Том 2 (1160084), страница 83
Текст из файла (страница 83)
-+ Ь О) = С (а О + ЬО) (С = А (1 + 2Айг+ Мй) ). Отсюда )тьо = )тле" оп+'> — )свел си+Я'> ( — С(ао -+ ВО) ( — Са, а о =ели (е > — е > >й+Я"-в >)) е > ел >и+е'-в > ) ея — 1. Если и„есть решение разностной схемы при [г"! < Сив и ((е' — 1) 6, то )сь(иь — ов) ) О в бь и и„— оь (О на Гь. Следовательно, и„— ов не может иметь положительного максимума в 0ь+Гь (см. з 2) и иь — ов (О. Аналогично получим неравенство ил+ой) О, т. е. !.[< О и [[ил[[, = шах[ил! (Ое" >в'+», ~ь о„ а зто означает, что однородная аадача 1(лил=о; иь! =О имеет гь только тривиальное решение. Следовательно, рассматривая разностную схему как систему линейных алгебраических уравнений с неизвестными значениями иь в узлах сетки, можно заключить, что ее определитель отличен от нуля, а позтому разностная схема имеет решение при всех у и р.
Так как опенка иь не зависит от Л, то 5 71 СХОДИМОСТЪ И Устойчивость РАЗНОСТНЫХ СХИМ 531 разностная схема корректна, если за (( !)о, (! (! взять макси- » А мумы абсолютных величин соответствуюших сеточных функций на соответствуюших множествах. Из теоремы сходимости корректной разнестной схемы будет следовать, что если граничная задача для нашего дифференциального уравнения имеет дважды непрерывно дифференцируемое решение, то и„равномерно сходится к этому решению при 1>-+О.
4. Некоторые приемы исследования устойчивости разностных схем. Исследование устойчивости с помощью принципа максимума. Если для разностной схемы (3) — (4) имеет место в какой- либо форме принцип максимума, то часто удается, используя его. доказать устойчивость по правой части и устойчивость по граничным условиям этой разностной схемы. Такой прием был использован в примере п.
3. где использовался принцип максимума в форме: если йьиь)~ О и г>ь(и») =О, то ир не может иметь положительного максимума ни внутри, ни на границе области. Исследование устойчивости с помощью индекса разностной схемы. Если разностная схема линейна и р граничных условий являются начальными условиями в том смысле, в котором они были определены в п. 2. то при любом Ф)~>7 — 1 значения и„на любом слое Я», можно выразить в виде линейной комбинации значений и„ в точках слоев 5», 5» >, ... и члена, зависяшвго только от правых частей 1» и (>>А разностной схемы (3) — (4). Максимум суммы абсолютных величин коэффициентов этой линейной комбинации по всем узлам сетки называют индексом / разностной схемы (3) — (4).
Если область 0 конечна, а й и 1 — соответственно шаги сетки по пространственным координатам х,, хг,..., х„и времени г„то если существует постоянная С) О, не зависящая от 1> и 1, такая, что 1( 1+С1, а нормы определены следующими равенствами: 'йи„'йв =шах!и»); Цйгь„(иа) !) = >пах (иь~, з» о >'"- "в-> то разностная аппроксимация (3) — (4) равномерно устойчива по начальным условиям. Это утверждение непосредственно следует из теоремы о равномерной устойчивости по начальным условиям, так как неравенства (16) и (17), фигурируюшие в условии втой теоремы, будут иметь место, если положить !)иь!)>»>= >пах )и»). »-вы "' Приведем пример применения этого способа исследования устойчивости.
332 методы вешания дне. зглвнаний в частных пгоизводных !гл. 1О Рассмотрим дифференциальное уравнение ди дэи — — — -=0 де дхй в области гг = (О ( Г ( Т; 0 ( х ( 1 ~ с граничными условиями и(х, 0)=е(х)! и(0. Г) =и(1, Г)=0, где ~р (0) = ~р ( ! ) = О. Эта задача аппроксимируется с помощью разностной схемы 1 1 — (иь,ч1 — ио) = ~ (и,, и,— 2иы+ и!-ь))1 и о = ~р()й); и,=и,,=О, где и„= ив(И, /1), а сетка состоис из точек х=гй, С=уу (=гй'(г=сопз1( — ); 1=1, 2.. „Ф; ФЬ=1„ 2)' 11 У=О. 1, 2,..., М; д4! (Т((М+ !)1). Так как и; гь1= ги;, г+ П вЂ” 2г) иО+ ги1+,г и(х, 0) =ср(х); ( — +аи) =0; ~ — +-Ьи) = О, Разностное уравнение оставим прежним, а граничные условия для раэностного уравнения запишем в виде а1 ! — иву ин — ин ь а+апач=О' е „ьг+Ьане=О иео = 9 ((Ь)! Тогда ие г„.,=га, 1,+(1 — 2г)иы+ги;„., ь 1 ио,г+1= аьеч.о — а! 1 н'~+ 1+а Ь ~ ье+' + е Таким образом, 1 1 и разностная схема будет устойчива, если 'только имеют место неравенства а (О; Ь)~ О.
Исследовании чстойчивости путем изучения роста единичной ошибки. Пусть снова разностная схема (3) — (4) линейна то 1= 1, и поэтому разностная схема устойчива. Для того же уравнения и при той же области 0 рассмотрим граничные условия й 71 сходимость и хстойчивость влзностных схем 533 и первые р граничных условий являются начальными. Если при вычислении решения разностного уравнения допущена ошибка, равная г, только в одном узле слоя 5», а во всех других узлах мы не делаем новых ошибок, то она вызовет ошибки в некоторых узлах слоев 5»ьы 5»ьг.
Если зти ошибки быстро растут с возрастанием номера слоя, то можно 'ожидать, что схема не будет устойчивой, а если же они не растут„то можно надеяться на устойчивость. Эго — метод исследования устойчивости с помощью г-схемы, о котором мы говорили в й 5. Эги соображения лежат в основе принципа устойчивости, применимого к исследованию многих явных разностных схем. Пусть область 0 конечна, а 1 — шаг сетки по 1, йо Ьг,..., йь— шаги сетки по х,, хг,..., х„, Если разностная схема лин йна и первые р граничных условий являются начальными условиями для разностного уравнения, имеющего вид — и„(н1, х,, х,, ..., х,)+лч.', =7, где и = а(1.
х,, хг,..., х„))~аь ) О, а через ~~~~ обозначена сумма членов, содержащих значения иь, в узлах слоев 5» „5»,, .. ..., 5», и о„есть решение однородного уравнения йьи» вЂ” — О. гг»(и») =О (1=р+ 1, р-+2,..., т), равное нулю во всех узлах слоев 5» ччм 5» чьг,..., 5», кроме какого-либо одного узла слоя 5», где о„=! и любое такое решение на любом слое 5д (К)~ к) удовлетворяет неравенству ~~'„! оь ( ( С (К вЂ” й)' ', вк где С не зависит от я, К, 1, йм 7гг,..., й„и от выбора точки, в которой о„=!, то разностнал схема (3) — (4) устойчива по правой части в норме ~~и»~(„=11ггпг й„Х~и»~; !!У~~в =1йгйг... »„~)У!.
л Для доказательства представляем 7" в виде суммы функций, каждая из которых отлична от нуля лишь в одном узле сетки. Тогда и» будет суммой решений. аналогичных о» и оцениваемых по неравенству (32). Исследование устойчивости методом разделения переменных. Этот метод исследования устойчивости мы уже применяли в $5. Здесь мы проиллюстрируем его еще на одном примере. Рассмотрим разностный метод решения задачи о колебании гибкой струны, закрепленной на концах х=О; х= 1, рассмотренный в примере п. 1 данного параграфа. Разностная схема и сетка те же.
что и в указанном примере. для исследования устойчивости рассмотрим однородное разностное уравнение с однородными граничными 534 методы ряшиния дие. грлвнений в частных производных (гл. 1О условиями, кроме начальных, т. е будем рассматривать схему ил(х, 1+1) — 2ил(х, с) + ив(х, 1 — !) 1сьиь = 1о иь(х+ и, 1) — 2ио (х, 1)+ из(х — и, 1) Ио О, гоь(иа)=ссь(11с, 0)=<ро(1И), гсл(ил)= — ' и1, (1И, 1) — и1, (1~ 0) = срс (1И), гоь (ив) = и„(0, /1) = О, гзв (и„) = иь (НИ.,11) = О и применим к ее решению метод разделения переменных, положив иь (ИИ, 11) = о (И) ш (у), Так как козффициенты уравнений не зависят от 1, можно взять тв(1) = Л". где Л вЂ” пока неизвестная величина. Подставляя иь — — Лъо(И) в разностное уравнение, получим: (Л.
' — 211+ Лр-') о (И) Л '! о (И+ 1) — 2о (И) + и (И вЂ” 1)1 1о Ио — 0 или о(И+1) — 2о(И)+о(И вЂ” !) = —,(Л вЂ” 2+ — ) о(И), Мы имеем линейное разностное уравнение с постоянными козффи- циентами. Для о(И) в силу граничных условий имеем: и (0) = о (М) = О.
Будем искать решение етого уравнения в виде о(И)=а", где ив искомая величина. Подстановка в уравнение после сокрашения на а"-о дает аа — 2а + ! = †, (Л вЂ” 2 + — )сс = ра (р = †„ (Л вЂ” 2+ †)), нли а' — (2+ р) а + ! = О, откуда 1 2+ р+ ТГро+ 4р 2 1 оо Обшее решение уравнения имеет вид о (И) = С,аз + Соа,,", где С,, Со — произвольные постоянные. Из граничных условий имеем: о(0)=С,+Со=О, т. е. Со —— — С,, о(И)=С (аи — аи)=0. т.
е. — '= )1 1 = е а) й 7! СХОДИМОСТЬ И Устойчивость РлдНОСТНЫХ СХЕМ 535 > и 1 а,= — =е л . Отсюда ая Лат Фт (ь) С я!п 1 или, так как а, = —, аа и любая функция ~р(Ф), определенная на множестве точек О, 1, 2,... ..., М, для которой р(0) =~(М)=0 представляется в виде линейной комбинации этих функций. Для р получим следуюшее равенство: тк та Р= а, +ая — 2 = 2соа — — 2 = — 4 Мпа —, А 2Ф' откуда ЛЯ вЂ” (2 — — „, я1п' — ~Л+1 = О. Следовательно, 1 . тв / . та >ак Г 111 )., = — = 1 — 2г я1п' — + ~7 4г'я(п' — — 4гя)пя — 1г = — ). 2)>> Я' 2Ф 2Ю ! Ла ) Для устойчивости разностной схемы нужно потребовать, чтобы все Л, были по модулю меньше или равны единице и среди ннх не должно быть кратных (рассуждения те же, что и в $ 5, так как любое решение иь представляется в виде линейной комбинации решений вида (Се+Сь)-1- ... +-С~ 17Р ')Л'о(71), которое соответствует корню характеристического уравнения Л кратности р).
Так как Л>Ля —— 1 и при всех т = 1, 2, ..., М вЂ” ! Л, + Ля, то это возможно лишь в том случае. если 4ге я)п — — 4г я!пе — ( О, 1 тк та 2Ф 2Ю т. е. при гя!па — (1 или г( (т=!, 2..... И вЂ” !). 2Ф та я>па— 2Ж Итак, устойчивость будет иметь место, если при всех т = 1, 2. ..., М вЂ” ! будет выполнено неравенство 1 1 о<~( я>п —, 2Ф или при — <1. Система функций от(й) (т =1, 2, ..., М вЂ” 1) ортогональна и полна, т. е. К-1 Х акт . а/гт> я!и — я1п — = 0 (ш Ф т1), Ф А> и-1 636 методы гешсния див. твлвнвний в честных пгоизводных !гл.
1О Из теоремы сходимости устойчивой разностной схемы будет следовать, что в нашем случае при — „(1 и й-+О последовательность иь будет сходйться к точному решению граничной задачи для дифференциального уравнения. Изложенные выше приемы исследования устойчивости разностных схем применимы в основком для разностных схем, аппроксимируюших дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Исследование устойчивости разностных схем для уравнений с переменными коэффициентами, как правило, — очень сложная задача. Если уравнение с непрерывными коэффициентами ') рассматривается в конечной области. то на практике применяют следуюший принцип: Заменяем в уравнении все переменные коэффициенты постоянными, полагая их равными значениям переменных коэффициентов в какой-либо точке Р области.
Если при любом выборе точки Р полученная разностная схема с постоянными коэффициентами будет устойчива, то устойчива и разностная схема с переменными коэффициентами. В случае нелинейного дифференциального уравнения задача исследования устойчивости разностной схемы еще больше усложняется. В этом случае исследуют устойчивость в окрестности искомого решения для линеаризованного уравнения. 6.
Некоторые общие замечания. При численном решении краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных методом сеток могут быть использованы только сходящиеся разностные схемы, так как только в этом случае можно рассчитывать на получение приближенного решения, достаточно близкого к точному решению задачц. Но и сходящиеся разностные схемы не всегда могут быть использованы при практическом решении задачи, так как при применении метода сеток при вычислении значений граничных функций и правой части неизбежно возникают погрешности, и чтобы эти погрешности не исказили истинного решения разностной схемы, последняя должна быть устойчивой по граничным условиям и по правой части.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
