Том 2 (1160084), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Таким требованием будет положительная определенность оператора А. Оператор А называют положительно определенным, если существует такая положительная постоянная Ка, что для любого элемента у~Нл имеет место неравенство (Ау, у)> КЧЬР (5) Заметим, что положительно определенный оператор является и положительным оператором, Теорема. Если А положительно определенный оператор, то любая минимизирующая последовательность 1г„) (г„~ Нл) функционала (2) сходится к решению г вариационной задачи, т. е. !нп //г„— г)) = О.
(6) В самом деле, если г — решение вариационной задачи, то Ах=у и У()=(А, ) — (, Л вЂ” (7,.)= = (Аг, г) — (г, Аг) — (Аг, г) = — (г, Аг) = р. Далее, у(г„) — Р=(Аг„, г„) — (г„, 7) — (у, г„)+(г, Аг) = "1 =(Аг„, г„) — (г„, Аг) — (Аг, г„).+(г, Аг) = =(А(г„— г), г„) — (г„— г, Аг) =(А(г„— г), г„) — (А(г„— г),г) = = (А(г„— г), г„— г) )~ КЦг„— г'яь. Так как У(г„)-+р, то 11г„— гйа-+О, что и доказывает наше утверждение, Таким образом, если А — положительно определенный оператор. то за приближенное решение уравнения (1) можно принять элемент г„ любой минимизирующей последовательности при достаточно большом п. Один из способов построения минимизирующей последовательности предложил Ритц.
Метод Ритца заключается в следующем. В Нл выбирается последовательность элементов х,, х,...., х„, .... обладающая следующими свойствами: 1) любое конечное число членов этой последовательности линейно независимо; 2) для любого е) О и любого элемента у ~ Нл найдется такое т и такие числа а,, ая, ..., а,„, что имеет место неравенство (7) 864 методы гашения див. явлвнвний в частных пгоизводных (гл.
10 При фиксированном целом и строится линейная комбинация .=Хъ,, а ! с произвольными численными коэффициентами аа (будем предполагать, что Н вЂ действительн гильбертово пространство и аа — действительные числа). Функционал l(и„) будет функцией а,, а,, ..., а„: 3(и„) = ~~Р~ а ав(Ах~, хр,) — 2 ~~~~ а1(У, х!).
да=! ! Постоянные а,, аз, ..., а„выбираются так, чтобы 1(и ) принимал наименьшее значение на совокупности всевозможных линейных комбинаций (8). Для этих значений =0 (г'=1, 2, ..., и), (10) (8) (9) т. е. ~~.'„ав(Ахю хй)=(У, ху) () =1, 2... „и). (11) з 1 Таким образом, для отыскания ав получается симметричная система линейных алгебраических уравнений. Определитель этой системы отличен от нуля, так как если на Нл ввести скалярное произведение (12) которого 2 ' (13) В силч свойства 2) последовательности х,, хз...., х„....
найдутся такое целое число т и такие числа и,, л'...,, аж, ч ! о пРи заданном т1 ) 0 !в и ож = ~ агх; имеет место неравенство (А (о — о,„), о — ож) ( ч. Но .У(о) — /(о,„) =(Ао, о) — (Ао,ч, оч,) — '2(!'. о)+2(!'. ож) = = (Ао, о) — (Ао, ож) + 2 (Аз, о,„— о) = = — (А(о — о), о — о)+2(А(о — о ), о)+2(Аг, о — о) = = — (о — о, о — о)+2(о — ож, о)+2[я, о„,— о). (х, у) =(Ах, у), что возможно, так как А — симметричный и положительно опреде- ленный оператор, то определитель системы есть определитель Грама системы линейно независимых элементов х,, х,, ..., х„, Поэтому система (11) имеет единственное решение. Обозначим через г„ли- нейную комбинацию вида (8), где в качестве коэффициентов взято решение системы (11).
Последовательность (х„) будет являться, минимизирующей последовательностью. В самом деле, пусть задано О. Так как р = 1п1 1(у), то найдется элемент о~ Нл, для ойил э 9! ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 565 (Здесь [ ] означает скалярное произведение, определенное равенством (12).) Применяя неравенство Буняковского, будем иметь: [[ — ., ][< [/[ — ., — .и., ! = = $г (А (о — и ), Π— о,„) !/(Ао, о) < !I т] !I (Ао, о), [ [г о — о][ < )/ [г г! [о — о о — о! < У '4 3' (Аг г) .
Отсюда ] /(о) —./(о,„) [ () (А(о — О), о — о) [+2[[о — ОРР о] [+ + 2 [ [г, о — о] ] < т] + 2 )/4 [)/ (Ао, о) + '[/ (Аг, г) 1. Так как (Ао, о), (Аг, г) — фиксированные числа, то т] можно выбрать так, что будет иметь место неравенство 'А)[ 2 (! 4) т. е. [г„] — минимизирующая последовательность. Заметим, что если вместо системы элементов х,, х,, ..., хгн ..., которые мы будем называть координатными, взять новую последовательность координатных элементов у,, у, ..., у„, ..., связанную с х,, х,, ..., х„, ... соотношениями » У» — — ~л~~ Р»/х/ (Р»» чь О), (15) 1 то минимизирующие последовательности, построенные по методу Ритца, испольаующие (х„] и [у„], дадут один и тот же результат. Процессом ортогонализации можно построить такую последовательность [у„], что у» будет выражаться через х,, ха...
„х» с помощью равенств (15), а (О (/г чь/), (Ау» У~) = [У». Уг] =~ (16) В этом случае система, аналогичная системе (11), примет вид а/=(/, у/) (~=1, 2, ..., и) и г„~~~, а/у/ — У, (/, у/)у/, /-1 1 (17) (18) Из (13) и (14) следует, что р, <l(о,„) < а+у,, но тогда заведомо [А <./(г,„) < р+е и при всех и) я» имеем (А <у(г„) < е+]А, а это и означает, что Пш у(г„) = р., 566 методы гашения дне. твлвнвний в частных пзоизводных (гл. 10 т. е. получим неравенство (7).
Если имеется способ отыскания чисел 3, меньших р, но сколь угодно близких к р, то можно получить оценку точности приближения х„к решению г уравнения (1). Для этого воспользуемся уже ранее использованным неравенством )(х ) ) )(азл хзг из которого следует, что 11 11<тУ~ТЙ ~ <тгн 1 1 (20) что и позволяет оценить точность приближения л„ через l(г„). Рассмотрим теперь аадачу отыскания собственных значений оператора А, т. е.
таких значений Л, для которых уравнение Ау — Лу=О (21) имеет нетривиальные решения. Последние называются собственными элементами оператора А, соответствующими собственному значению Л. На оператор А наложим следующие ограничения. Будем предполагать, что оператор А симметричен и ограничен снизу. Заметим также, что вместо свойства 2) системы координатных функций (х;) достаточно требовать полноту системы (Ах;) в Н, т.
е. потребовать от 1х;), чтобы при любом у~Н и е) 0 существовали такие и и а,, аа, ..., а„, что у — ~~'.~ а) Ах) ( з, так как из этого свойства следует свойство 2). В самом деле, пусть у~Нл и е)0 — заданное число, а о=Ау. Тогда по свойству (Ах)) можно найти такое и и такие а), что у о — ~~~„а Ах) ('у' з К. ! Далее, используя неравенство (5), имеем: (А(у — и„), у — и„) (!1А(у — п„)(~ (~у — п,Д( 1 <~" — ~ ~~ч~тгио — ~ у — )< 1 Отсюда, сокращая на р~(А(у — и„), у — о„) и возводя обе части в квадрат, получим: (А(у — пн), у — и„) (з, ф 9) влвилционныя методы овшвния кзьявых задач 567 Оператор А называют ограниченным снизу, если существует такое число >д>', что для любого У~Нл имеет место неравенство (Ау, у).ь Н!!УГ (22) Теорема.
Для симметричного оператора А все собственные значения действительны, а собственные элементы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. Действительно, если )о в собственное значение оператора А, а уо — соответствующий ему собственный элемент, то Ауо — )ч>уо = О (23) Умножая обе части скалярно справа на уо, получим: (4уо Уо) — ~о(уо Уо)=О откуда (Ауь уо) (24) (Уо Уо) а так как числитель и знаменатель — действительные числа, то)о— действительное число. Пусть теперь ),д и )ч — различные собственные значения оператора А, а зд и зг — соответствующие им собственные элементы.
Тогда Агд — )'дед = О; Агг )глг = О Умножим первое из них скалярно справа на ег, а второе скалярно слева на зд и вычтем почленно. Получим: (Ады ег) — (яы Агг) — ()ч — Хд)(ео зг) =О. В силу симметричности оператора А имеем (Агд, гд) =(ео Агг), т. е. (Х, — )я) (ео гг) = О, и так как )ч Ф )г, то (яо гЫ=О. Задача отыскания собственных значений оператора может быть сведена к вариационной задаче. Т е о р е м а, Если А — ограниченный снизу симметричный опе- ратор. а )ч — нижняя грань значений функционала у(у) = — '".
(Ау, у) (у. у) (25) а яд — элемент, для которого /(гд) =).„то )ч есть наименьшее собственное значение оператора А, а гд — соотве>пствующий ему собственный элемент, В самом деле, пусть д) — произвольный элемент из Нл, а г— произвольное действительное число. Обозначим через ц>(() функцию (А(ед+гч), ед+гч) гд(Ач, ч)+2>ке((Аед, ч))-(-(Ае>, е,) (ед+г>Ь ед+>Ч) гоби ч)+2> йе((ед, Ч))+(е>. гд 668 методы вешания дне. хвавнвний в частных пгоизводных [гл. 10 По условию она достигает минимума при С = О, но 2йе((Агь я)) (гь гд — 2йе ((гь и)) (Агь гг) (гь гч)а Отсюда (г,. г,)Ке((Аго т)Ц вЂ” Ке ((го т))) (Аг,, г,) =О, а так как У(г,) =Л,, то (Аг,, г,) =Л,(г,, г,) и Ке ((А»о а)) — Л, Ке((гп и)) =Ке((Аг, — Л,го 'е)) =О.
Заменяя а на 1ч), получим: !ш((Аг,— Л,г,, т1)) =О, (Аг,— Л,г,, ))=О. т. е. Но и — произвольный элемент из Нл, а Нл всюду плотно в Н, т. е. Аг, — Л,г,=О, и утверждение будет доказано, если мы покажем, что Л, — наименьшее собственное значение. Пусть Л' — любое другое собственное значение оператора А, а г' — его собственный элемент. Тогда Аг' — Л'г' =0 и (Аг', г') — Л'(г', г') = О. Отсюда Л'= (Аг' г') > 1„1 (Ау») =Л. (г', г') эсн (у, у) (у, гс) = 0 К = 1, 2...., и), <26) то г„е, — собственный элемент оператора А, соответствующий собственному значению ) ~п где (Агпч.г е„+1) е (г„г е„,) (27) Это заканчивает доказательство утверждения. Отыскание следующих по величине собственных значений оператора А тоже может быть сведено к вариационной задаче. Это следует из теоремы: Если Л, ( Л, ( ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
