Том 2 (1160084), страница 44
Текст из файла (страница 44)
+(У„(х) — У„,(х))+ ... (57) Если подставить сюда вместо разностей У„(х) — У„,(х) их выра- жения из (55), то получим: Уо(х) — ( е-ьс -О(Ив(1)+Иг(1)+ ° ° ° (аг (58) Отсюда следует, что ряд (57) равномерно сходится, если равномерно сходится ряд Иь(х) + И,(х) + ... + И„(х)-+ ... (59) Дифференцируя (55), получим: У (х)=У„1(х) — И„г(х)+7. ~ е-ь(*-йИ„,(1)аг. (60) х, Отсюда находим, подставляя вместо И„,(х) перед интегралом его выражение через У„, и г": У„(х) =7'(х, У„~)+Ь ~ е-л< ПИ„гЯН. (61) Таким образом, х И„(х) = г (х, У„,) — 7 (х, У„) + Е ~ е-л ( -йИ„, Я Ж.
(62) Тогда последовательность (У„(х)( равномерно на (хв. хе+а! сходится и у(х). Прежде всего отметим, что все функции У„(х) определены в каждой точке отрезка (хь, хе+а(, так как они заключены между У(х) и у(х) и не могут выйти за пределы рассматриваемой области до пересечения с прямой х=хь+а. Далее, рассмотрим ряд 2П э 2) мвтод с. А. ЧАплыгинА В силу условия Липшица получим: Ьв(х) (2Е, / е"х1х-глг„«(С)г(г. Х« (63) причем в качестве Не(х) возьмем ла(х).
Очевидно, что г«„(х) ~( Н„(х). Произведем оценку Н„(х). Для этого выразим все Н„(х) через Н,(х). Подставляя в На(х) выражение Н,(х) через Не(х) и меняя порядок интегрирования, получим: Х Х ( Ф н«х 2«1 ~ «н««м=~««) 1 ' ~ ~$Х ~ «и('« ~ю Х Х, х, (2«'.)а ~ Г(т ~ е-А1х — 1Н (е)«Н=-(2~.)а ~ (х т)е А<х ОНо(т)«(т. (661 Аналогично для На(х) будем иметь: Х На(х) = 2(. ( в-д гх ПНА ()) «Н = Х« Х Ф (2ь)а ~ е-г (х-ю) / (~ т)а-лр- )Н (т)с(т)А1~ ! Х Х =(2«'.)а ( ГИ / (1 — т) е Л1х-мН (т) И= Х„« (2г)а ( (х ~) е-А( -ПН (т) «т.
./ 2 о Х« (66) Покажем по индукции, что Г х-а Н„(х) =(2ь)" ( ( е ~( ПН«(г)ггг. ,у (и — 1)! (67) Определим теперь последовательность (Н„(х)! при помоши рекуррентного соотношения Н„(х) = 2(. / е-А <х-ПН„, (() «Н, (64г Х« 272 пгивлижвнныв мвтодь! гвшания овыкноввнныд вглвнвиий (гл. 9 Действительно, Н„, (х) =(2Е) / е-д! -ОН„Яс!г= оь =(2с) ' / - Ю~ ,/ ( в+с д(„с! ( с)в-с е-дм-ОНо(т) ест~ с!1 = !)! о (2Е.) ( ест о~ е, Но(т)Ж= (2Е)~~ 1 ' " е-дсх-ОНо(т) с1т и! (68) что и требовалось доказать. Обозначим чеРез Мо веРхнюю гРаницУ ло(х) на [хо, х +а).
Тогда Н„(х) ( (~~~ М ~ (х — 1) 'е-с! )В < «( Л'о/ (х — с) ест ~ 'Ио. (2Л)~ !' в-с (2Ла)" П! о/ и! (69) Отсюда следует абсолютная и равномерная сходимость ряда ~~~~~ Н„(х), о-о Поэтому ряд ~~,', йв(х) также абсолютно и равномерно сходится и, я о следовательно, (У„(х)) стремится равномерно к некоторой непрерывной функции у(х).
Покажем, что у(х) будет являться решением дифференциального уравнения У'(х) =7(х, У). (70) (72) Для этого рассмотрим у — У„+у(7(1, У ) — 7(г, у)1си+ул (1)с(1= „(х). (71) оь ~ю Так как У„(х) равномерно стремится к У(х), а л„(х) к нулю, то г„(х) равномерно стремится к нулю. Интегрируя (66) и используя равенства У„(хо) =уо, можно (71) записать в виде х У=уо+- / 7(Ф, У) с11+г„(х). 273 матод с. А.
ЧАплыгинА Отсюда У у + ~ 7 (г. У) ж. (?З) что и требовалось доказать. Так как при любом л (?„(хо)=уо то и г'(хо)=у. Тем самым теорема доказана полностью. В силу теоремы единстве ности решения дифференциального уравнения у(х) =у(х). 4. Метод Чаплыгина приближенного решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка. На этом мы закончим рассмотрение метода Чаплыгина для уравнений первого порядка. Рассмотрим теперь некоторые факты, связанные с применением метода Чаплыгина к линейным уравнениям второго порядка.
Будем рассматривать частное решение уравнения у" (х)+р(х)у'(х)+-д(х)у(х) =г(х), (74) уловлетворяющее начальным условиям у(хо) =у, у'(хо) =у'. Относительно коэффициентов уравнения булем прелполагать, что р (х), д (х) и г (х) — непрерывные функции на некотором отрезке (а, д), содержащем точку хо, а р(х) непрерывно дифференцируема на этом отрезке. Рассмотрим, кроме того, дважды непрерывно дифференцируемую на (а, б~ функцию п(х), удовлетворяющую при х) хо неравенству е" (х) -+ р (х) е' (х) + и (х) е (х) ) г (х) (? 5) и начальным условиям о(хо) =уо, е'(х,) =у'.
Применяя теорему Тейлора, будем иметь: У(х) =Уо+ (» хо)уо+ 2 ' У" (хо)+оНх — хо)Ч (7б) Ф(х) =Уо+-(х — хо)уо+ 2 о (хо)+о((х — хо)а) (77) Так как е" (х,))у" (хо), то при достаточно малом !х — хо~ и х — хо ) 0 имеет место неравенство о(х) ) у(х). Но в отличие от того, что мы имели раньше для уравнения первого порядка, мы уже не можем утверждать, что е(х) )у(х) на всем отрезке, где выполнено условие (75).
Так, рассмотрим уравнение е" +и= о(х), у" +у =0. Частное решение его, уловлетворяющее начальным данным у(0) = =У'(0)=0, будет, очевидно, у(х)=0. Если же взять уравнение то решение его, удовлетворяющее условиям о(0) = о' (0) = О, будет о= ) у(г) В!п(х — г)Ж, о что легко проверяется простыми вычислениями. Функция о может пРинимать отРицательные значениЯ пРи х ) хо, даже если О(х) всюду положительна.
Возьмем, например, р(х) = е-о, где а — не- которое положительное число. Тогда х аз!Пх — свох Р о(х) = е- 'з!п(х — 1)й(=, + —, о Возьмем х = и+В, где В 0 — фиксированное, как угодно малое число. При этом сОВе — ао!ПВ е 1+ ао 1 2- ао При достаточно большом а о(х+В) будет отрицательным, так как отрицательный член аз!по 1+ ао булет преобладать над остальными. Геометрически дело здесь заключается в следуюРис. 23, щем. Синус, стоящий под знаком интеграла, меняет знак, причем положительный множитель при нем имеет относительно большие значения там, где синус отрицателен (рис.
23). Исследуем теперь общий случай. Ввелем функцию 2(х) = = о(х) — у(х). Она булет удовлетворять неравенству 2Р+р(х) 2'+!7(х) 2 ~ 0 (78) и начальным условиям 2(хо)=2'(хо)=0. Наряду с этим неравенством рассмотрим уравнение (Р— р (х) Г' — р' (х) ! + !7 (х) 1 = 0 (79) и пусть г(х) — некоторое его решение, положительное на некотором отрезке !Хо, ХД Е(а, Ы.
Умножим неравенство (78) на 1(х), а уравнение (79) на 2(х) и вычтем из первого второе. Получим: (22 — (" )+р(22+2()+р (а) > о. (80) Но 2'2 — гх2 = (2'г — г'2)'„ )! (2 г + 2г ) +)Р' (Г2) = (Рлг)'. (81) (82) 274 пгиРлижанньш мвтоды гвшвния овыкноввнных твлвнвний (гл. 9 275 9 2! мвтод с. А. чАплыгинА Поэтому неравенство (80) можно записать в виде (г'! — гр)'+ (рЯ ) О. Интегрируя в пределах (хв, х). получим: (г'! — !'г)! +ргг )* ) О (83) (84) пли г' (х) ! (х) — Е' (х) г (х) + р (х) г (х) ! (х) ) О. (86) Поделив на !(х), получим: '(х) — г(х) ~ ( ) — р(х)~ ) О, (86) а отсюда на основании теоремы Чаплыгина о дифференциальных неравенствах для уравнений первого порядка следует, что г(х) . О, Таким образом, если нам удастся найти некоторое положительное решение ! (х) уравнения (79), то на соответствующем отрезке о(х) ) у(х).
Пусть Т(х) — решение уравнения (79), удовлетворяющее начальным условиям Т(хв) = О, Т'(хв) = 1. Может оказаться, что оно не пересечет нигде ось х на !хв, Ы. В этом случае о(х) )у(х) на всем отрезке !х„, Ь!. Пусть теперь найдется такая точка х,~ !хв, б1, где Т (х) пересекает ось х. Покажем.
что при этом найдется такая функция г(х), что для нее будет выполнено неравенство (78) и соответствующие начальные условия, но она становится отрицательной в некоторых точках отрезка (х,, х,+е), где е) О произвольно. Лля доказательства рассмотрим решение Т,(х) уравнения (79), Р удовлетворяющее начальным данным Т, (х,+е) = О, Т, (х,+е) = — 1. В силу теоремы о разделении нулей Решений линейного дифференциального т7г! Т,7х! уравнения второго порядка !хо х,! найдется такая точка х=а, что Т,(а) =О. Х Без уменьшения общности можно считать, что других Рис. 24. нулей Т, (х) между а и ха =-х, +е нет, так как иначе мы могли бы взять за а ближайший слева от х, нУль Т,(х) и за хв ближайший слева от а нУль Т(х). ГРафики Т(х) и Т (х) показаны на рис. 24.
Обозначим через л(х) функцию г" (х) + р (х) г' (х) + д (х) г (х) = Ь (х). (87) силу наших предположений Ь(х) ) О. Для Т,(х) будем иметь; Тг (х) — р (х) Тг(х) — р' (х) Т, (х)+ и (х) Т, (х) = О. (88) 276 пвизлижвнныв мятоды ввшвния овыкноввнных гвавнвний (гл. 9 Как и ранее, умножим (87) на Т,(х), а (88) на г(х) и произведем вычитание. Получим: (г Т~ — гТ,) +(ргТ,)' =йТо (89) Интегрируя в пределах (х„, х,), получим: (г Т,— гТ )/ +(ргТг) )„= ~ 7г(х) Т,(х)пах (90) или г (ха1=- ~ и (х) Т1(х) их. (91) Подбирая в качестве 7г(х) функцию с такими же свойствами, что и в приведенном выше примере, мы сумеем достичь того, что / й (х) Т, (х) Их < О. нли (94) Такая замена законна и о непрерывна, если г чь О.
При этом ("=7(.'+оа), (95) и уравнение (79) перейдет в "+" — р. — р'-+ о = О. (9о) Если использовать для отыскания порога применимости теоремы Чаплыгина уравнение (96) вместо (79), то мы лолжны найти наибольший отРезок [хв, х,), на котоРом сУществУет непРеРывное решение (96). Так как уравнение Риккати, вообще говоря, в квадратурах не интегрируется, то применение метода Чаплыгина к линейным урав- Таким образом, мы получили, что какова бы ни была Функция о(х), удовлетворяющая неравенству (75) и начальным условиям о(хв) =ув, о'(хв) =у,',, на интервале (хр, х,) всегда о(х) ) у(х). С другой стороны, какое бы а ) О мы ни взяли, найдется такая функция о(х), для которой выполнены неравенство (75) и начальные условия ос(хо) Уо' о ~хо) Уо' но о(х1+а) (У(хг+е).
Точка х, называется порогом применимости теоремы Чаплыгина. Порог применимости можно находить и иначе. Для этого в уравнении (79) произведем замену а=— (93) 277 ф 81 мвтод малого плвамвтвл пениям второго порядка встречает большие затруднения. Еще большие трудности возникают при использовании метода Чаплыгина для линейных уравнений высших порядков, для нелинейных уравнений вьшших порядков и систем уравнений. Поэтому этих вопросов мы здесь касаться не будем. ф 3. Метод малого параметра (2) — + т = Р, (х, у + в (х), я +- ф (х), р+ Лв) ля вф — + — = Р'а (х, у + ф (х), а + ф (х).
р + ) в) (4) или ку д —— - г, (х, у + ч (х), г + ф (х). и + Лв) — — ~, Фф кх =Ра(х, у+ч(х), а+ф(х), р+Лв) — —. В ряде механических и физических задач приходится сталкиваться с дифференциальными уравнениями, содержащими некоторые параметры. При этом иногда удается найти частное решение дифференпиального уравнения для некоторых фиксированных значений этих параметров, удовлетворяющее начальным условиям. Тогда пытаются разыскивать решение дифференпиального уравнения в виде ряда по степеням Лг — Л), Лз — Лз... Ла — Ль, где Лп Л,,..., ˄— м <о> м вхолящие в уравнение параметры и Л,, Лв...,, Ль — их частные значения, при которых найдено частное решение. Возможность такого разложения при некоторых предположениях о дифференциальных уравнениях была впервые изучена Пуанкаре в его книге «Новые методы небесной механики» в 1892 г.
Сейчас мы приведем его теорему. Для сокращения записей ограничимся случаем системы двух уравнений и одного параметра. Пусть нам дана система — = Р,(х. У, У, Л), ~ — = Р,(х, 1', 2, Л) 1 и требуется найти ее решение, удовлетворяющее условиям: при х=хо У=)в 7=7в. Предположим, что при Л=Лв мы умеем находить такое частное решение и оно будет у = ф (х); д = ф (х). Введем новые переменные и параметр следующим образом: у= у — р(х); я=2 — ф(х); р=Л вЂ” Лв. (3) После подстановки в систему получим: 278 пвивлижзнныв мвтоды вишвния овыкноввнных твлвнвний (гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
