Том 2 (1160084), страница 39
Текст из файла (страница 39)
"аеь г "азнв оаеа, 2 "а+2, 2 (80) Рассмотрим пример на применение этого метода. Ниже приведены матрица четвертого порядка, для которой ищутся собственные значения и собственные векторы, и результаты итерации с ее помощью вектора ( — 1, 1, О, 0): — 2 — 7 0 — 1 1 — 5 — 1 0 1 — 2 — 3 — 1 1 — 4 — 2 0 1(ак видно из этой таблицы, отношения соответствующих компонент последовательных итераций ведут себя довольно беспорядочно, — 1 3 — 4 — 28 304 — 1 872 8 896 — 33 728 91 904 — 60 672 1 2 — 33 203 — 919 3 181 — 6 081 — 9 857 216 433 — 1 538 083 0 — 1 — 1 40 — ЗЗЗ 1 942 — 9 065 34 136 — 92 889 63 050 0 1 — 2 5 — 12 29 — 70 169 — 408 985 имеют место перемены знаков.; Это указывает на наличие ных корней.
Уравнение для определения Л, и Ла будет 1 — 33 728 — 9 867 91 904 216 433 = О. га — 60 672 — 1 638 083 комплекс- иметь вид (81) Отсюда ее+8 02е+ 20 05 0 е= — 4,0! + 1,99й (82) (83) Точные значения корней в данном случае будут г= — 4+ 21, (84) У нас получились довольно грубые значения. Это объясняется тем, что мы провели недостаточное число итераций и, вообще говоря, корни определять было еще рано. После того как будет решено уравнение (79), можно найти н собственные векторы. Из равенств (76) получаем: А о — Л,А о = ааЛз (ла — ?.() х), ье) — а — л, А +'о — ЛаА о=к)Л) (Л) — Ла)хм (85) Эти результаты можно обобщить на случай, когда имеется более двух равных по модулю или близких по модулю собственных зна- чений.
4. Некоторые замечания об отыскании собственных значений и собственных векторов матриц общей структуры. Рассмотрим теперь кратко случай, когда матрица не является матрицей простой структуры. Если элементарные делители А — Л! имеют вид (л — Л,)к, (Л вЂ” Л,)", ..., (Л вЂ” ? )' (86) (некоторые Л; могут совцадать), то найдутся такие векторы: е((), е(а), ..., е(а,) (1= 1, 2, ..., т), (87) что Ае)'=?(е)); Аеа~=Л(еа +е,); ...; Аешь~=Л(ел~+ею ). (88) Общее количество векторов е(' равно порядку матрицы п, и их можно принять за базис и-мерного векторного пространства.
Запишем произвольный вектор о в виде о=а~)пе))+-и(певзп+ ... +за)е)()+аде~)'+а(а)ез()-4- ... 00 (а) (т) (чг) (т) (т) ... -(- ил ее = о, + оа + ... +-о„,. (89) (т) (т) 242 вычислвние созстввнных ~значений и ввктогов млтгиц )гл, 8 8 71 итврлционныв мвтоды отысклния совстввнных знлчвний 243 =А (Л(е, + ЗЛ(е( (+ЗЛ(е,-з+е;-з) = р з 3 (р з (С, (() (И = Лр(е(9+ Лр( ~Сре~'~ (+ Л(' с.'ре('~ з+ .. ° +С~р Лр1 е( ° (9()) При /= 1 получим: Аяе,' = ЛРе( ' (91) Таким образом, А%(=ЛР1(а((1(е~о+ав~ие~н-+ ... +-аул(е)1)+ЛР( 'Ср(а(з(е~(П+ + аз е з + ... + ар,ел — ()+- 1~ зСр (аз е, + аз е з + И) (9 ((1 (П з р-3 з ( (Н (() гй (Ц За норму вектора с примем величину (92) / з з ((О(( = $/( ~~'.( ~з (а~'! .
(93) Тогда из (92) следует: р- р-л.(-( (; — ( (П ((1(( А .— Л. ( С' «А рв О (~ АРо((( (94) Таким образом, с увеличением р вектор А%, будет все больше и больше приближаться цо направлению к вектору е(( ~, если только ((1 а~.',~ Ф О. Аналогичная картина будет наблюдаться и с остальными компонентами с( вектора с. Из только что полученного результата можно сделать следующие заключения. При возрастании р вектор А% будет неограниченно приближаться к инвариантному многообразию, порожденному векторами (87), соответствующими наибольшим по модулю собственным значениям. Если Л,— единственное наибольшее по модулю собственное значение кратности единица, то будут справедливы те же выводы, которые мы делали для матриц простой структуры.
Если >ч — единственное наибольшее по модулю собственное значение и кратность его больше единицы, то поведение вектора А% будет определяться элементарными делителями матрицы А — Л7, соответствующими собственному значению Ло Если все они простые, то исследование проводится так же, как и для матрицы простой структуры. Если имеется Здесь о( принадлежат инварнантному для матрицы А линейному многообразию, построенному на векторах е(', ез(, ..., ез .
(() (н (и В силу равенств (88) при р) л( и л()~/) 1 будем иметь: 244 вычислвнив совстввнных знлчвний и ввкторов матриц (гл. 8 элементарный делитель (Л вЂ” Л,)" с наибольшим и, то при больших р вектор А о будет находиться в инвариантном многообразии. порор жденном некоторыми векторами е~~~1, ез), ..., е)," системы (87), соответствующими Л,, Все векторы л этого многообразия будут обладать свойством (А — Л,7)" и = О или А и — СлЛгА и+СллА~ и-4- ... -+( — 1) Льи=б, (95) Поэтому при достаточно больших р векторы А%, Ар+ о, ..., Ар~"о будут связаны линейной зависимостью вида (95).
При этом Л, находится из уравнения Л вЂ” СлвЛ1Л +.Сьлгл" — ... -+ ( — 1) Л~ — — (). — Л ) = О, (96) Если имеется несколько элементарных делителей наивысшей степени, то в характере поведения векторов А% изменения не произойдет, по вместо уравнения (96) получим уравнение (Л вЂ” Л,)ы = О, где 1 — число соответствующих элементарных делителей. Аналогично исследуется случай, когда имеется несколько различных максимальных по модулю собственных значений. В каждом таком случае при достаточно большом р векторы А%, АРе'о, ... ..., АР+ о будут связаны некоторой линейной зависимостью вида Ар+%-+р,Ар+" 'о-+ . + р„,Ар+'о-+р„А%=0. (97) При этом максимальные по модулю значения Л; находятся из уравнения л'.+р,л"-'+ ....+р„,л.+р, = О.
(98) Так как подробный разбор всех возможных случаев потребовал бы длинных рассуждений и так как матрицы, не имеющие простой структуры, встречаются сравнительно редко в вычислительной практике, мы этим заниматься не будем. Желающих изучить эти вопросы подробнее отсылаем к специальной литературе (см., например, К.
А. Семендяев, О нахождении собственных значений и инвариантных многообразий матриц посредством итераций, ПММ, т. 7, 3, 1943, стр, 193 — 222). 9 8. Ускорение сходимости итерационных процессов при решении задач линейной алгебры В шестой главе были рассмотрены итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений и в предыдущем параграфе рассмотрены итерационные методы отыскания собственных значений матриц.
На практике часто случается, что при применении этих методов нужно произвести очень много итераций для получения а 8! аскогвнив сходимости итвглционных пгоцвссов 245 результата с требуемой точностью. В связи с этим возникает необходимость применять те или иные методы ускорения схолимости. В этом параграфе мы и рассмотрим некоторые из метолов ускорения сходимости лля указанных выше задач. 1. Ускорение сходимости итерационного метода решения систем линейных алгебраических уравнений.
Общие замечания. Стационарный итерационный метод решения системы линейных алгебраических уравнений Ах= Ь можно записать в виде х„, = Вхь+СК где В и С вЂ” такие матрицы, что В+СА =1 (см. главу 6). Из (2) следует ха. — х=В(хь — х) (2) (3) или х„ч,— х=В " (хз — х). йег (5) Обозначим максимум модуля собственных значений матрицы В через ),. Пусть р — наивысшая степень элементарного делителя, соответствующего наибольшему по модулю собственному значению Тогла из формулы (94) предыдущего параграфа следует, что прн больших значениях л будет иметь место асимптотическое равенство !!ха, — х)! С~+',)."+ г!(х — х!), (6) В связи с этим будем численно характеризовать скорость сходи- мости итерационного процесса (2) величиной В(В) = — 1ой.'. (у) При этом скорость сходимости будет примерно обратно пропорциональна числу итераций, необходимых д;я получения решения с заданной точностью.
Систему (1) можно бесчисленным множеств ам способов привести к зилу (2). В силу изложенного это нужно ле ыть так, чтобы максимум молуля собственных значений матрицы В был возможно меньшим. Рассмотрим случай, когда В=)(А) и С=а(А), где у и и — некоторые многочлены.
Условие (3) в данном случае примет вид ) (А) + сг(А) А = /. (8) Если обозначить собственные значения матрицы А через ла (1=1 2 ° ., п), то для схолимости итерационного процесса (2) нужно потребовать !У()„)!=!1 ~()ч)Л,.<<1. (9) 246 вычисление соБстВенных знАчений и ВектоРОВ МАтРиц (гл. 8 У (О) = 1. (10) Многочлен 7(Л) должен иметь наименьший максимум модуля на отрезке (В», Л41 среди всех многочленов данной степени а, удовлетворяющих условию (10). Мы уже решили такую задачу в главе 6. Искомый многочлен будет равен (11) где т,(х) — многочлены Чебышева, наименее уклоняющиеся от нуля. При этом шах (7(Л)!= (1 'е!" м! ( т,( ~ "-)) (12) и сходимость обязательно будет иметь место.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
