Том 2 (1160084), страница 84
Текст из файла (страница 84)
При использовании неустойчивой разношной схемы искажение истинного решения тем сильней, чем мельче сетка, при использовании же крупной сетки мы ие можем рассчитывать, что решение разностной схемы будет близко к точному решению краевой задачи для дифференциального уравнения в силу плохой разностной аппроксимации уравнения.
Далее. при решении разностной задачи в процессе счета нам неизбежно придется округлять значения решения в узлах сетки. г) О разностных схемах для уравнений с коэффкцнентэмк, допускаю- шими разрывы см. сноску на стр. 373, а также доклад А. А. Сам ар ского в Трудах конференция по дифференциальным уравнениям в Ереване, ноябрь, 1958 г. й 8) метод пгямых гвшвния гглпичных задач для дие.
гглвывний 537 Наличие этих ошибок может также сильно исказить картину решения, поэтому необходимо требование устойчивости разностной схемы относительно ошибок, возникающих в результате округлений значений решения в узлах сетки. Так как ошибки округления значений решения в узлах се~ки, по крайней мере, в простейших случаях можно компенсировать изменением правой части разкостного уравнения, то особенно существенно требование устойчивости по правой части. Наконец, кужно иметь в виду, что мы всюду рассматривали устойчивость как свойство, связанное лишь с разностным уравнением и граничными условиями лля него, совершенно не принимая во внимание алгоритм, используемый для решения разностной схемы. Однако лаже в том случае, когда разностная схема устойчива по граничным условиям и по правой части, при неудачном выборе алгоритма для счета решения этой разностной схемы может произойти сильное накопление вычислительной погрешности, в этом случае уже неустойчивым будет сам процесс счета, Неустойчивые алгоритмы счета практически непригодны в случае мелкой сетки, На это явлекие мы уже указывали при изложении метода прогонки решения краевых задач.
В книге В. С. Рябенького и А. Ф. Филиппова «Об устойчивости разностных уравнений» приведены пример разностной схемы и алгоритмы получения решения схемы, из которых одни являются устойчивыми, а другие неустойчивыми. Вопросы устойчивости разностных схем и вычислительных алгоритмов приобретают особое значение при использовании современных быстродейств) ющих вычислительных машин, и исследованию этих вопросов уже сейчас посвящено большое количество работ, ф 8. Метод прямых решения граничных задач для дифференциальных уравнений в частных производных 1. Сущность метода прямых.
Пусть в прямоугольной области О(и < х< ~' Уз< У <Уз+-1) (рис. 74) необходимо найти решение эллиптического дифференциального уравнения спи д"и ди ди и(х, у) й +-Ь(х, у)д — +с (х, к) — +гг(х, у)~— +е(х,у)и=у(х, у), (1) (а, (г) 0 в О.+Г), удовлетворяющее граничным условиям: и(х, уо)=сро(х); и(х, уо+-1)=срг(х) (и~<х~<р), ) (2) и(и У)=фа(у): иф.
У)=ф,(у) (уз<У<Уз+1) 1 гле <р;(х), фг(у) (1=0, 1) — заданные функции. Метод прямых приближенного решения этой задачи, предложенный М. Г. Слободянским, заключается в следующем. На отрезке 538 методы гашения дне. углвнений в члстцых пгоизводных (гл. 10 (у, уз+1] возьмем точки у»= уз+ И (Й = О, 1, 2,..., и), 7г =— йл(- 1 и проведем прямые у=у». Предполагая существование достаточно гладкого решения и(х, у) задачи (1) — (2), положим в уравнении (1) У=й' Р=«рр'~ Рис. 74.
У=у» (7г = 1. 2, ..., п) и заменим производные по у разностными отношениями. например, воспользовавшись равенствами ди! 1 (и (х, .у»ьг) и(х. !» 1)]+ 0 (Й ) = ~~ (и»»1(х) — и» ~(х)]+0(и~) 1 (3) — = — (и(х, у»+,) — 2и(х, у») + и(х, у»,)]+0 (Ь') = дзи! 1 дуя ~, „»з ! = — (и«+, (х) — 2и» (х) + и», (х) ] ]- О (7г«1, где и»(х) =и(х, у»). Получим следующую систему п обыкновенных линейных дифференциальных уравнений второго порядка: а»(х)и'„'(х)+ «„) (и»,(х) — 2и (х)+и»,(х)1-( — с»(х)и'„(х)+ + — 2„(и»~, (х) — и»,(х)(+ е»(х) и»(х) =У»(х) + 0(И ) д» (х) г (4=1, 2, ..., и).
Пренебрегая в них членами 0(й""! и обозначая через У»(х) приближенные значения решения и(х, у) на прямой у=у» для их определения, получим систему уравнений а -(х) У» (х) +»з (СУ«+~(х) — 2У» (х) + (/» г(х)]+ с» (х) (/«(х) + +-"(„) (Е/»,(х) — У»,(х)]+е»(х)(/»(х)=7»(х) (4) (й=!, 2,..., л). 9 8) мвтод пгямых гвшвния ггиничных задач для дно, телвнвний 639 Используя граничные условия на Г, имеем: (7о(х) = р,(х) (и < х < Р, (Уо+, (х) = э, (Й) (а.( х ( р), (б) (7л(а)=ф (уи); (7л(р)=ф,(ул) (и=!, 2... п), Система (4) обыкновенных дифференциальных уравнекий с граничными условиями (6) аппроксимирует с точностью до Ил дифференциальное уравнение (1) с граничным условием (2) и называется системой уравнений метода прямых.
Обшее решение системы (4) будет линейно зависеть от 2п произвольных постоянных. Используя граничные условия (б) для отыскания этих постоякных, получим систему 2и линейных алгебраических уравнений, решив которую мы н кайдем функции (7л(х) ((о=1, 2, ..., и), аппроксимнруюшие решение задачи (1) — (2) на прямых у=ул ((о =1, 2, ..., и). В зависимости от способа замены производных по у разностнымн отношениями мы будем иметь разные системы метода прямых, с различной точностью аппроксимируюшие дифференциальное уравнение (1).
Этот метод удобнее всего применять в том случае, когда коэффициенты в уравнении (1) не зависят от х. В этом случае система (4) будет системой обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами' ). Метод прямых можно рассматривать как предельный случай метода сеток, если, используя прямоугольную сетку, шаг сетки по оси х устремить к нулю. 2, Метод прямых решения задачи Днрихле для уравнения Пуассона.
Пусть в области О. указанной в п. 1, требуется найти решение уравнения дои дои дло + дуо (6) с граничными условиями и(х, уо)=эо(х); и(х, уо+-1)=со,(х) (а4,х~(~), (7) и(и, у)=фо(х)' и(Р у)=фг(у) (уоСу<уо+1) ! г) По поводу областей применения метода прямых н построегшя различных схем метода прямых см. доклад акад, А. А. Дородннцына в книге: Конференция оПутн развития советского математического машиностроения н прнборостроеннял, пленарные заседания, Москва, 12 — 17 марта 1955 г., особенно стр. 47 — 50. 640 методы 'вешания дие. уялвнвний в частных пгоизводных 1гл. 10 Применяя для решения задачи (6) — (7) метод прямых и заменяя дзи производную — ~ разностным отношением д з в-яв 1 — 1и(х, ув„г) — 2и (х, ув) +и(х, уя,)1. получим следуюшую систему уравнений метода прямых: (У",(х) + ††,я 1(7„,(х) — 2(7„(х) +-(У„ ,( )1 = (, (х) ) 1 ((г = 1, 2, ..., и), (8) ('о(х) = 9о(х) (7„.„,(х) = р,(х) с граничными условиями (7„(а)=ф„(у„); (7„(р)=ф,(у„) (й=1, 2, ..., и), (9) аппроксимируюшую уравнение (6) с точностью до йя.
Рассмотрим более точную аппроксимацию уравнения (6), предполагая большую гладкость решения зааачи (6) — (7). Для этого заметим, что из разложения функции и(х. у) как функции перемен. ного у в окрестности точки уи по формуле Тейлора следует: и(х, у„„) — 2и(х, у„)+и(х, уа,) = = и(х, ув+й) — 2и(х, уь) -1-и(х, у» — й) = йг д-'и(х, Ув) + Ла д4и (х, Ув) + О(дв) дуз 12 дуа Совершенно аналогично дяи(х, у, ) д"и(х, у„) дги(х, ув ) д4и(х, у,) дуя ' ' ду- + дуя — "' ду4 + О ("'). дги(х, у,) Исключая из этих двух равенств —, будем иметзи дуз и (х, у„ч,) — 2и(х, ув) + и(х, у„,) = Ь ~ 'и( У - ) д"( У -)1~5"" ди( Уя)'~0016) ~К~ 12 1.. дуа дуя 3 6 дут Учитывая, что из дифференциального уравнения (6) дяи (х, ув) гии (х, ув) =7(х, Уа) д я — 7ь(х) — и„(х), д'и и заменяя в (1О) все производные —, получим: дуз — и,", (х) + — ~ и,",, (х) + и,',, (х)~ +- — „„~ив~,(х) — 2ил(х) +и„,(х)1= = у )и(х) + — 217а + Л' - 1+ () (й ) ° ф 8[ метод пэямых эвшвния гвэничных задач для див.
эвавнвний 841 Отбрасывая член с О (Ь'), получим следующую систему уравнений метода прямых: — , 'и,"(х)+ уи „(х)+и'„',(х)[+ — „',~и„„(х) — 2У,(х)+и,,( )]= 5 = — уэ(х)+ — [Дэ,(х)+уэ,(х)[ (гэ= 1, 2, ..., и), (11) 1 Уэ(х) = ээ(х); У„„,(х) =э,(х) с граничными условиями иэ(э)=фэ(уэ), и,(8)=ф,(у,) (й=[. 2, ..., л), (12) иэ(х) = и„„(х)=б.
(8') Будем искать частные решения этой системы вида и,(х)=т(д) (х). Подстановка в (8') дает т И)~(. )+ лэ ™(х) [т И+1) — 27(й)+т(й — 1)[=б 1 (1=1, 2, ..., и), т (б) = т (" + 1) = ([ (18) (14) или э" (х) т(а+1) — 2т(а)+т(а — 1) э (х) — эг( ) Лля отыскания т(Л) получим однородное разностное уравнение т Уг -+ 1) — [2 — йэйэ[ т (А) + т (Ф вЂ” 1) = О (16) с граничными условиями т (О) = т (и + 1) = О. Общее решение разностного уравнения (16) имеет вид т ® = СА + Сэйэ, (!7> (18) аппроксимирующую задачу (6) — (7) с точностью И Так как системы уравнений (8) и (11) линейны, то общее решение каждой из них равно сумме некоторого частного решения и общего решения соответствующей однородной системы, последнее не зависит от ~, от граничных функций, а также н от размеров области О, если задано и, поэтому его можно найти раз и навсегда, что мы и сделаем сейчас.
Рассмотрим однородную систему уравнений, соответствующую системе (8): иэ(х)+ — „, [Уэ,(х) — 2У„(х)+Уэ,(х)[=0 (1=1, 2...,, ), 542 методы гвшения дичь. Увавнвний в частных пгоизводных (гл. 10 где С, и С,— произвольные постоянные, а Л, и Ла — корни характеристического уравнения Ла — 12 — йаеа) Л + 1 = О. Из граничных условий (17) имеем: -((и+ 1) = С,Л7" +С.ЛГ" = С,(Л7+' — ЛГ") =О.
Отсюда (-')— Л,ь"" ьь+ Ь ).,) ь) 1 или ь )ь" 1 еьь+1 (в=О. 1. 2...,, и). ),а аыв Но так как Л,Л,=1, то Л, =еьь и а ьв 1 Л = — =е"+'. )а Зная Л, и Л,, можно найти и неизвестную постоянную 8, ибо по свойству корней квадратного уравнения ьвв в!в 2 — йайа=Ль+Ла= е"ч'+е вь =2соз— и-)-1 откуда йа 4 а ~а 4 па (Ув Ув) йв — — да з1п 2(и+ 1) — — д,ь зьп 21 (з=О, 1, ..., и), (18') а Нетривиальные решения будут только при а=1, 2...., и. Из уравнения (15) имеем: ть" (х) — Ь„о(х) = 0 или ов(х) = А,е ве+Вве ~вч, (20) Итак, мы имеем и частных решений линейной однородной системы (8'): Уа,в(Х)=(Авев*+Вве в 1'а(п ~ в (е=1, 2...„и), (2!) (22Л которые между собой линейно независимы, а следовательно, общее решение этой системы имеет аид (ььа(х) = ~~ з!п — (уа — у )(А е'В-)-В е в в), в ь где А, и В, — произвольные постоянные. 5 8! мвтод пгямых гвшвния гвдничных задач для лие.
Увдвнвний 843 Совершенно аналогичными рассуждениями можно показать, что общее решение однородной системы, соответствующей системе (11), имеет вид (7 (х) = ~ з!п ~~ (у — уо)(А,е з — В„е ' ), ( 3) в 1 где 24 з!пз гз 21 (а=1, 2, ..., п) (24) дт(5.+ соз " ) т Г а А„и В,— произвольные постоянные. Имея общее решение однородных систем, соответствующих системам (8) и (!!), в каждом конкретном случае можно найти частное решение этих систем, например, методом вариации постоянных, а следовательно найти общее решение неоднородных систем, а затем, используя граничные условия для функций (Ль(х), получить систему линейных алгебраических уравнений для отыскания 2и г гс произвольных постоянных А, и В, (или А„и В,), решив которую мы и найдем функции (7ь(х), являющиеся приближенными значениями решения и(х, у) задачи (б) — (7) на прямых у=у„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
