Том 2 (1160084), страница 45
Текст из файла (страница 45)
9 и'х пу чх — =Л(х у з Р) (6) обращающееся в нуль при х = хе. При р = 0 таким решением будет у= — О, г= — О. Следовательно, 7; (х, О. О, 0) = — О, 7; (х. О, О, 0) = — О. Будем предполагать, что 7; и 7', являются аналитическими функциями у, з и р: СО 7,(х, у, г, р.)= — ~з абяу'з'ра, и з, а-.а Г;(х, у, г, р)= ~~ Ьыау'х'р", ила=о (7) тле аг „и ЬОа — непрерывные функции х в некотором отрезке ~а, р), содержащем точку х„, и ряды сходятся при (у~ (р, ~х! (р, ~р~ (р и любом х, принадлежащем !а, р). Так как ~,(х, О, О, 0)=0 н 7",(х, О, О, 0)=0, то а,, в=О, Ьмк,— — О.
Будем разыскивать решение системы (6), обращающееся в нуль при х=х, в виде у (х) = ру,(х) + рРу,(х)-+ ... +- иву„ (х) + ..., 3(х)=р2,(х)+раааа(х)+ .. +р"ав(х)+ ... (8) Сначала определяем функции у„(х) и дв(х) так, чтобы ряды (8) формально удовлетворяли системе. Подставляя (8) в (6), получим: (9) Приравнивая коэффициенты при р в левой и правой частях, находим: — ' = амеУ, + а „г, + аеео Фу~ яг1 †, ' = Л, у, +-Ье1,з1 ) Ь ,. (10) Отыскиваем решение этой системы линейных дифференциальных уравнений, удовлетворяющее условиям у, (хе) = з, (хе) = О. Затем Обозначим правые части (5) соответственно через Л(х, у, г, р) и уз(х.
у, з, р). Теперь нам нужно найти решение системы 4З[ метод мАлОГО ОАРАметРА приравниваем коэФфициенты при рз левой и правой частей: — — ' = а вюуз + аошгз + аооз + аз,пу'", + аозог, + пуз з з л'х + а„,у,г, + а,озу, + а„,г,, (11) — = Ьзооуз + Ьшогз + Ьме + Ьипу1 + Ьозогз + +Ь оу г +Ь Уз+Ьоцг ° При этом последние слагаемые ., ( ) =, + а, у,"+- а „', + „у,, + а,,у, + а „,, 1 (12) оз(х) =Ьовз+Ьмеу~з+Ьвзогз.+Ьыоу,г, +Ь,„,у, +Ьопги 1 и = азсоуз + аозогз+ из (х), "'Уз и'гз — — Ь,шу, + Ьшогз + оз (х), (13) удовлетворяющее начальным условиям у,(хо) = О, г,(х ) =О.
Эта система отличается от предыдущей только свободными членами. Вообще для определения функций у„(х) и г„(х) нам придется отыскивать решение системы —" = аипУ„+ авовгч+ и„(Х), МУи Фㄠ—" = Ьппу„+ Ь„г„-[- о„(х), х (14) удовлетворяющее начальиым условиям у„(хо) = О, г„(хо) = О, где и„и О„авлиютсв многочленами от У,, Уз, ..., Уч з и гз гз ° ° ° гв-з с коэффициентами азуь и Ь;уа. Если нам известна фУндаментальнаа система решений соответствующей однородной системы. то все у„и г„могут быть найдены с помощью квадратур, Установим теперь сходимость полученных таким образом рядов.
Обозначим через М верхнюю границу модулей функций У, и уз при х~[а, р[, [у[(р, [г[(р, [[А[(р. Найдем оценку для модулей коэффициентов азуз и Ьзза. Произведем эту оценку хотя бы дла аззл. Обозначим У=г е'о, г=гзезз, Р,=г,е'о. Здесь О (г,, гз, гз(р. При этом уз(х, у, г, р)= ~~~~~ а г"г'г'"е'зоепаез"'", ГП ЗЗЗ 7з(х, У, г, Р) = ",%~ ага г,"гззг'"е-'зое-аое-™. (16) являются уже известными функциями х. Таким образом, нам нужно иайти решение системы 280 пгивлижзниыз методы вишвния овыкноввнных квдвнвний [гл.
9 Но е((з-з )та), г О, а чьи'„ ~ 2к, а=а'. о (18) Аналпгичные результаты получатся и для остальных интегралов. Таким образом, з з, з СО ~ аьР ~ аф ~ )У')ззИ=8к' ~~) (а ) )згз(згзз)гззт. (19) о о о Заменяя )г')з на М', будем иметь: Мз ) ~, ' а )' гз" гз'гзт. ыт) з з з з,),т-о) Отсюда следует, что Мз) )а )зг'зг"г"" ыт) ( з з или М )аз ~ ~ „, г~гзгз™ (20) (21) (22) Здесь гз могут принимать любые значения от 0 до р.
Для доказа- тельства сходимости мы используем мажорантные ряды. Ряд Ац у" г)р.т з,), з=о (23) будет называться мажорантным по отношению к ряду .Е~ аз) узе))зт, (24) з,(,т-о если при любых а, 1, и Аз)т )~ ! ацт !. (26) Перемножим (15) и (16) и проинтегрируем произведение по р, ( и 9 в пределах от 0 до 2к. Получим: зк зх зм У ррУар1 у!ЧВтз о о о а а...гз+"'г'+)'гт+"' ~ ез(з-з')о()4~ )( ют зч'т' ( 3 3 з,),т,з,н,т -о о зл з е(П вЂ” )')Фа)~Р ~ ез(т-т')зЩ8 (17) о о мвтод малого плвлмвтгл Рассмотрим функцию М (у + а -). н) у+ .+н~' Коэффициент при увя'р"' в разложении этой функции по степеням у, я, р будет положителен и больше чем (27) за+вы ' В силу полученной нами оценки лля коэффициентов аы, Ьог этот ряд будет мажорировать ряды для У, и уо. Тем более, будет мажорировать их ряд для функции М (у+ а+ н) (1+ " ) (267 (28) у+а+в~ Рассмотрим тогда вспомогательную систему уравнений (29) У+ 2+ н~ и найдем ее репоение, обращающееся в нуль при х=хо.
Для этого применим к ней тот же метод, что и для исходной. Функции У, и 2, должны удовлетворять системе уравнений ну~ = Аооу~.+ АоюА~+ 4оог (30) — '= В,,У, +-В„о_#_, +В,о, л'х Те же рассуждения дадут У„)~ ~ у„); 2„)~ ~ г„~ (32) при любом п. Итак, если мы докажем сходимость рядов Ч"„р Угн ~ р г„, (33) то докажем и сходимость рядов (8). Для того чтобы убедиться в сходимости рядов (33), достаточно доказать, что решение и начальным данным У,(х ) = Л, (х ) = О. Применяя метод последовательных приближений к системам (10) н (30), нетрудно убедиться, что 1',>~!у,1; ~,)!и,~ (31) 282 пеивлижвнныв мвтоды вешания овыкноввнных чеавнвний !гл.
9 системы(29), обращающееся в нуль при х=хе, может быть представлено в виде рядов по степеням р,. Положим )г+Л+р=рФ. Тогда система (29) перейдет в аФ 2МФ (1+ Ф) Лх Е(1 — Ф) (34) (35) или (! 2 )„Ф 2М,(х (36) Отсюда !п Ф вЂ” 2! и (1 + Ф) = — (х — хе) -+ ! п С 2М е (37) нли ам Ф вЂ” (а-а,! — Се е (1+Ф)а = (38) Подберем С так, чтобы было выполнено начальное условие. Получим: (39) Итак, Ф е' — (а-а,,! (1+ Ф)' (р+ е)' (40) Обозначим ИХ (аŠ— е' =й. (1+ Ф)' (и+ е)' (41) Тогда Фа+ (2 — — ) Ф+ 1 = б, (42) или Ф= 1+~+ 1 г'1 — 4а (43) Если а мало, то 1 + 1 — 2а — 2аа + а 2а 2а (44) Взяв здесь знак минчс (чтобы Ф удовлетворяла начальным условиям) перед второй дробью, получим: Ф=+а+ааС, +...
(45) Функция Ф при х= хе равна — ". Решим уравнение (34) разде- е' .левием переменных. Получим: (! — Ф) аФ 2Млх Ф(1+Ф) е 283 МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА Таким образом, Ф, а следовательно, и У и л представимы в виде 1 ряла по степеням О, если только 1а) ( —, т. е. если 4' Гм 1х-ха е г (Р+ Р)з 4 ' (46) Д вЂ”,+тау= г(х)у. (47) Вместо уравнения (47) возьмем х'гу — а+ т'У= еу (х) 1'. ххз (48) Очевидно, уравнение (47) получится нз уравнения (48) при а = 1. Будем.
искать решение уравнения (48) в виде (49) У =уз+ ауг+ 'Уз+ Подстановка (49) в (48) даст Уз+ ауг +а уз+ +т Уо+т зуг+т з Уа+ ° ° ° = а 7 (х) 1уо+ ауг + а Уа + Дла опРеделениЯ Уз полУчим УРавнение у + тауо= 9. Его общее решение имеет вид ...!. (50) (51) уз=Асозтх+-Вз)птх. Уравнением для определения у„ будет (52) у„-1-тау„= г(х)у„,. (53) а этого всегда можно достигнуть выбором достаточно малого р. В свою очередь О может быть представлено в виде ряда по степеням р. Тем самым доказана сходимость рядов (33), а следовательно и рядов (8).
Уравнения (29) показывают, что будут сходиться ряды и для производных. Этим мы и закончим доказательство теоремы Пуанкаре. Изложенный метод применим и к уравнениям высших порядков, содержащим параметр. Иногда, если само уравнение не содержит параметра, его можно ввести искусственно. При этом обычно параметр вставляют так, чтобы при нулевом значении его решение получалось без труда. Тогда находят решение в виде ряда по степеням параметра и затем дают параметру такое значение, при котором получается исходное урав 1ение. В качестве примера рассмотрим уравнение 284 пвизлижвнныв методы гяшвния овыкноввнных хвлвнвний (гл. 9 1 /' уя = — / 1 (г) у„, (1) з1 и т (х — 1) И. о (54) Получив решение г' в виде ряда (49), мы затем полагаем а= 1.
Конечно, мы должны предварительно убедиться в том, что ряд (49) сходится при а=!. фактически используют не полные ряды, а лишь их отрезки. Поэтому нужна дополнительная оценка величины отброшенных членов. Метод малого параметра часто используется в теории'нелинейных колебаний. Не останавливаясь здесь на теоретических вопросах, связанных с существованием периодического решения и возможностью его представления в виде ряда по степеням параметра, рассмотрим один пример. Пусть дано уравнение х + ах+ рхз = гт соз М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
