Том 2 (1160084), страница 71
Текст из файла (страница 71)
(9) Не все эти условия являются независимыми между собой. Так как система (1) по условию гиперболическая, то матрица Ьгь — Ла,ь ... Ьгв — Лаги Ь вЂ” л ... Ь,„— Ла,„ Ь„. — Лиса ... Ь„„— Ла„„ < Ьп — Лап ь,— л Ьт — Лаи1 (10) будут следовать все остальные условия в (9). Таким образом, иа характеристике С решение и,(х, у), и,(х, у), ..., и„(х, у) связано двумя условиями (10), называемыми уравненилми характеристик. Первое из иих называют уравнением направления характеристик~, а второе — дифференциальным соотношением на характеристике.
При данном в области О решении системы (1) мы имеем п семейств характеристик и иа каждом из этих семейств имеем свое диффереициальиое соотношение. Заметим еще, что если мы будем рассматривать ие характеристику, а характеристическую кривую, то оиа может принадлежать нескольким решениям системы (1), и если снять требование иепрерывиой диффереицируемости решения, то при непрерывности решения разрыва первых производных могут быть только иа характеристике.
Такие решения можно получить следующим образом. Возьмем два решения и(П(х, у) и и(Ю(х, у)(1=1; 2...., и), имею- имеет в точках кривой С ранг, равный и — 1. В этом случае хотя бы одна из матриц, получающихся из последией заменой одного из столбцов столбцом свободных членов системы (5), будет иметь также ранг и — 1. Пусть это будет матрица, полученная заменой й столбца. Тогда из условий 5=0 и бь=О в 4) метод хлвдктевистик численного гяшзния гипвгволич. систвм 465 и(ц(х, у) с одной стороны С, и;(х, у)= (1=1, 2, ..., и).
~ и(з1(х, у) с другой стороны С Это решение будет непрерывно в области О, но на С будет иметь разрыв первых производных. В заключение этого пункта выпишем уравнения характеристик для случаев и =1; п =2; и =3. л=!. Если уравнение имеет вид ди ди а — +Ь вЂ”.=с, дх ду то уравнение направления характеристик будет Ьдх — аду=О, а дифференциальное соотношение на них с<Ух — а Фи=О. (11) (12) аз=2.
Уравнения направлений характеристик ~Ху — )и дх = О (1 = 1, 2). (13) где Ла — корни уравнения 1, Ьп Лац Ьм — Лам = О. Ь вЂ” Л Ь вЂ” Л ( (14) Дифференциальные соотношения на характеристиках слдх — анди,— амдиз Ьм — Лаан ~ =О гт дх — ап дил — атл диз Ьм — Лазы (16) или ()чА-+В) Фи, +Сдия+ М Фх+М с(у = О, (16) где А=~ " "(; В=(," "~; С=~и "~: (17) М =~ ", ~1 И =~ '" " ~. га=З.
Уравнения направлений характеристик Иу — Л;сГх = О (1 = 1, 2, 3), 116) щие непрерывные производные в области О, содержащей общую характеристику С, являющуюся проекцией на плоскость (х, у) характеристической кривой, принадлежащей обоим решениям. и рассмотрим решение 466 мятоды ввшвния дие. явлвнвний в частных пвоизводных [гл. 1О Ь, — Ла Ь вЂ” Л,, =О. Ьт — Лаза (19) г(ифференциальные соотношения на характеристиках с, йх — ап йи! — а|з низ — а|з йиз Ь|з — Лга|з Ь!з — Лгаю сз йх — ан йи, — ан лаз — азз низ Ьзз — Л|ам Ьзч — Лги и сз с|х — аз| йи, — азз а'а| — аз, низ Ьзз — Лгат Ьчз — Л,аю = 0 (20) нлн Мг ни, + Мг с(из + Рг с(из — Сг с(х = О, (21) где а|з Ьг, )Лгг = Ь ат Ьт (22) с, Ьзз — Л|а|з с Ью — Лган сч Ьт — Л|ат Может случиться, что условие (20) будет удовлетворяться на какой-либо характеристике тождественно. В этом случае вместо условия (20) нужно на этой характеристике взять другое условие, которое может быть получено заменой в определителе (19) другого столбца столбцом свободных членов системы (6).
2. Примерьн уравнения характеристик для некоторых систем дифференциальных уравнений газовой динамики. В качестве примеров приведем дифференциальные уравнения характеристик для некоторых систем лифференциальных уравнений газовой динамики, где метод характеристик находит широкое применение. 1. Плоское и осесимметричное сверхзвуковое установившееся течение идеального гала. Случай оезвихревого движения Система дифференциальных уравнений в атом случае имеет вид Н вЂ” + К( — + — ~~+ Ь вЂ” +.я=о дП /дУ дтгт д!г йх Л йу дх~ ду дЕ7 д !г — — — =О, ду дх где Н= ! — П вЂ” !гз; Л = ! — и — — !гз; К= — — П!г; Ь+1 Ь+1 2 Ь вЂ” 1 ' А' — 1 ' Ь вЂ” 1 1|' = — (1 — Уз — !гз); у У н !г — составляющие безразмерной скорости по направлениям х и у, выражающиеся через составляющие действительной скорости и, о по фори о 2 мулам у= —, !г= —, Игт= звг ас, где А — постоянная йг ' ж' где )„.
— корни уравнения Ьн — Лац Ьзз — Ла|з Ьз| — Ла.п Ьм — Лаз| Ьз,— Лат Ь„Лаю а|| Ьгз — Лгагз Ь,з — Лги|в аз| Ьм — Лгам Ьзз — Л,а,з аз| Ьзз — Л<ат Ьт — Лгазз ам Ьт,— Л,а|з Ьзз а|з Ьзз — Л,азз Ью; Сз = ачз Ьт — ||аз| Ьге Ьм — Л,а|з Ьзз Лгею Ьт — "газа Ьгз — Лег|в Ьзз — Лзачз ܄— Л, „ й 41 мнтод хлвлктвгистик числвнного гншннин гнпегволич, систем 467 к —.н е — лк ~ ! 1 Л =О, или К вЂ” У Кт — ЕН .
К+ У Кт — ЕН л,= Н Ле = При сверхзвуковых скоростях Ль Л» действительны и различны. Вычисляя определители (17), получим: А= — Н; В=О; С= — Е; М=О; Ф= — аР. Отсюда, используя (16), получим следующие дифференциальные соотношения на характеристиках: 'Л»Н»Г(Е Е»» У+ е»2»»у = О. Е Учитывая, что Л»Лт = —, и заменяя»»у из уравнений направлений характе- Н' ристик, получим следующие дифференциальные уравнения характеристик рассматриваемой системы: 1-е семейство 2-е семейство лу = л,лл. »!у =Лтйх, а»с а»с Н/+ Лт и'У+ — пх = О; »»(Е+ Л!»»У+ — »тл = О. 1»Н )чН Иногда уравнения характеристик записывают в другой форме, принимая за искомые функции йг и О, где Ж'= )» Е»т+ Ут; Ег = Ягсоз 0; )г= Я'з!из (%' имеет смысл абсолютной величины безразмерной скорости в данной точке, а 0 — угол наклона направления скорости с осью х).
Если, кроме того, ввести угол»» (угол Маха) с помощью соотношений "-г'% то, выполнив замену искомых функций в уравнениях характеристик, придем к следующему результату: 1-е семейство 2-е семейство ~— = !й(0+ р), »гу х лу »»х »(Ж' Их — — !и !»»»О — е» вЂ” = О, йг а (г" »Ес — +!ярпб — ат — =О, В' где з!пи з!п 0!йр соз (0 — р) тле мир з!п 0!яр сов (»» + О) газового потока, ае — скорость звука в покоящемся газе. Лля плоского движения а=О, для осесимметричного а = 1 (в атом случае х — ось симметрии). Уравнения характеристик для атой системы будут следующие: уравнения направления характеристик Лу — Л»л»х=б (»=1, 2), где Л» — корни уравнения 488 методы гвшпния дие.
гглвнпиий в частных пгоизводных [гл. 1О Из этих уравнений следует, что если в точке (х, у) известно направление скорости 0 и мы отложим по ту и другую сторону от него углы, равные р, то получим направления характеристик, проходящих через эту точку. Эти направления называют направлениями Маха, а линии, имеющие в каждой точке направление Маха, назыиают линиями Маха. Таким образом, характеристики совпадают с линиями Маха.
Физический смысл их состоит в том, что если в некоторой точке сверхзвукового потока поместить источник малых возмущений, то оии будут сказываться только в области, ограниченной линиями Маха, выходящими из втой точки (в осесимметричном пространственном случае это будет конус Маха). 2. Ллоское и осесимметричное сверхзвуковое установившееся двилсение идеального газа. Случай вихревого движения. Система уравнений в этом случае имеет вид Н вЂ” + К ~ — + — ~ +». — + с)с = О, дУ (дУ дУ» дУ дх Лду дх У ду / дУ д УЛ д8 У( —,— — У) — Š— =(Л Л ду дх/ дх У(Л вЂ” — — )+() — =О, »дУ дУт д5 Лду дх г' ду где У, У, Н, К, »'„Р имеют прежний смысл, 1» = — (1 — Уэ — Уэ), 1 2ст, 5 — энтропия, с„ — постоянная величина (удельная теплоемкость газа при постоянном давлении).
Лля того чтобы выписать дифференциальные уравнения характеристик, найдем корни уравнения (19) и определители Мь Нь Р», С»(12). Будем иметь: К вЂ” ЛН».— ЛК О У ЛУ Л() = — (~ (У вЂ” ЛУ) (ЛтН вЂ” 2КЛ+ Е) = О, У ЛУ или К вЂ” ~ГК вЂ” НУ. К+ ~/К вЂ” НУ. 11=у "= Н ' Ла= Н Далее, М,=Л»НО(У вЂ” Л„У); Н,=Л(;)(~ )чУ); Р» =(;) (Л вЂ” Л,К); С, = — сРРЛ»(У вЂ” Л,У). Подставляя их в соотношение (20), получим следующие дифференциальные соотношения на характеристиках: () [(У вЂ” У) ( Нс»У+ "У вЂ” В )+(9(У.— ЧО»»8[ = ° При» = 1 имеем: (,)э(»'.— ЛтК) с»8 = О, или»»8 = О. ф 4) метод хАРАктеРнстик численного Решения гипеРБОлич.
систем 469 Окончательно имеем следующие дифференциальные уравнения для характеристню 1-е семейство иду — Убх=о, аВ=а 2-семейство ду — Лт йх = О:, ((г — Лз(Г) (Н б(Г + Л,Н ар — вВ дх) + (! (Н вЂ” К) а8 = О, 3-е семейство ау — Лз дх = О, (У вЂ” Л,0) (Нд(3+ Л,НдУ вЂ” ай ах)+ Д (Н вЂ” У() аВ= О. Первое семейство характерно тем, что направление характеристики в каждой точке совпадает с направлением скорости потока в атой точке, т. е. характеристики первого семейства являются линиями тока; знтропия вдоль них сохраняет постоянное значение. Две другие характеристики. вы- ходящие из данной точки, будут совпадать с линиями Маха. 3.
Одномерное неустановившееся течение в трубах. Везвихревое течение. Система дифференциальных уравнений движения идеального газа в етом случае имеет вид ди ди 2 да и — + — + а — =О, дх дт й — 1 дх ди 2 г' да да) а!пт а — + ~и — + — ~= — аи —, дх й — 1 ! дх дт! ГГх где х — координата вдоль оси трубы, и — скорость в сечении х трубы в момент времени А а — местная скорость звука, у=у(х) — площадь поперечного сечения трубы. Уравнения направлений характеристик имеют вид ах — Лчат=О (1=1, 2), где Лт — корни уравнения 2а й — 1 =О, — (и — Л) 2 й — 1 или Ль а=и+ а Здесь мы видим, что система будет гиперболической всегда, в то время как в случае установившихся течений она будет гиперболической лишь в сверхзвуковой области.
Определители А, В, С, М, Н будут иметь следующие значения: А=; В= — —; С=; М= ати —; АГ=О. 2 2и 4а 2 аб(пу З вЂ” 1' й — 1' (й — 1)т' й — 1 бх ' Следовательно, дифференциальные соотношения на характеристиках будут: 2 а!п у (Лт — и) ди+ — а с!а+ ати — б! = О й — 1 йх или, подставляя Лс и сокращая на а, будем иметь: 2 Ы!пу — ада Ь да+ пи — ой= О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
