Том 2 (1160084), страница 79
Текст из файла (страница 79)
, т. е. 1+ь т' В~ !Рц т= Р~+ЬтвР!т. 2. Уравнение Пуассона. Пусть в прямоугольнике )т !а < х <Ь; с ( х ~( д) требуется найти решение уравнения Пуассона вГ дги дги д '+ д г(х, у), (21) у доз лет зоря ющее ному условию ди — +аи =р на дв гранич- границе прямоугольника (п — внешняя нормаль). (22) Рнс. 73.
Для решения задачи применим метод сеток, выбрав в качестве узлов точки с координатами х =и+(~+ —,)в; Уг=с+(/+ — )1! (1= — 1,0, 1,2, .... л! .(= — 1, О, 1, 2...„иг; Л= —; 1= — ). и ' ю Но 1Р,в, т( ( 1. Следовательно, с возрастанием ! погрешность будет убывать. Из равенства (20) видно, что при вычислении ф„, значение ф, умножается на Р;,, т.
е. На величину, по модулю меньшую единицы, а это означает, что погрешность значения Я; пРи пеРеходе к Яг, т тоже не бУдет возРастать. ПРи обРатной прогонке погрешность прн вычислении и!т не может возрастать, так как каждое предыдущее значение умножается на Рг,,„, а ~1Р; т1< 1, если Р(х, г)=сопз1; ау(!)=сопз1; Ц(()=сонэ! (г'=О, 1), то Р;,„не зависят от иг и их следует вычислить только один раз. Это уменьшает объем вычьшлительной работы. Отметим, что мы специально записали уравнение (14) в общем виде, хотя в нашем случае А;М=С; = 1 и все соотношения имели бы более простой вид.
Мы это сделали, желая показать, как можно применять .метод прогонок для решения граничных задач для линейных разностных уравнений второго порядка, с которыми приходится встречаться во многих вопросах. 510 мвтоды гашения дие. гвлвнвний в члстных пвоизводных (гл. 10 Для внутренних узлов (1, !) запишем разностные уравнения и,„,, — 2и, +и;, ио +, — 2и! +и! ! л + л (1=0, 1,2, ..., и — 1; 1'=О, 1,2, ..., т — 1),(23у , 1 — ио! ио!+и, ! Л +по! 2 = Ноу (24,) и .+и .
0=0,1,2, ...,т — 1), ил) и«-1,1 иа 1,1+ иц! л ! 2 =Р«! (24г (24 ), и; 1 — и о, и, 1+и; (24э) 1 т ию 2 ~н' (1= О, 1, 2,..., и — 1), иг, т 1, т-1, 1, т + и1, т-1 (24,) Таким образом, мы получим систему !ии + 2(т+ и) уравнений с таким же количеством неизвестных и! . Используя граничные условия (241) — (2441, выразим ип н и,т чеРез иы, иг „,, БУдем иметь: 2 — Ы«о 2!рго — 10+ 2 1 ~~м 10+ а!о' (25,) 1 1««о +!«1о 2 — 1«1«1 2!ог игт = 2 1 — и1, т-1+ 2, !" = !ггтиь т-1+-л!т, (251) + «1«, + 1«гт где 2 — !«!о.
2 — 1«;«1 2!Р1« . 2!я,т го = 2+ !а!о гт 2+1«; ' го 2+ !а!о ' от 2+1« Используя эти соотношения, исключим в системе (23) неизвестные лг иь 1, игт. Если ввести обозначение Т = —. то получим систему и;ог, о — (2+ 2! !гг«Т) иго+ Тип+ и«-1,о =~го и1+ 1, 1+.
) и1, ! -1 — 2 (1 + Т) иц + '(и1, уь1.+ и1- 1, 1 = Р 1! (У = 1, 2, ..., т — 2), и;+1 т,+ ти1 т о — (2+2! — !11, т 1Т) и1,т-«+ и; =Р1 — (1 =О, (27) где г'ю=!1 ум Там' Р11=!гг/г! (!'=1, 2, ..., т — 2); г'«1«-1«й,!«,т-1 — Та;т. (28) аппроксимируюшие уравнение (21) с точностью О(!гг+!г), а граничные условия (22) аппроксимируем с той же точностью соотношениями: 511 2 61 метод пРОГОнки Решения кваевых задач Эту систему коротко можно записать в виде ОГ~, +А!о;+о! ~ — — К (1=0, 1, 2, ..., и — 1), (29) где о;=(им, ичн ..., и; 1); Газ=(Рм, Рп, ..., рп~,), — 2 (1+ т)+ам! о ...о о т — 2(1+т) т ...о о о — 2 (! + т) ... о о О О О ° ° ° т — 2(1+т)+ЛГмт (30) Граничные условия (24,) и (24а) можно переписать в виде 2 — Ьаоу 26~о~ и, д =-+ и,Г+ — + — „— )Г,~ие)+г,) (/=О, 1, 2, ..., т — 1), (31,) 2+ Лаа) 2И~ат иа, = „иа) — — „— — — Д„)и„у+г„.
(Г'=0„1, 2,..., и — 1), Ь1 2 — Ьаа) " 2 — Лаау (31а) где 2л)о) ой=2! Ла 2 — Лащ и 1= — — ' ау — 2+ Ла 1 Положив можно записать системы (31,) и (3!а) в таком виде: О-1 = Леев+ Уо оа ~ = )СОа + г, (34). Окончательно имеем следующую систему уравнений: О-! ='аооо+Уо. (35 ) ОГ,, = А!О;+ о;, + РГ (с' = О, 1, 2, ..., и — 1), (35,) о„, =- ГГо„4- г. (35з) Уо =(гоо гш ° го, м-~) о о ... о о дм о ... о о 2+ л а) 2л)а( аа 2 лая) ~ аа 2 — Ва (32).
Г=(г,в. г, ... га, 1), о о ... о о о о о ... о л„ „ , 512 мвтоды гашвния лиф. гглвниний в частных пгоизволных (гл. !О Эту систему будем решать методом прогонки. Прямую прогонку мы совершим, если найдем такие матрицы Хг и векторы уо чтобы при всех ( имело место равенство пг,=Х!и!+у~ (1=0, 1, 2...., и). (36) Для отыскания Х; и у; подставим о;, из (36) в (35,). Получим: о!„.,+(А!+Х;)о!+уз=Рг ((=О.
1, 2...,, и — 1) или о, = — '(А;+Х!) юге, +(А;+ Х;) (Р; — уг). Таким образом, Х, „, = — (Аг + Хг) уг„=(А, + Хг)- (Р,. — у!) = Х„, (у,. — Р!). (37) (38) Так как Хе и уе известны, то с помощью (371 и (38) мы сможем найти Х; и у! при всех (=1, 2, 3, ., и. Из (Збз) н (36) при (=и получим: ()с — Х„) о„= у„— г (3 9) О 0 0 0...0 т — 2(1+т) (40) и, слеловательно, сможем найти о„.
Далее, используя (36), последовательно находим о„н о„,...., ое, и н т. е., выполнив обратную прогонку с помощью (36), найдем все нужные значения иО (1=0, 1, 2, ..., и; 7'=О, 1, 2, ..., т). При этом способе вместо решения системы из ти+2(т+и) уравнений необходимо обратить и + 1 матриц порядка т, что значительно экономичнее с точки зрения объема вычислительной работы. Естественно оси целесообразно ориентировать так, чтобы было т ( и. Покажем, что погрешности в граничных значениях аег, а,р Ц, рмн не привелут к значительным погрешностям в значениях йЗ, йолучаемым этим методом, если только ае ) О.
Ограничимся случаем !ам=/г;„,=0 (1=0, 1, 2, ..., т — !), что равносильно тому, что на отрезках у=с, у=с( (а (х (Ь) заданы граничные условия первого рода: и )„, = и („л — О. Для того чтобы доказать это утверждение, покажем сначала, что )~Х;)(3 (! Если Й1е=й;м — — 0 (1=0, 1...,, т — 1), то — 2 (1+ т) 0 0...00 0 — 2(1+т) т 0...0 0 0 А1=А= о — 2 (1 + т) т ... О 0 0 $6) метод пгогонки гешения кглевых злдлч 513 Матрица А симметрична.
поэтому она имеет полную ортонормированную систему собственных векторов «о гв, ..., г,в, соответствующих собственным значениям Л,, Л,, ..., Л . Любой и-мерный вектор а можно представить в виде г = а,ав + вь ав + ... 1- а„, ам, ы Ад = ~а,Л;г! !! Ах!! = (А г, А г) = ~ Лва! ~~~ ш(п ! Лв 1в ~~~~ ав = в Кв, ".,вв 1-1 ' п3!П (Л 1в 11 я11 Ьв, ...,вв Таким обрааом, ~( А а)) в >~ ш(п ~ Л! ~ (( г((в, (41) Покажем, что ш!п(Лв/) 2, а для этого просто вычислим характеристический определитель матрицы А, т. е. в (л)= — 2(1+ т) — л т 0 0...00 0 — 2(1+т) — Л т О,. 0 О О 0 — 2(1+т) — лт...оо 0 0 0 О О...
О ! — 2(1+ т) — Л (42) Раскрывая его по элементам первой строки, имеем: В (Л)= — !2(1+))+Л)В,в,(Л) — (вВ в(Л). (43) Это соотношение можно рассматривать как линейное разностное уравнение второго порядка относительно В (Л). Его общее решение имеет вид в„(л) =с,„, +с„р,, (44) где !в, и !ьв — корни уравнения (в + 2 [! + т + 2 1 !в + Т = 0 т.
е. (45) 514 мвтоды гвшвния дне. гвзвнвний в частных пгоизводных [гл. 1О л Для сокрашения записи положим ! -1-«+- — =р. Тогда 2 р„1 ф/рз .(з р — р ')'рз «з Для отыскания С,, Сз заметим, что 1".),(Л) = — 2(1+ «) — ).= — 2р; -2(!+ «) — л Оз(Л)=~ 2(!+ ) л 
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
