совокупность всех непрерывных в б функций, а за цзг — совокупность всех непрерывных функций на Гь Нормы в этих классах функций введем следующим образом: !!и!!п=вах!и!; !Я .=Рвах !р!; !!<рз!! =Упал!срз!.
О О В Для сеточных функций нормы введем так: !!пв!!ив=злах!ив!; !!Я!„= гпах!Зв!1 !!Рзв!!, =злах! Рв!. в Ов в о Так определенные нормы будут согласованы, так как при И -+ 0 //и!! -+ !!и1!; !!Л + !! р!! ' !!!ср)зв!!~,„-+ !!срз!!е,. Далее, при и -з 0 //б(и) — Яви!/„. -+ 0; //!(з(и)!Рв — гзв(и)//„-ь 0 (з = О, 1, 2, 3). Если вместо класса У дважды непрерывно дифференцируемых в (г функций взять класс (зз всех функций, имеющих непрерывные 520 методы гашения дне, гвввнвний в частных пгоизводных [гл, 10 производные четвертого порядка, то Ив 4 !д4и ~ ~ д4и )[1, (и) — 44'в и[) . ( —, [ ав шах [ — (+ шах [ —, ~ ), /[[14(и)[гв — ггв(и)/[, =0 (1=0, 2, 3) ав ! дви! [~ [14 (и) [гв — гив (и) [[еы ~( — игах ~ —, ~.
Таким образом, разностная схема )Свив=(в: ггв(и)=сргв (1=0 1 ° 2 3) аппроксимирует в классе У дифференциальное уравнение с граничными условиями, а в классе (/, будем иметь аппроксимацию первого порядка. 2. Понятие корректности и устойчивости разностной схемы. Совокупность разностного уравнения (3) и разностных граничных условий (4) назовем разностной схемой решения задачи (1) — (2), Введем следующие определения. Будем говорить, что разностная схема (3) — (4) корректна, если при достаточно малом шаге И ее решение существует при любых гв и угв (1=1. 2, ..., лг), для которых выполнены условия согласования, и для любого е) 0 существует такое 8 = 3(е) ~ О, что для данного решения ив разностной схемы (3) — (4) и любого ив, тле )твйв=Ув' ггв(ив)=гв (1= ' 2, лг) ('О) будет иметь место неравенство )[ив — ив[[о с. е сразу для всех И (0(И Ие), как только (11) 1У вЂ” Л,„< 3' [[жгв — Чгв[~еы < 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
