Том 2 (1160084), страница 76
Текст из файла (страница 76)
после чего счет идет так же легко, как и по первой схеме. С точки зрения точности аппроксимации дифференциального уравнения (1) третья разностная схема лучше других. Но эту схему при практических расчетах использовать нельзя по другой причине.
При счете по этой схеме вычислительная погрешность, избежать которой невозможно ввиду округлений результатов, возникнув на каком-либо шаге, быстро растет в дальнейшем и через небольшое количество шагов полностью исказит решение. Это просто проследить с помощью так называемой е-схемы. Пусть счет ведется по схеме (бе) и до 71-го горизонтального ряда вычисления велись точно, а при вычислении игл была допущена погрешность величины е.
Предполагая, что все дальнейшие вычисления ведутся снова точно, эта погрешность будет распространяться при дальнейших вычислениях следующим образом: 494 мятоды гвшвния див. гвавнвний в частных пвоизводных [гл. )О счете погрешности возникают на каждом шаге и будут каким-то образом взаимодействовать. Во всяком случае, этот пример показывает, что пользоваться третьей разностной схемой по меньшей мере опасно. Если мы будем использовать для решения уравнения (!') разностное уравнение (3"), то распространение р-погрешности будет иметь вид: ! — 5 у ! — 4 ! — 3 ! — 2 ! — ! г+! г+2 г+3 0 0 0 0 0 0,0625в 0 0 0,5р 0 0,375а 0 о о о 0 о 0 о о 0 0 0,125р 0 о о 0 0,25р 0 0,25р 0 о 0,5в 0 0,375р 0 о о 0 0,25р 0 0,25в 0 о 0,5в о 0,375р 0 0 0 0 0,(25р 0 0 0 0 0 0 0,0625р И†! И И+1 И+2 И+3 И+4 1= — Из! 1р — — 2п1 = пИ', з.
где п — целое число, причем так, чтобы (хр, 1р) была узлом сетки. Для удобства применим следующую нумерацию узлов. Через (ю, 7) будем обозначать узел, находящийся на пересечении прямых х = хр+ 1И; 1= !1. При этой нумерации точка (хр, 1,) будет узлом (О, 2п). Решение задачи, получаемое методом сеток при выбранном шаге И (а следовательно, и 1), будем обозначать через и'".>. !! * Из таблицы видно, что в этом случае погрешность не только не возрастает, а даже уменьшается.
Мы пришли к понятию устойчивости разностной схемы. Разностную схему называют устойчивой, если вычислительная погрешность при переходе от одного слоя к другому не возрастает; если же вычислительная погрешность быстро растет. то схема называется нвустойчивой. Рассуждения, приведенные выше, хотя они н не являются достаточно строгими, показывают, что разностная схема (3") для решения задачи Коши для уравнения теплопроводности устойчива, а схема (5") неустойчива. К этому вопросу мы еще вернемся в этом параграфе и подробно его рассмотрим в й 7. В заключение этого пункта приведем доказательство сходимости последовательности решений задачи Коши для уравнения (!') с начальными условиями (2), получаемых методом сеток с использованием разностной схемы (3") при стремлении И к нулю.
Пусть (хр, 1р) — некоторая фиксированная точка верхней полу- плоскости. Построим сетку, удовлетворяющую условиям й 51 мвтод сеток гишвния плглволнчиских увлвнвний 495 Таким образом, и!".1 есть решение системы (ы 1 (ы и!."1. = '+ьх ' " (1=0, +1, +2..; (=О, 1, 2....) 'Е+! 2 и!ы= р! (1=0, +1, +2, ...). Легко видеть, что !И1 "~аз= 2о 11'о- +2!оо+Ч' и!ь1 ~4 +4р з+64о-(-4уо-(-~ро), !О1 1 %З и-~! ло, ол 2 и ~~а ~оп !го! Так как Г = лпз, то и!ь) можно еще записать и таким образом: о о,оп !Ы ~~ 1 1 и-о! 1 ~т 7 л (2л)1 ио, оп — — ~ — —, Сзп уз12д = = .й 2 йа 2у Го Л!!Е 2оп (и+1)1(п — Г)! (!о!2 л, г--и ! -В где !рзо — — 4!(хо+2(л).
Рассмотрим выражение г' л (2п)1 2о" (л+ 01(п — Г)1 Все входяшне в него факториалы заменим по формуле Стирлинга т!= 1!'2кт 1 — ! е'"" (О, б (1), !е) где е — основание натуральных логарифмов. Тогда д„о будет выглядеть так: оп !и о )/ ооп( ) лооп и! о )г2« (л+1) ~ ) е!о!поо у 2« (и — !) 11 — ) еза!и-!1 е е ) о о '.и и+! и-! о 1 л е~п !о'и+!Ч ж!" '1 '~/о ~/~~ го ( 1 !и-о! ~. 1 о — ! Обозначим х!! -1-2И через о). Будем уменьшать и так, чтобы прямая х = о) =сопя! была все время узловой линией. Тогда Ч вЂ” «о. Го .
1 Ч вЂ” «о и = — ' — = — И. 2Л ' Ло ' и 2Го 496 методы Решений дих. УРАвнений в частных пгоизводных (гл. !О Отсюда ев) есть функция 1), )). Обозначим ее через еь(2)). Рассмотрим предел ЕА(2)) при 11 — +О указанным выше способом. Очевидно, при в — +О и, ! будут стремиться к бесконечности, а — к нулю. и Будем иметь: во) в — 1 „,ыв 12)в+О 12(в-О 1)ш йь(2)) = = )ип А.ЭО ув АВО упо — )2 ( ) )"+1( ) )" 1 = =- 1ип '-()' "(- 2)('+ )' х '1 «о Л| 1А 1 2)о ( ч — хо ) ) 2~ А [1+ и — хо л~ аа )(злее в х„оовь 1 ьт 1 — ~, а„,дги2д= !' й.„()) р()) () = -в х;овь 21.
.хо )— А -~-св (ч — х,)' 1 /' ! )'1 — / дь (ч) <р (2)) а'2) -+ 1, е 1' 1р (2)) с)2). 2У Го Таким образом, (ч-х,)' 1ип л(А), = ! 1р (ч) е 11.,2ч Аво о'2" 2)Гв),1 у Но известно, что 12 -х„)' и(хо, То) = / 1Р(т)) е "1 с)2) 2 )Гв) есть точное решение уравнения (!) с начальными условиями (2). Следовательно, 1!т и~о,з,=и(х, Т ). А.» О Хотя здесь и не все рассуждения проведены с достаточной строгостью (не обоснованы предельные переходы), но мы не только показали сходимость последовательности и)",) к точному решению, но еще получили интегральную форму точного решения. З 5) мвтод сеток гвшвния плглволичаских тглвнвний 497 2. Метод сеток для решения смешанных задач.
Понятие устойчивости разностных схем. Рассмотрим смешанные задачи для уравнения теплопроводности ди дзи Аи = — — — =О. дГ дхч Эти задачи ставятся следуюшим образом. Требуется найти решение уравнения (1') в прямоугольнике )(=(а (х(д; 0(( (Т), удовлетворяющее начальному условию (2') и(х, 0) = р(х) (а ( х (д) и граничным условиям ~Р— „", -+т и~ =Ф,(1)! ~Р.д," +Тая~ =(,(г) (О (Е (7), (2") тле Зн йа, Т,, та, ф,,'фа — заланные функции переменного (. Выбор фУнкций Цн 'Ра, То Тз позволает полУчать Различные задачи.
НапРимзР. если ~,=— 'Рз= О! т, =там— м 1, то бУдем иметь пеРвУю кРаевУю задачу; при ~, =реев м 1; т,= —;з= — 0 — вторую краевую задачу. При решении смешанных задач методом сеток, кроме аппроксимации дифференциального уравнения и начальных условий, необходимо аппроксимировать также и граничные условия. Простейшие разностные схемы для решения смешанных задач следующие.
Рассматриваем сетку точек (а+(и, 72), где 1=0, 1, 2, ..., и; /=О, 1, 2, ..., т; И= — . Будем считать а=О; Ь=! и и= —. Узлы, а — и 1 Л и лежащие на прямых х=О; х= 1; с=О, будем считать граничными узлами, все другие — внутренними. Для внутренних узлов выписываем разностные уравнения того или лругого типа, аппроксимирующие дифференциальное уравнение (1'), например уравнения (3') или (4'), или (5'). Для узлов, лежащих на начальной прямой (=О, из начальных условий имеем: ия,— — ~р; (1=О, 1, 2, ..., и). Для граничных узлов, лежаших на прямых х = О, х = 1, запишем соотношения и, ! — иш и„— и„ 67 ' л +7)иу=фл(: Ц „' +Тати =ФЧ (б) 498 методы гашения див, теавнеиий в частных пгоизводных [гл. 1О аппроксимирующие с точностью до И граничные условия (2").
Таким образом, мы можем получить три следующие разностные схемы: и; .„=(1 — 2а) иО+а(и.,. /+ и,, ) (а = 1, 2, ..., и — 1; / = О, 1, 2, ..., т — 1), рбиы+ (ИП/ — р1/) ио/ —— Ит',.; (ро/+ ИТ,/) и,о — ~,зи„, / = И.,', (7) (/= 1, 2, ..., т), иго=срг (1=0 1, 2. и)1 (1+2а) иΠ— а(и; „, .+ и,, ) = и, / (1= 1, 2, ..., (п — 1); / = 1, 2, ..., т), РО О+(ИТО гО? ио1 И, 1/ (г2/ + И72/) и~/ — г2/и~ / = Итз/ (/=1, 2, ...,т), им=-(о, (/=О, 1, 2, ..., и); (8) и, / „— — 2а(и; „ / — 2иО+ иг, /) .+ и; / (/=1, 2,..., п — 1; /=О, 1, 2, ..., т — 1), Рыи /+(ИТ / — РО) и /= ИФг/: (Ро/+ Ит;) и./ — Рюи.,/ = И)е/ (/=1, 2,..., т), иго тг (1 О 1 2 .
и) (9) Иногда для лучшей аппроксимации граничных условий привлекают еще два вертикальных ряда узлов ( — И, //), ((и+1) И, /1) или рас- И сматривают сетку, слвинутую на — в направлении оси к. В этом 2 случае можно получить для граничных условий аппроксимацию второго порядка относительно И, Построение этой аппроксимации ничем не отличается от аппроксимации граничных условий лля смешанных зааач уравнений гиперболического типа, которые мы рассматривали в предыдущем параграфе, поэтому здесь мы на агом останавливаться не будем. Так или иначе при любом способе аппроксимации мы получаем для отыскания значений решения смешанной задачи во внутренних и граничных узлах столько уравнений, сколько имеется неизвестных.
Решая эту систему линейных алгебраических уравнений, мы найдем приближенные значения решения поставленной задачи во всех узлах сетки. Для явных схем разрешимость полученной системы не вызывает сомнений, для неявных схем ее нужно исследовать в каждом отдельном случае. Для схемы (8) это нетрудно сделать. Значительно сложней решается вопрос о том, насколько близки полученные метолом сеток значения решения в узлах к значениям точного решения смешанной задачи для дифференциального уравнения и можно ли вообще путем измельчения сетки получить методом 9 51 мвтод сеток гашения паялволичвских гялвнвний 499 сеток приближенное решение, сколь угодно близкое к точному решению.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
