Том 2 (1160084), страница 89
Текст из файла (страница 89)
( ˄— первые и собственных значений симметричного ограниченного снизу оператора А, а г,, ге, ..., г„— соответствующие им ортонормированные собственные элементы. и г„„, — элемент, реализующий минимум функционала (25) на множестве элементов у ~ Нл, удовлетворяющих дополнительным условиям 9 91 влвилционныя матоды гашения кгаввых задач бб9 Для доказательства возьмем произвольный элемент Е ~ Нл и пои ложим !)=Š— ~(Е, ла)ла. Тогда (л, гу)=0 0=1, 2, ..., и), а-! так как ( 1, л!) = (Е, лу) — Х (Е, ла) (яи, лу) = (Е.
л1) —,(Е, лу) = О, «! ( о (д ~)') ибо (за, г!)=~ . Этим свойством обладает и элемент Ге, 1 (д=Л где 1 — любое действительное число, а также и авь, +1Е. Функция 'т(') = (4 (ея!.! + ГЧ)' еч!.! + ГЧ) достигает минимума при 1=0. Но это означает, что ф'(0) =О. Из этого условия, так же как и раньше, доказывается, что Докажем, что и (Авве, — Л„„г„„,„Е) =О. действительно, (Аа„ь, — Л„„, г„зо Е) =(Ал„„! — Л„~!е„„!.
'л)+ +,~Р~ (ла, Е)(Авил, — Л„!.!л„!.г, ла) =~ (лю Е) (Ал„ь,— )„!Явь!, ла). в ! а-! Но (Азя~. ! Ля~. !ея~. ! ла) = (Аюя~ ! ла) Л!! !! (хя! !, ла) = = (хе г, Ава) — Л„„(з„„! ла) = (Ла — Л „) (а я+! ха) = 0 в силу симметричности оператора А и ортогональности л„+! ко всем да(и=1, 2, ..., и). Таким образом, для любого Е~Нл имеем (Ал„е, — Л„зд,~!, Е) = О, а поэтому Ах„, — Л„.„!л„~!=О, Если Л' — любое собственное значение, следуюшее по величине за Л„, а л' — его собственный элемент, то х' ортогонален всем хь (н = 1, 2, ..., п) и (Ае, е) Л'=,', >Л„г, (е', е') что полностью доказывает утверждение, Вариационная задача, соответствуюшая задаче отыскания и-го собственного значения оператора А, может быть сформулирована и следуюшим образом: Среди всех элементов у~ Нл, удовлетворяющих условиям (у, у) = !)у)( = 1, (у, ва) =0 ()г= 1, 2, ..., п — 1), (28) $9] ВАРИАционныв методы Решения квлкаых задач 571 или ~а![(Ахв, х!) — Л(хю х!) =О (й= 1, 2, ..., п).
(34) Определитель этой системы ()„(Л) обязан быть равным нулю, так как все а! не могут быть равны нулю одновременно. Таким образом, для отыскания Л имеем уравнение степени и: 1)„(Л) = (Ахс, х,) — Л (хс, х!) (Ахм хД вЂ” Л (хэ хД ... (Ах„, х!) — Л (х„, хД (Ахс, хз) — Л (хь хз) (Ах„х!) — Л (хв хз) ... (Ах„, хс) — Л(хчь х,) (Ахь х„) — Л(хь х„) (Ахь х„) — Л(х,„х„)... (Ах„, х„) — Л(х„,х„) (35) Х ав(Ахв х!)=Ле„~аз(хю х,) (1=1, 2, ..., и), (36) в=! а=! ~~.", ава! (хю х,) = 1. в,с=! (37) Умножим (36) на а! и просуммируем по 1 от 1 до и. Получим: ~~Р~ ссс,а, (Ах!„х,) = Ле ~~~ ава, (хю х,) = Л в, с-! *,с=! Но ч.', а„ас(Ахс„х!) = А ~~'„азха ), ~~.', а,х! =(Аи„, и„), в, с-! Ла-! /' с=! Таким образом, Л „=(Аи„, и„).
(38) Это показывает, что все корни уравнения (35) действительны и один Из них дает минимум функционалу /с(С») на множестве и„=~асхс,. (и„, и„)= 1. Этот минимум, очевидно, равен наименьшему по величине корню уравнения (35), который мы обозначим через Лси. Если Ле„— корень этого уравнения, то ()„()е„) = О и система (34) имеет нетривиальное решение при Л=Ле„. Пусть оно аеп ф.... ае. При любом действительном )с Ф О система чисел раа, 1!а,", ..., (са„" будет также решением системы (34).
Выберем (с так, чтобы выполнялось условие (и„, и„) = 1 и через а,, а,, ..., а„обозначим Рап Ра,', ..., (ис„" пРи данном значении Р. Тогда бУдем иметь тождества С возрастанием и Л,„не возрастает и в то же время остается не меньше Ло Таким образом, !нп Л,„~~Л,. Докажем, что !нп Л,„=), ч Ф'со Рассмотрим сйачала случай Л, ) О, В этом случае оператор А положительно определенный, так как для любого у ~ Нл имеем (Ау, у))~Л,(у, у). По определению нижней грани Л, для любого е > 0 найдется такой элемент и ~ Нл, что Л, < (Аи, и) < Л, -!- е. Из свойства 2) последовательности (л„) следует, что найдется такой п элемент о„= ~ Ьвх„, что ь=~ !и — о„, и — о„) =(А(и — о„), и — о„) <е.
Отсюда, обозначая Ы! =У )у. у). имеелп (39) !!о„!!е <1~я!~,+ !! „— я!!з <!!н~~, +)г' <)гЛ, +.+у'е, или (Ао о)=По 0, «:('г'Л +а+ гг ) ° Но (А(и — о„), и — о„\ ) )ч(и — и„, а — о„). Отсюда (и — о„, и — и,) < Л или !)и — о„()~< 1à — ', а ((о„!!)~Ци(! — )(о„— и,'!)~1 — у Л вЂ” '. Та- 1' 1 ким образом, ) (Аеч, еч) < ()ГЛ,+Я+1 а) ) (оч, оч) 1 — ~/ Г л, где ь' 0 вместе с е. Так как !т„=гп!п ', то )ч <Л,„< (Аи„, ич) (и„. ив) < ( ' ) <)ч +Ь, При гп)и имеем Л„,<Л,„и, следовательно. (Аоч, оч) (о„, е„) !нп Л,„=.Л,. в -ьоэ Если Л, < О, то введем вспомогательный оператор (40) А,у = Ау -!- (! — Л,) у. Это положительно определенный оператор, так как (А,у, у) =-(Ау, у>+(1 — Л,)(у, у) ~ь(у, у).
072 катоды вешания дие. квлвнвний в частных пеонзводных (гл. 10 3 9] влвиационныв методы гвшвния квлввых задач 673 Далее, !п! ' ~»У'=1. пепл Если и„= У ааха и (и„, и„) =1, то а=1 (41) 1п!(А,и„, и„)=!п!](Аи„. и„)+(1 — Л,)(и„, и„)] =Л„,+(1 — Л). Отсюда по ранее доказанному Иш !п!(А,и„, и„) = 1!гп (Л,„+(1 — Л,)) =1, т. е. !пп Лги =Л, Ф м со Для отыскания следующего по величине собственного значения ишем минимум функционала 1,(и„) =(Аи„, и„) при условиях (и„, и„)=1; (и„, г„)= ~~' аьр!(ха, х!)=О, Ф,3=г (42) и приравниваем нулю ее частные производные по а„. Это приводит к системе У„[аа](Ахю х!) — Л(хь, х!)] — [ьра(хю х!)] =О, (43) ь-г Если обе части равенства (43) умножить на р! и просуммировать по ! от 1 до и.
то получим: ~~ аьр! ИАха, х!) — Л(хю х!)] — р У, Яг(ха, х!) = О, а,! 1 а, 3=1 или ~~ад ~~Дг[(Ахю х!) — Л(ха, х!)] — р(г, г ) О. к-г ! ю-г Но из системы (36) ~~ Д! (Аха, х!) = Лги У, Р! (ха х!) Е 1 1 где г„= хи'рьха — приближенное значение первой нормированной ь=г собственной функции, Для этого составляем вспомогательную функцию Ф(ао а,, ..., а„)=(Аи„, и„) — Л(ич, и„) — р(и„, г„) Ф ( в У,а„[ У,~) [(Ахы г,) — Л(хю г))[ — р(г„, г„) = а! О1 = ~~ а„~~ (Лщ — Л) р) (х„, х)) — р (г„.
г„) = в -г )-1 = (Л„, — Л,) (ив, г„) — р(г„, г„) = О. Так как (и„, г„) =0 и (г„, г„) =!, то р= 0 и система (43) совпадает с системой (36). Отсюда, как и прежде, заключаем, что искомый минимум равен второму по величине корню уравнения 0„(Л) = О. Аналогично ищутся и следующие собственные значения оператора А. Они приближенно равны следующим по величине корням уравнения (35). Нужно только отметить, что точность приближения следующих собственных значений меньше. 2. Метод Ритца приближенного решения краевых задач для линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка эллиптического типа.
В конечной области О, ограниченной кусочно-гладким контуром Г, задано уравнение г-и = —,— ) (Р ь— ) — у-(Р л — )+Чи=У (44) где р — положительная непрерывно дифференцируемая в области О+-Г функция, а д и У вЂ” непрерывные в 6-[-Г функции, при этом д)~0. Рассмотрим следующие краевые задачи: Найти решение уравнения (44), удовлетворяющее на границе Г одному из следующих трех краевых условий: и[г= О, (45) ~ — +ел~ =0 (46) (е — непрерывная неотрицательная функция, не равная тождественно нулю, а и — внешняя нормаль); (47) Мы рассматриваем нулевые краевые условия, так как общий случай может быть сведен к рассматриваемому.
если в О+-Г можно найти какую-нибудь достаточно гладкую функцию и„удовлетворяющую ненулевым заданным условиям и вместо функции и искать функцию о=и — и,. Такая замена приведет нас к краевой задаче для уравнения, отличающегося от уравнения (44) только правой частью, но уже с нулевыми начальными условиями. 574 методы гашения див. гвлвнвний в частных пгоизводных [гл. 10 откуда 9 91 влгилциоиныв мвтоды гашения кгаввых 3АдАч 575 (48) В самом деле, (Ьи, и)= ~ ~ и(.иг1»ду= в /Яиг(дх ( Р д — ) + д (Р д )) их иу + ~ ~ Ч (х У) и' и» иу = дх ду ду в О~ [(д )+(д )) д (Р д ) д (~ д )1 У+ +О диад»ду = 1)(4д») +(д ) 1+ ди ))дхг(у / ри й с(з (49) в г Если и ~М, то и|в= О и ().и.
и)= / ~ )р(( — ) +( — ) ~+див)~с(хг(у) О. (50) Если (Аи, и)=0, то — =— — =0 и и=-С=сопзй но и~г=О, т. е. ди ди дх ду С =0 и и =О, а это и показывает, что (Ьи, и) ~ 0 при всех и ~ М и (Аи, и)=0 только при и=О, что и означает положительность оператора (.и на М. Если и~М„то иа (49) и (46) имеем: ((и, и) = / ~ ~р(( — ) +( ~Ц+ вайа ай»с(у+ / раи'с(з.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
