Том 2 (1160084), страница 90
Текст из файла (страница 90)
(51) в г Так как р) О, д)~0, е ~0 и афО, то (ьи, и)~0 и равенство ди ди нулю возможно лишь при — = — =О, т. е. при и=С=сопз1. д» ду Но если ().и, и)=0, то и ~ реиайз=Се~ рейз=О, а это ознаг г Рассмотрим гильбертово пространство (.а(6) действительных функций, интегрируемых с квадратом в области 6. в котором скалярное произведение определено равенством М. ф)=~~ уфдхду. в В этом пространстве выделим три множества функций М, М, и Мз, элементами которых являются дважды непрерывно дифференцируемые функции в 6+1'. удовлетворяющие соответственно краевым условиям (45), (46) или (47). Покажем, что оператор ьи положителен на множествах М и М„ а также и на множестве М, если в последнем случае д(х, у) фО, чает, что С= О и и= — О, а следовательно, 7.и — положительный оператор на М,.
Если и~ Ма и дфО, то (Би, )=~ Д~рЯд — ) +(,— ") ~+ди'~дхдУ> О. (и) Г г/ди 1э гди1зт Равенство нулю возможно лишь при ~ ) р~( — ) +( — ))г(хсгу н .) Йд~) (ду) ) ) диас(хггу=О. Из первого следует, что и =С=сопзй а из втоо рого, так как д фО, следует, что и= — О, т. е. и на Ма оператор 7.и положителен, если дф О. Если д(х, у)= — О, то ).и не будет положительным оператором нз М„. так как для любой функции и, тождественно разной в О.+Г любой постоянной С, имеем (7.и, и)=О, а ифО. Но в этом случае решение краевой задачи (44), (4?) существует не прн всех 7; Рассмотрим условия, при которых задача имеет решение.
Пусть функция и удовлетворяет уравнению (44) с д = — О и краевому условию (47). Проинтегрируем по области 0 тождество А(рй)+Д(рф) =-~ (53) Будем иметь: (р<~ )+д — (рд — ))ихиу= — / ~ )г7хиу. Но ~ ~ ~ — (р — )+ — (р — ))'йхггу= — / р — г(з = О, о г ди ~ так как — =О. Таким образом, функция г лолжна удовлетворять "г условию ) ),г" дх г(у = О, о (54) Выделим из 7ч(0) функции, удовлетворяющие этому условию.
Их совокупность образует в Ла(0) линейное множество Ц(0), Для Ц(0) сохраним то же скалярное произведение, что и в ьа(0). Полученное гильбертово пространство примем за основное. В нем выделим множество Ма дважды непрерывно дифференцируемых в О+Г функций, удовлетворяющих на Г условию (47). На этом множестве (.и будет уже положительным оператором. Действительно, при и ~ Ма 576 методы гашения дне. авлвнзний з частных пгоизводных (гл.
1О $9) влвилционныв методы вешания квлввых задач 577 из (52) имеем: (7-и, и) = ~ ~ Р ( (д— ) .+ (д — ) ~ с(х г(У > О. ди ди Если (7.и, и) = О, то д — — — д — — О и и = С = сопзц Но так как и ~ Мр, дх ду то хду=С ~~ахну =О, у(и) = ~ ~ ) р ф)'+( — ')'~+ ди' — 2)и ~ г(хг(у (55) о на множестве М, решение задачи (44) — (46) является решением задачи о минимуме функционала У(и) = ~ / (Р ~(~ ) +(у) ~+г)й — 27и)дхйу+ / Реиадз (56) * г на линейном множестве М„ решение задачи (44) — (47) является решением задачи о минимуме функционала (55) на линейном множестве Мр, если д(х, у) ф О, и решением задачи о минимуме функционала „1,) '(Р '((д ) +(д ) ~ — 27и(ихиу (55') на линейном множестве Мр функций. удовлетворяющих условию (47) н условию ~ и дх г(у = О, (57) при этом функция 7' должна удовлетворять условию (54). откуда С = О и и (х, у) = О, что и доказывает положительность оператора 7.и на Мр.
Заметим, что в Мр уравнение (44) имеет единственное решение, чего нет в Мр, так как в Мр при д= — О решение определяется с точностью до постоянного слагаемого. На основании общей теории п. 1, если краевые задачи (44) — (45), (44) — (46), (44) — (47) имеют решения. что мы всегда будем предполагать, то они будут также и решениями следующих вариационных задач: Решение задачи (44) — (45) является решением задачи о минимуме функционала Если д(х, у) ыуэ ) О, то си — положительно определенный оператор на Ме, так как по (52) в этом случае (Ли, и) = / Др ~( — ) +< — ) ~+ уиа)(г[хг(у,д. о > Н~~ и' (х ру= уз[[и[р, 'о откуда и следует утверждение.
Если д(х, у) — = О, то си — положительно определенный оператора на Мз. В этом случае lр ~(д ~ +(ду) 1 у рз,l Д(дх) +(д )) с(~с(у и так как ~ ~ идхду=О, то из неравенства Пуанкаре следует: в ('-" ")~ В 3'3н*"'у= й [['[['='[[ "[[' где Кх= з ) О, что и показывает положительную определенность У.и на Мз. Итак, сходимость метода Ритца будет иметь место при тех ограничениях, при которых мы показали положительную определенность оператора Ла.
Для построения минимизирующей последовательности по методу Ритца выбираем последовательность координатных функций р,(х, у), р,(х, у), ..., р„(х, у), удовлетворяющих следующим условиям: 1) р,(х, у) дважды непрерывно дифференцируемы в О+У; 2) р;(х, у) удовлетворяют заданным краевым условиям; 3) любое конечное число этих функций линейно независимо; 4) для любого з ) 0 и любой функции и, принадлежащей к множеству допустимых функций рассматриваемой вариационной задачи, найдутся такое целое число п и такие числа ан аа, ..., а„, ч~о < и — У„агрг и — ~~ агр, ( е. (64) з-1 / 11 Для выполнения последнего условия достаточно потребовать. чтобы для и ~ Ц (О) и любого е ) 0 нашлись такие бм Ьа, ..., Ь , что /)'[ — ~ь+*и~ < . О [.
1-1 (64') 580 мвтоды вешания дие. хвлвнвний в частных пвоизводных [гл. 10 5 9] влгилционныв методы вешания кглввых злдлч 681 В случае краевой задачи (44) — (47) от координатных функций ел можно не требовать выполнения краевых условий. Члены минимизирующей последовательности имеют вид и„(х, у) = ~ аге; (х, у), (66) где числовые коэффициенты аг суть решение системы ~ Ая,ал = В; (1 = 1, 2, ..., а), (66) л-1 а Ац, и Вг выражаются через коэффициенты уравнения (44) и коор динатные функции следующим образом: Ага= 7' Д79л — д— (Р д ) — д (Р д )(тгс(хау В, = ~ ~у4, дх ду.
о (67) Все утверждения этого пункта распространяются и на случай любого числа независимых переменных, т. е. на краевые задачи для уравнения ~и = — ~~~д — ,та Ру ,— +- 7 =7, (44') з -1 л-1 где Р — непрерывно дифференцируемые функции переменных х„ х,, ..., хч, в конечной области О с гладкой границей Г, удовлетворяющие условию, что в любой точке О +Г квадратичная форма Х РзьЧ д л-1 (46') с ди т, р .~ *,>~-.,] =о. дхл х л-1 г (46') где е — неотРицательнаЯ непРеРывнаЯ на Г фУнкциЯ и е ад О; л'а ' д ди Р — соз (ахг) = О. дхг !г па 1 (47') положительно определенна, д и 7 — непрерывные функции в О+Г, причем д)~ О, с граничными условиями одного из следующих видов: ) =О, 582 мзтоды ввшвния див. твлвнвннй в частных пгоизводных [гл.
10 3. Некоторые другие вариациоиные методы. Кроме метода Риз ца существует ряд других приближенных методов решения вариационных задач, соответствующих краевым задачам. Не оста- нзвливаясь на них подробно, кратко изложим сущность некоторых мз них на примере задачи Дирихле для уравнения (44). Метод Л. В. Канторовича.
Для простоты предположим, чго область сг, в которой ищется решение уравнения (44) с крае- выми условиями (46), ограничена прямыми х=а, х=б и двумя кривыми у=у,(х), у=у,(х) (а (х( Ь; уз(х)) у,(х)). Как азы видели, решение задачи сводится к решениЮ задачи о минимуме функционала .7(и) =((и, и) — 2(и, 7) = ~ Яр ~(~и) ' ~ии) +г7иа — 2и~)(г7хг(у на множестве й4 дважды непрерывно дифференцируемых функций, обращающихся в нуль на границе. В методе Канторовича прибли- женное решение и„(х, у) ищется в виде ч и„(х, у) = ~~~~ уь (х) рз (х, у), ь-~ где уь(х, У) — заданные дважды непРеРывно диффеРенциРУемые функции, обращающиеся в нуль на границе Г, за исключением, быть может, прямых х=а; х=б, а /ь(х) — неизвестные функции.
11одставляя и„(х, у) в l(и) и выполняя интегрирование по пере- менному у, получим: ь л(и„) = ~ Ф(х, 7',(х), 7„(х), ..., ~„(х); 7',(х), /,'(х), ..., у„'(х)]агх, а (69) где Ф вЂ” известная функция своих аргументов. Для отыскания уь(х) имеем варнационную задачу о миийыуме однократного интеграла. Выписывая систему уравнений Эйлера и дФ дФ вЂ” —,— — =0 — (7з= 1, 2, ..., и) (70) йх сзУь дуь н присоединяя краевые условия уь(а) =уь(Ь)=0 (а=1, 2, ..., и), (7! ) получим краевуЮ задачу для системы линейных дифференциальных уравнений второго порядка, решая которую, найдем уь (х) ((з = 1, 2, ..., и), а следовательно и и„(х, у).
Можно показзть, что в нашем случае система имеет вид в,(и) / Е(и„)уьа~у=О (й=1, 2, ..., и). (70') ю (и) % 9) ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЪ| РЕШЕННЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 583 В качестве функций 1ул можно брать, например, функции йа(х, у) =(у — у,(х))(у,(х) — у)у" — ', (72) или ча (у — у1(Х) ) 91 (Х, у) = 5(п (75) При некоторых ограничениях на гладкость решения можно показать, что последовательность (и„), в которой рл имеют вид (72) нли (73), равномерно сходится к решению краевой задачи (см. Л. В, Канторович и В. И. Крылов, Приближенные методы высшего анализа, гл. 4, ГИТТЛ, 1952).
Метод Ку ранта. Если в уравнении (44) правая часть имеет непрерывные производные до некоторого порядка т, Курант предложил вместо функционала l(и) рассматривать функционал ) [~' ~~в Л] Г ГГ О (,-1-,=0.1.2..... )Р51 дх" ду'* Это позволяет получить дополнительные заключения о характере сходимости и„к и. Например, если решается задача Дирихле для уравнения Пуассона (р= — 1; 7= — О) и т=О, то у,(~)= ~ Š— ") +( — ") — 2пу+(Ли+7)'~17.хау. (74') Построим минимизирующую последовательность (и„); будем иметь: / (Ьи„+ 7)а 1(х с(у — Р О. (75') По формуле Грина и„(х, у) — а(х, у)=~ /Г(х, у; с, ъ))(йи„+Я(1, а%5(т).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
