Том 2 (1160084), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Что касается нелинейных уравнений, то хотя отдельные задачи для нелинейных уравнений и были разрешены, однако общая теория приближенных методов для нелинейных уравнений все еще отсутствует. В последнее время численным методам решения задач для нелинейных уравнений уделяется много внимания, но их разработка еще не достигла такого состояния, при котором их можно было бы включить в учебное пособие.
Как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, приближенные методы решения различных аадач для введвние 411 дифференциальных уравнений в частных производных можно разбить на две группы: 1) методы, в которых приближенное решение получается в аналитической форме, например в виде отрезка некоторого ряда, и 2) методы, с помощью которых можно получить таблицу приближенных значений искомого решения в некоторых точках рассматриваемой области, — численные методы. К первой группе относится прежде всего метод Фурье решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных, при применении которого точное решение получается в виде некоторого ряда, а за приближенное решение может быть принята сумма некоторого ч псла первых его членов. Метод Фурье решения классических задач математической физики подробно излагается в курсе математической физики, и мы на нем совсем не будем останавливаться. Из методов первой группы мы рассмотрим лишь вариационные методы решения краевых задач для уравнений в частных производных и близкий к ним метод Галеркина.
Наиболее широко распространенным методом численного решения задач для дифференциальных уравнений в частных производных является метод сеток, или метод конечных разностей, а также метод характеристик решения уравнений и систем уравнений гиперболического типа, который в сущности также является конечноразностным методом, только в этом методе дифференциальное уравнение в частных производных или система таких уравнений предварительно сводится к эквивалентной ей системе обыкновенных дифференциальных уравнений, которая и решается разностным методом.
Описанию метода сеток для решения некоторых зздач математической физики в основном и посвящена эта глава. Особое место занимает метод прямых, который в зависимости от способа его реализации может быть отнесен как к той, так и к другой группе методов. В этом методе ищется приближенно решение дифференциального уравнения в частных производных вдоль некоторого семейства прямых. При этом вместо дифференциального уравнения в частных производных получается система обыкновенных дифференциальных уравнений. Если эта система решается в конечном виде, то мы получаем приближенное решение дифференциального уравнения в частных производных в виде системы функций, приближенно представляющих искомое решение вдоль рассматриваемых прямых.
Если же система обыкновенных дифференциальных уравнений решается численными методами, то и приближенное решение уравнения в частных производных получается в виде таблицы, и в этом случае этот метод можно отнести к группе численных методов. В последнем параграфе главы изложены методы приближенного решения линейных интегральных уравнений типа Фредгольма и Воль- терра. 412 мвтоды гвшвния диэ. квдвнвний в частных пгоизводных 1гл, 1О В силу значительных трудностей, возникающих при приближенном решении дифференциальных уравнений в частных производных, мы ограничимся при изложении из педагогических соображений только простейшими уравнениями и простейшими задачами для них.
причем во многих случаях не приводятся доказательства сходимости, а также оценки погрешностей, если даже они существуют. Это отнюдь не означает, что описанные методы неприменимы для решения других более сложных задач. ф 2. Метод сеток решения краевых задач для дифференциальных уравнений эллиптического типа Метод сеток является одним из самых распространенных методов численного решения краевых задач для дифференциальных уравнений эллиптического типа'). При изложении этого метода мы ограничимся краевыми задачами для линейных дифференциальных уравнений с двумя независимыми переменными. 1.
Идея метода сеток. Идею метода сеток изложим на примере решения задачи Дирихле для уравнения дти дти ди ди а —,+д — +с — +г( — +й'и=У, дхэ дут дх ду где а, д, с, аг, а; г' — функции независимых переменных х и у, определенные в конечной области 6 с границей Г. Относительно этих функций предположим, что они непрерывны в О+Г, а и д положительны в О+-Г, а д неположительна в ней. Пусть необходимо найти решение уравнения (1), непрерывное вплоть до границы Г. принимающее в точках границы заданные значения г7, т. е.
(2) и~ =у. где г7 — непрерывная функция на Г. Для отыскания приближенного численного решения этой задачи проведем два семейства параллельных прямых: х =хо+1)г (1=0, + 1, + 2, ...), у = ус+ Ы (й = О, + 1, + 2, ...). Точки пересечения этих прямых назовем узлами. Два узла назовем соседними, если они удалены друг от друга в направлении оси х или у на расстояние шага сетки в направлении этой оси.
Будем рассматривать только те узлы, которые принадлежат О+Г. Те г) По поводу применений метода конечных разностей в теории уравнений эллиптического типа см. обзорную статью О. А. Ладыженской, УМН, т. ХП, вып. 5 (77), 1957, стр, 123 — 148. ф 2] мвтод пяток ввшвния квьввых з»ллч для дни.
явлвнвний 413 из них, у которых все четыре соседних узла принадлежат этому множеству. назовем внутренними. Множество внутренних узлов назовем сеточной областью и обозначим через О'. Те узлы, у которых хотя бы один соседний узел не принадлежит к рассматриваемому множеству. назовем граничными, а совокупность их назовем границей сеточной области и обозначим через Р'. Для каждого внутреннего узла (1, И) составим разностное уравнение, заменив в точке (хь+1И, уз+И() производные, входящие в уравнение (1), разностными отношениями, положив, например, и;,» — и,,» 1ди, и» вЂ” и» ('"),-' ' (~, — ' дх )Н, ») 2И (,ду)ня»1 21 , — йе» ° дх~!Н, ») Из ~ — '), = дти') и; »+ — 2и,.»+и; » ду~lо, ю 1» (3) где принято обозначение иь»=и(хь+1И, уь+И1). Обозначая значения коэффициентов уравнения (1) в узле (1, И) через а;», дь», сь», бь».
пь», Л», получим для узла (1, И) разностное уравнение и;+, » — 2ие +иь и; »+, — 2иг»+ и, „ + ь» 1» и;+» — иь 2И и; »+,— иг» +йь " 21 ' — +И;»иь»=уь (4) Такие уравнения можно записать для каждого внутреннего узла. Если увел (1, И) является граничным узлом, то аг» в этом узле положим равным Рис. 26. значению функции э в точке ь, ближайшей к этому узлу, т. е. просто снесем в граничные узлы значения функции и из ближайших к ним точек границы Г.
Таким образом, для отыскания значений а;„ решения во внутренних узлах мы получим систему линейных алгебраических уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных. Если эта система разрешима, то, решив ее, получим приближенные значения искомого решения на конечном множестве точек, являюшихся внутренними узлами. 414 методы вешания див. хвлвнвний в частных пгоизводных [гл. 1() Сразу же возникает ряд вопросов: 1.
Разрешима ли полученная система разностных уравнений и если разрешима, то какими способами она может быть решена 7 2. Насколько будут близки полученные при этом значения к значениям точного решения задачи Дирихле в соответствующих точках г Можно сразу сказать, что погрешность, получаемая при этом методе, складывается из трех погрешностей, имеющих разную природу: а) погрешность, возникающая в результате замены дифференциального уравнения разностным уравнением, зависящая от точности аппроксимации дифференциального уравнения разностным; б) погрешность, возникающая за счет сноса граничных условий с Г на границу сеточной области Г', в) погрешность, возникающая в результате того, что решение разностной системы уравнений, вообще говоря, может быть найдено только приближенно.
Совокупность погрешностей а) и б) дает нам погрешность метода, а погрешность в) есть вычислительная погрешность. 3. Можно ли, неограниченно сгущая сетку, получить решение, сколь угодно близкое к точному решению краевой задачи для уравнения (1), т, е, возникает вопрос о сходимости метода сеток.
В этом параграфе мы постараемся дать ответы на поставленные вопросы для некоторых конкретных краевых задач. 2. Аппроксимация дифференциальных уравнений разностными. Применяя метод сеток для решения краевых задач, мы прежде всего сталкиваемся с задачей замены дифференциальных уравнений разностными уравнениями. Эта замена может быть выполнена разными способами. Один из способов аппроксимации дифференциального уравнения разностным заключается в том, что производные, входящие в дифференциальное уравнение, заменяются линейными комбинациями значений функции и в узлах сетки по тем или иным формулам численного дифференцирования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
