Том 2 (1160084), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Таким образом, Ф+ Ла — ]/1=е "+' (е=О, 1, 2, ..., и) или так как Л,Ля=1, то 1 аИ Л = — =е "+'. Далее, 2 ]12 — 5втдв] ее = Л, + Л, = 2 соз !2+Ътдв ' и+1 откуда 24 з!пв 24 а!пз в 2(и-(- 1) 2! Да[5+ соз — 1 Лз(5+ соз Уе Уа) ) и+ 1! (в=1, 2,..., и), (37) ( к~вВ ыва т ( †' 1 чеа кеха т,(тг) =С, ~е"+' — е "+')=Сз1п — =Се]ив и+1 (а =1, 2, ..., и) (38) (при е=О получаем тривиальное решение те(й)= — 0).
650 методы ввшвния див. гвлвнвний в члстных пвоизводных ]гл. 10 бб2 методы гвшвния дие. эаавнвний в частных пгоизводных (гл. 10 некоторых требований на гладкость функций оь, рт, фо ух и условий сопряжения, Остановимся теперь на решении методом прямых задачи о колебаниях неоднородной струны д"и д е дит р(х) — = — (о(х) — 1 — 0(х) и+ 7(х, Е); дгт дх 1 дх) р(х)~~р „>О, о(х))~о „>О, 0 <х <Е, 0<Е < Т, (42) и(0, Е)=ф,(Е), и(Е, Е)= ',(Е), 0 <Е <Т, (43) и(х, 0)=Р,(х), ие(х, 0) =<Ра(х), 0 < х < Е. (44) Приближенные значения решения этой задачи на прямых х = ха = ИИ, И=О, 1,..., и-4-1; (и+1)И=(, можно получить, как решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами аа (иа, (Е) — и, (Е)1 — а,,1и (Е) — и,, (Е)1 даик(Е) +Та(Е) (45) ра = р(ха), оа — — о(ха), еуа= е)(ха), Еа(Е) = Е'(хы Е), .,<о~=к1 О.;Я>=т,1 О.
~ ио (Е) т1 (Е)' и~э! (Е) 1х (Е) (4б') Может быть предложен следуюший способ доказательства сходимости и оценки погрешности метода '). Положим Та(Е)=и(ха, Е) — иа(Е), Для Та(Е) получаем, применяя разложения по формуле Тейлора, систему ; [Та+, — т,) — о,, П, — 1,,1 +и — Й (Е), (46) РаТа — их ")аТа 2 а То(Е) =Т,(Е) =О, Та(0) =Та(0) =0 (И=О 1 2 и+1) (47) причем М, М,, Мгч М„, М„. ̄— максимумы модулей величин, обозначенных в индексе, при 0 < х <Е, 0 < Е < Т. Положим я я а 7(Е) =,'5', РИТ'„'+ ~~~ а("а"'и 'а) +,'~' 7аТа (49) а-о г) Б.
М. Будак, О методе прямых аля некоторых краевых задач, Вестьик МГУ, ЕИ 1, 1956, стр. 3-11. где ~йа(Е)! <М=М, М„+М. М„+ — М,М„, (48) 8) метод прямых Решений ГРАничных ЯАЕАЧ для ДНФ. УРАВнений 553 Б силу (46), (47), (48) и неравенства Коши — Буняковского, диф- ференцируя (49), получаем'. чь' с ьч (та+ — та) (тк — тк) ! = 2,Д~ Тк(РВТк+г)ВТВ)+2 .~ аа К-1 2 ~ 'а(ТВ+! Та) 'а-1(Та Та- ) — Тк+ К-1 к о (Т.+ — Т ПТ + — «') С +2~ аа +,к',я Тк ~а а-о о / а / акта (таа! — Та) — а1, тк (Тк — тк ) =-2 ~) Ио о а ВТВФ1(Та+1 Тк) — 'ата (Таа! Та) Ио а-о +,5, Т,'йа = — „, ( .Т.'„[Т.„— Т.1 — аоТДТ! — То]$+- В-1 и о ю ,Г о +~ТАЛИИ='))',;,ЯВИ( ~~,ТВР)/ ~Й~,И~« В-1 й ! й 1 й 1 ( )/У ~и~ )11,',Ий ~(2 рl/, — ° (50) рр и р~п!и В- 1 Так как Х (0) = О, то, следовательно.
l(!) ( И. 4р; Далее, вследствие То(!) =Т„Ф1(Р) =0 будет т„— т„, д, т,„— т„, =ХИ, =- Х'- Следовательно, в силу неравенства Коши — Буняковского юй1 Тк<ИИ1 ~~,(" " -'); Т'<(в+! — И)да,т', ~'" И™-'), 554 методы решения дне. трлвнений в частных производных (гл. 10 откуда иьг Л(и+1 — Л) жз Г т — т 'Р х (1 — ха) ~Я та г Сопоставляя (50) и (51), получим оценку 2 У р„ач ашч (52) Здесь константа М выражается через константы М„..., М„ "хии В цитированной на стр. 551 заметке дается также выражение М через коэффициенты уравнения, свободный член Г" (х, Г) и начальные и граничные функции ун ~рз, фм фз. 4, Метод прямых решения смешанной задачи для уравнения теплопроводности. Рассмотрим сначала метод прямых решений смешанной задачи для простейшего уравнения теплопроводности ди дти — — — = 1(х, 1), др дхз (53) «)с о — 9(х) (0~(х(1); и(0, Г)=ф,(1); ) и(1, Ю) =фа(С) (О (1 ( со), (54) х=ха=ЛЛ (Л=О, 1, 2, ..., и+1; Л= ), л-1-1 используя приближенное равенство дзи ~ и (х,, Г) — 2и (хм Г) -1- и (х,, Г) дха ~ Ла даи или равенство (1О') с заменой в нем производных —, из диффедхз ' ренциального уравнения получим две системы уравнений метода прямых: I 1 ив (Г) — †„, !и„ , (1) — 2(1„ (Г) + иа , (1)) = У, (1) (Л = 1, 2...., и), и,(1) =),(г), и„„(1) =,Р,(1) (55) заменяя разностным отношением производную по х.
При наборе прямых ф 8! метод пгямых гашения гганичных задач для дне. гглвнений 555 5 1 з — и» (Е) + — [и„, (Е) + иа, (Е)!— 6 12 — и, (Уа г,(Е) — 2Уа(Е)+(еа- (Е)! = 5 1 6 уа 12 ~а '( )+ уз"'( )! и,(1) =(,(Е), и„„(Е) =4,(Е), (56) из которых первая дает аппроксимацию уравнения с точностью Из а вторая с точностью Из. Из начального условия для и(х, 1) получаем начальные условия для (еа(Е), одинаковые в обоих случаях: Уа(0)=р(ха)=ра (и=1, 2...,, и), (57) Построение общих решений однородных систем уравнений, соответствующих системам (55) и (56), проводится точно так же, как и в случае уравнения колебания струны, так как.
отыскивая частные решения однородных систем вида гЕ»(Е) = ((и) о(Е) мы получим для у(И) в точности те же самые разностные уравнения, что и в п. 3, с граничными условиями ((0)=((и.+1)=0, а для отыскания о(Е) получим уравнение е' (Е) а (Е ез' (58) т. е. зе оз (Е) — Сзе (59) Следовательно, общее решение однородной системы, соответствующей системе (55), будет иметь вид з з еЗХа , Е Ц(1)= ~) С,сйп е ' (И=1, 2, ..., и), (60) 1 где 4 з!пз — з е = з (3=1, 2, ..., и), 21 (61) з г а общее решение однородной системы, соответствующей системе (56), имеет вид з /В ззха -з з (1 (Е) — ~~ !) з(п е ' (И 1 2,. и), (62) 556 методы гашения дие.
гвлвнвний в частных пгоизводных [гл. 10 где 24 !па — а (а=1, 2, ..., и). (63! Ла [5+ сов — в~ т ! т ~,1'г(хЖ<С, ~ ( — ) г(х <С, / / ( — ) дхдГ<С, о о -в=о о о где С вЂ” некоторая положительная константа. Рассмотрим теперь применение метода прямых с заменой произволных по х разностными отношениями к уравнению теплопроводности с переменными коэффициентами. Приближенные значения решения краевой задачи р (х) — = — [а (х) — ) — г) (х) и + 7 (х, 1); ди д / дит дГ дх 1 дх) (64) р) р »О, а) а )0 (О <х <1. 0<1<7), и(О, г) =ф (г), и(1, г) =ф (г) (О <! < 7), (65) и(х, 0)а р(х) (О 'х<Е) (66) на прямых х=хь=дд, (и-[-1)д=( (А=О, 1, ..., и-4-1) можно получить, решая систему обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами: аа [и, ,(г) — и,(г)[ — а, [и, (г) — ив , (г)[ рви'„(г)— ОвиаЯ+Ув(1) (67) (68) (69) р„=р(х„).
ав=а(хв). гул=о(х„), уа(г)=7(х», 1) и„(0)=о7(ха), ио(!)=4,(1), и„,,(Г)=(в(1). Далее, пРи заданных 7, ф,, фв находЯтсЯ, напРимеР, методом ваРиации постоянных общие решения систем (55) и (56), а неизвестные постоянные Св(ь),) находятся из начальных условий (57). В книге А. Н. Тихонова и А. А.
Самарского «Уравнения математической физики» !953 г. скодимость решения задачи (55), (57) к решению задачи (53), (54) и оценка погрешности при соответствующей гладкости свободного члена 7(х, 1), начальной и граничных функций доказывается с помощью принципа максимума лля решения системы (55), (57). В цитированной на стр. 550 заметке сходимость решений задач (55), (57) и (56), (57) к решению задачи (53), (54) в любом прямоугольнике 0 < х <1; 0 <! < Т доказана на основе применения теорем вложения при условии, что начальные и граничные условия нулевые, а правая часть 7(х, 1) удовлетворяет условиям ф 8) метод пРямых Решения РРАничных ЯАдАч для диф.
РРАвпений 557 В цитированной на стр. 551 статье предложен следующий способ доказательства сходимости и оценки погрешности метода. Положим 7а(Р) = и(хс,. Ф) — иа (Р), где и(ха, Г) — значение точного решения задачи (64) — (бб) на прямой х= ха =ли. Для величин 7а(Р) полУчаем системУ а [т, — т[ — а [т — 1 [ 7н(Г) 7чч.!(Р) 0 Та(0) =0 Й =0 1, 2, ..., 11+1), [Да[<М=М;М„+М;М„,+ — , 'М,М„ (70) (? 1) (72) где константы М„ ..., М„ определяются как в предыдущем параграфе. Рассмотрим величину и с ч Ж) =2,~~а ~ Рата с(Р+ Х аа( ~'а ) + ~~~а с)ата,. (73) а-о а-1 н В силу неравенства Коши — Буняковского и (73') имеем: с з с С п 2 '.<(С и~ с) < 1 (~ ) с'-!о/ (~!~о) с!< сг ч с и о а! ас н а-! Следовательно 7.(Р) ( л.
2Р„,!и Для величины 7а имеет место неравенство уа ( сс 7„(Р). х: (1 — х,) получающееся аналогично неравенству (51). Из (51*) и (74) выт:- кает оценка [7а(Р)[~()с (а=О, 1, ..., и-[-1; О (Р (Т). (75) М [ х а ( ! ха ) с Рпяп пс!и (51*) Дифференцируя (73), мы, в силу (70), (71), (72) и неравенства Коши— Буняковского, аналогично тому, как зто сделано в соотношений (50), получим: ,Рс = )с с~~аа 7асза' (73') а- 558 мвтоды гвшвния дне. гвлвнвний в частных пгоизводных !гл. 1О Все это делается совершенно аналогично тому, как в предыдущем параграфе при оценке 7(с) и Та(().
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
