Том 2 (1160084), страница 82
Текст из файла (страница 82)
удовлетворяющую уравмеиию рсьиаь — — 7'. Здесь р) — 1 ( (рр (И. Функции иаэьр, и иаь совпадают на слоях 5з. 5,,..., 5», а ма 5»+, удовлетворяют уравнениям рс~~с+рри — у . г(а р пр (и ) — > цьа"риа„, ь=у: г)аь+" (иа+р ь) =~,ь Из неравенства !Д вЂ” г!!г (Ь и условия согласования норм !!7!!~ Р и !!/!!г следует неравенство !!У вЂ” 7!!""" (73, т. е.
для иаь и иаькь выполнены условия, аиалогичмые условиям (19) теоремы. Поэтому !! иаь — иаьь «!!аа ( СТ(ае. а в силу неравенства (20) !!г р,а (иаь) р ь,а р(ил+к«)!! (СО71ь' (22) 1« На слоях 5»+а. 5»+,, ... функции иаь и и»+к« удовлетворяют одним и тем же уравнениям, а их начальные условия по неравенству (22) мало отличаются друг от друга. Следовательно, в силу равномерной устойчивости по начальным значениям из (22) следует, что при й(И !! иаь — иа+ьь !! 3 ( Есотй. (23) Так как ма 5, 5,,..., 5я, ирресм ия р,р,=ир,=ию а ма 5ч, 5ч.р,....
функции и„ьь и иь определяются из одинаковых уравнений, то ит ь«=йь, С другой стороны, ма 5и им~ем ии — — и«. Поэтому, написав неравенства (23) для и=и, д+.1...,, И и сложив их почлеммо, получим: !! иь — ир,!! <' ЕСО7Й(И вЂ” р7-4- 1) Так мак область лежит в полосе Гз (Г (Т, то И1 (Т вЂ” Гз. Поэтому в последнем неравенстве правая часть меньше некоторой постоянной, умноженной ма ь, В силу условия сор ласовамия й 7! сходимость и тстойчивость гьзмостмых схим 323 где )!.Рг — 7!!г (3, и одмим и тем же гРаничным УсловиЯм г,ь(иь) =г,ь(и ) = арра (1= 1, 2,..., т).
526 методы гашения дне. эвлвнений в члстных пгоизводных (гл.!О норм 11и„11 о и 11и„11з следует, что при достаточно малом ь для ь » всех Ь < йь имеет место неравенство а это и означает устойчивость по правой части. Корректность разностной схемы равносильна устойчивости разностной схемы по правой части и всем граничным условиям. Из последней теоремы следует, что для некоторых разностных схем нет необходимости проверять устойчивость схемы по правой части, а достаточно проверить устойчивость по начальным значениям, что сильно упрошает проверку корректности разностной схемы. 3. Связь сходимости с корректностью разностной схемы. Из корректности разностной схемы (3) — (4), аппроксимируюшей дифференциальное уравнение (1) с граничными условиями (2), следует сходимость последовательности решений разностной схемы к точному решению граничной задачи для дифференциального уравнения.
Поэтому вместо доказательства сходимости достаточно установить корректность разностной схемы. Это следует из теоремы: Если решение дифференциального уравнения (1) с граничными условиями (2) существует и принадлехсит (г', а разностная схема (3) — (4) аппраксимирует уравнение (1) с граничными условияма (2) на классе У и корректна, то при й-+О решения иь ревностной схемы сходятся по норме к решению и граничной задачи для дифференциального уравнения, т.
е. — О. Если уравнения (1) и (3) и граничные условия (2) и (4) линейны и порядок аппроксимации равен й, то имеет место следующая оценка скорости сходимостщ (24) 11 и ™»11и < й» Мь"! + сй М!»!» ь ! ! причем (25) Доказательство. Если и~У: Е(и)=); (г(и)=~р!, то. обозначая Йьи через у, г»ь(и) — через 4!;ь. из условия аппроксимации при достаточно малых й имеем: — ь " - '~~-»ь ' 527 СХОДИМОСТЬ И УСТОЙЧИВОСТЬ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ а тогда из условия корректности следует, что при достаточно малом О имеет место неравенство [! .— [[,„<' В линейном случае, так как И»и»=/=Е(и); ггь(и») =4гь —— [рг[;ь=[(ь(и)[гь.
то 1 (и) — 77»и =)чьиь — Йь и = )ть (иь — и) = Лью», [(г (и)[гь — гьь (и) = ггь (и„) — г,ь (и) = гт (оь), где оь — — и» вЂ” и. Тогда из условия. что мы имеем аппроксимацию порядка й, следует [[го»о»[[у (" М' [[ггь(оь)[[е В силу корректности разностной схемы для любой функции иь имеет место неравенство [[иь[! о ~(А~ [!)Таил[[У +Х Л(г [[ггь(иь)[[е (26) откуда и получаем требуемую оценку скорости сходимости, полагая иь = оь и используя оценки для оь. Лля доказательства неравенства (26) по свойству норм имеем: [[и[[о ~( [[и — и»[!о + [[иь[! Но [[и — и»!!с, -+О при й-+О, а для [[и»!!о имеет место нера» сь оь венство (26).
Отсюда, переходя к пределу, и получим неравенство (26). Заметим следуюшее: Если некоторые из граничных условий (2) аппроксимируются точно, т. е. при некоторых ( То»<=Ге и для и~(7 гсь(и)=сг(и), <~1»= [~уг[<ь — — у; на ать то требование устойчивости по соответствующим граничным условиям в доказанной теореме можно отбросить и требовать лишь устойчивость по правым частям и всем остальным граничным условиям. Представляет интерес следуюшая теорема.
используя которую можно обосновать метод Рунге приближенной оценки погрешности метода сеток: Те о р е м а, Если уравнение (3) и граничные условия (4) линейны и выполнены условия предыдущей теоремы, а аппрокси.яааия такова, что существуют пределы Огп й (Еи — ге»и)=ф; 1нпй "([(г(и)[,ь — ггь(и))=фн (27) ь.ь о ь -»о 528 методы гашения дие. та»знаний в частных пгоизводных (гл. 1О аде и — решение задачи (1) — (2), т. е. существуют такие функ- ции ф и ф,, что 11ш (!й (Л(и) — гтли) — ф!)„=О, (28) йш !)Ь (!1 (и));» — Ъ,(и)) — !фс)с»~~ =О, л-»о чл 1 а чо есть решение граничной задачи 1.(чо)=ф' 1е(ш)=фг (1=1, 2,..., га, (29) Д о к а з а т е л ь с т в о.
Пусть и — решение граничной задачи (!) — (2), а и» вЂ” решение разностной схемы (3) — (4). Пусть )тли= ~, ггл(и)=ее». По условию теоремы Ь «(1 — У)=ф+а»! й (~сл — егл)=(фг!ч»+а;». где !!ал!! „-+0 и !(авл!(, -+0 при Ь-+О, т, е. й «()~~и» )тли)=ф+ "» д "(г,»(и») — гг»(и)) = !фг!с»+а;л. (31) Если то есть решение задачи (29), то по определению аппроксимации Йлге =ф+ гй» гг»(чо) = В!а+ иге» где )!рл!! „и ))ргл)! -+О прн д-»О.
Так как Ял и гс» линейны, » е~л то из последнего равенства и равенств (31) имеем: Рл ()г (и» вЂ” и) — чо) = ໠— 'рл, гв»(Л (ил — и) — чо) = а~л — 8г». Так как при и-+О правые части по соответствуюшим нормам стремятся к нулю, то в силу корректности разностной схемы (3) —,4) « йа ((й (и» вЂ” и) — то1~ о — — О. л-»о Эта теорема позволяет оценить погрешность в решении, которую мы получаем, заменяя дифференциальное уравнение разностным. Пусть и» и и, — решения разностной схемы при й= Д«и й =йз, где й,= с)1,(с > 1) и сетка сгл, есть часть сетки О«,. Если выполнены принадлежащее к некоторому классу яг, на котором 11» и г~» аппраксимируют Ь и 1ц то — — и — — О.
(30) »'.» о и» сходимость и гстойчивость глзностных схвм б29 условия последней теоремы, то и„= и + й,"те + о (й,"); и,„= и + лете + о (й"). Исключая из этих равенств ш, получим: 1 иь,+ се 1 (ил, иь,)+о(~з) откуда 1 и — и, „(и,„— и ). Этой формулой иногда пользуются для получения более точного решения, чем и„. Пример. Пусть в области О с границей Г требуется найти решение уравнения а(х, у) и"„+с(х. у) и'„' +-с(х, у) и' -+-а(х, у) и„'+е(х, у) и= =у(х, у); и/ =ср, где а, К с, А е, у — ааданные функции, непрерывные в О+Г, удовлетворяющие следующим условиям: а)~0; и)~0; а+6 ьд) 0; (с! <Ма; !с() < Мс; е <0 (М н д — положительные постоянные), а е — заданная функция, не- прерывная на Г. Будем предполагать, что область О лежит в круге ха+у'<)са.
Рассмотрим сетку Оь, состоящую из точек х=гй, у =(д, лежащих в О+Г. Назовем граничными узлами сетки Оь те ее точки, для которых хотя бы одна из четырех ее соседних точек (х ч- й, у), (х, у + й) лежит вне О+Г. Рассмотрим следующую разностную схему: агу а1, )сьиь= и (и1+н, — 2ио-+и,.
ь,)+ —,. (лье+1 — 2и,,+и; т,)+ с,у наг + 2ь (и эьз и1-ьа)+ 2л (ай~+1 — ику-1)+е1уиб =Л~", иь1г ='т !г ° ь ь где им=ил(И, (й), а аг~, д~~, его, с(1~, ейь уг1 — значения соответствующих функций в точке х=(й, у=гй. а э,— функция, полученная из р непрерывным продолжением на всю область О. Докажем корректность этой схемы. Пусть о(х, у) = ел(лььп — ех(е*~ е*). 530 методы вешания диф. гглвнений в частных пгоизводных [гл, 1О Так как ел 1(Ф+Ы +ей — ел 1(е-ь> +и > — 2АО (х+ О Ь) ел 1(~+М> +Я~> ( — 1<в,<1), ел (е'+1Я+л»' — ед 1~'+Ф-ь>'> = 2АО (У + Огд) ел >м*ч'(Яей">'> ( 1<В,<1), ел Нм+ь>+я > 2ед 1и+>Е> + ел 1(~-ь>+я> = АУ>г [[1 +-2А (х.+ Огг>)г[ )С )( ел 1(и+а ь>'+я*> + [1 -4- 2 А (х + Вгй) г[ ел не+ г ь>'+ге> [ (О < В, < 1; — 1 < В, < О), ел 1~'+(Я+ьУ> 2ел(ы+е'>+ ел 1~'+>в ь>Ч = Айг [[1+2А(у+О, О)г[)С Х ел >й+з>+гд>ч+ [1 -+ 2А (у+ О Ус)г[ ед 1~+(Я+г ь>>[ (О < В, < 1; — 1 < О, < О), то ГСЬЕ" 1ь+ВЧ (А(1+2АГСг)(а, ! Ь, )+[СО!А>С+!С(О[А)С ( ( А (1 -+ 2 А>сг) (а; + Вг ) + МАЛ (а; .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
