Том 2 (1160084), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Р., Теорня матриц, Гостехиздат, 1953, глава Х, з 7). Из равенства (35), в частности, следует: р. т» ) ).» ) р т». (37) Неравенствами (37) можно воспользоваться, если известны собственные значения В и В 'А. Рассмотрим, например, такой случаЯ. Матрица С получается из матрицы А путем деления строк А последовательно на положительные числа р,, ра, ..., р„. Этот процесс можно записать как умножение А справа иа В ', где В=ор,...о (38) Поэтому, если т» — собственные значения С, то т» шах(ра) ) )ч ) т, ш1п (р„). (39) Дадим теперь ряд оценок максимальных и минимальных собственных значений действительной положительно определенной матрицы А.
Обозначим через»( определитель А и через  — след матрицы А. Рассмотрим  — »и Л,+Л,+ ... +Л»,+)ч„4 ... +Л„ и — 1 и — 1 (40) ления собственных значений. Сформулируем теперь некоторое уточнение принципа Релея. Рассмотрим наряду с симметрической действительной матрицей А еще положительно определенную действительную матрицу В.
Будем обозначать собственные значения матрицы В через р». О<рт<ра< ... <р„. (34) Собственные значения «», 1= 1, 2, ..., и, матрицы В 'А также действительны и их можно определить при помощи соотношения гч = ш1п шах (Ах, х) (35) (Вх, х) е»а Здесь ищется минимум при всевозможных значениях с»» максимумов записанного отношения для всевозможных ненулевых векторов х=(х„ха, ..., х„), компоненты которых связаны ! — 1 соотношениями: 223 опгедвлвнив гглниц совствянных знлчвний Ф 6! (41) Так как среднее арифметическое положительных чисел не меньше чем их среднее геометрическое, то будем иметь: (42) Неравенство можно усилить, если заменить в левой части неравенства )ч на )ч, а в правой части )ч на нуль.
Тогда получим: (43) Неравенство (43) дает оценку минимального собственного значения А снизу. Воспользуемся теперь (42) для того, чтобы получить оценку наибольшего собственного значения сверху. Преобразовывая (42), получим: — гу ) <Л вЂ” (л — П 1/ (44) Если подставить в правую часть вместо )ч любое число р, превышающее собственные значения А, то получим оценку сверху для собственных чисел А: "-' Г ~~ ).
( 5 — (л — 1) ф/ И и (46) В качестве р можно взять, например, 5. Эту оценку можно уточ- нить, воспользовавшись рекуррентной формулой (46) о = Р г ~~ Ра ~~ Р з ~~ (47) для которой Вш ра= ро > Х ° ь .ь со (48) Можно показать, что р =х"-', где х является наибольшим полоо о о жительным корнем уравнения х" — у")~ л (х — у)у"-'. о-1/ : Г л , = о' — (л — 1) ил Получим убываюшую последовательность чисел о-! хя — 8х+. (л — 1) У « = О Неравенство (43) также можно уточнить. При (49) х)у. 0 имеем: (50) Положим здесь 3=х, у=5 — Л; и применим (42).
При этом получим: Лг)) 5 — тг' у' — пг((п — 1)" '. (51) Зта оценка лучше, чем (43). Последние неравенства можно использовать ие только для положительно определенных матриц. Пусть А произвольная действительная неособая матрица. Матрица А'А будет симметрической и положительно определенной. Обозначим собственные значения А'А через Р;: (52) При этом, если )ч — собственное значение А и х; — соответствующий собственный вектор, то из Ах; = Лгхг (53) следует (Ахь Ахг) = ЛгЛг (х '.
хг) (54) нли (х», А'Ахд (хь хг) (55) В силу принципа Релея будем иметь: (56) Таким образом .г ш(п!Л,!)~УР1)~!г(~~Г ("~ ) (57) где г( — определитель А и 5 — след АА', т. е. 5 = л,' и', . ва 1 Полученные нами для симметрических матриц результаты переносятся и на эрмигповм магпрпнм. Матрица А называется эрмитовой. если А=А' (здесь черта над А означает комплексную сопряженность). Все собственные значения эрмитовой матрицы — действительные числа.
Она имеет п взаимно ортогональных собственных векторов. Принцип Релея применим к эрмитовым матрицам, только вместо (х, х) и (х, Ах) нужно брать (у, х) и (у, Ах), где у — вектор, компоненты которого комплексно-сопряженные по отношению к компонентам х числа. Следовательно, все оценки, основанные на принципе Релея. сохранятся с соответствующими видоизменениями. Так же можно перенести и остальные оценки. 224 вычислзнив совстввнных знлчвний и ввктовов млтвиц [гл.
8 2. Случай несимметрической матрицы. В главе б мы доказали, что любая норма матрицы больше модулей ее собственных значений. Этим можно воспользоваться для оценки модулей собственных значений сверху. В частности, мы получим: шах ~~' ~ава () ~Лг~, 1 а 1 (у=1, 2, ..., л). (58) вах ~ ) аы ) ~ ~Л)~ в Если использовать третью норму матрицы, то получим уже известное неравенство (56).
Неравенства (58) можно также записать в виде ~Лг! <пнп шах~~.",)агь~, вах.в' ~ага) 1 а-1 а Рассмотрим наряду с матрицей А еше матрицы В = — (А+ А'), С = — (А — А'). 2 2! (60) Это — эрмитовы матрицы. Пусть ху —— (хв„хвв, .... хаев) — нормированный собственный вектор А, соответствуюший собственному значению Л~ — — а)+ф~. Тогда а„ху, х~, — — ау+- фа, Ов 1 (61) Х, „= — е. Ов 1 Отсюда а) = ~, Ь„вх~вх~„, Ов 1 (62) и с„х)вх „, пв где б„и с„— соответственно элементы В и С. Из (62) получаем: !и~! < '5' ~ь„в~)хув'йху,~<1 ~~)' ~5„~(~х~в!'+~х)г~~)= Ов 1 1',в 1 в в = †,' ~ ~ 5,.
~ +4 ~ ~ 5,.~. (63) В-1 Таким образом, [ц ! <ВаХ ~~", ~бгв )=ВаХ ~Л115вве в в 1 в 1 (64) 6 6) опваделвниз гглниц совствзнных значзний 22$ Аналогично найдем: л л ~ р1! С щах ~ [ с„~ = шах ~ ! с„~. в .1 в 1 (66) Мы получили оценки действительной и мнимой частей собственных значении. Уточним несколько последний результат. Если обозначить собственные значения эрмитовой матрицы В через рг~(ра~( ...
~~рл, а собственные значения эрмитовой матрицы С вЂ” через», (», (... ... (»л, то в силу принципа Релея из (62) следует: Р, (к1~(Р.л, »1(~)1(» . (66) Это — более точные оценки, чем (64) и (66), хотя их использование связано с получением собственных значений матриц В и С. Пусть матрица А действительная. Тогда матрица В будет симметРической и дла полУчениЯ Рг и Рл можно использовать пРиведенные ранее оценки. Матрица О =1С = — (А — А) будет действи- 1 г 2 тельной кососимметрической. Такая матрица может иметь только чисто мнимые или нулевые собственные значения. Действительно, если Л вЂ” ненулевое собственное значение Р и х Ф 0 — соответствующии собственный вектор, то будем иметь: Л(х.
х)=(Ох, х)=(х, О'х) =(О'х, х)= — Л(х, х) (67) или Л= — Л, (68) Так как элементы Π— действительные числа, то собственные значения будут попарно сопряжены. Обозначим ненулевые собственные значения О через + 1р„+ 1ра, ..., + 1рв (2г ( и). (69) Собственные значения С будут отличаться от собственных значений Р только лишь делителем 1. Поэтому )~11(шах~ра!. Оценим шах ) ра ). Сумма попарных произведений собственных значений О будет равна (70) и в то же время она равна коэффициенту при Л' в разложении определителя ~Л7 — О1 по степеням Л, Последний коэффициент равен сумме всех главных миноров второго порядка матрицы О. (Глав- 226 вычисление совстввнных значений и ВектОРОВ млтРнц (гл. 8 ными минорами порядка )а матрицы О с элементами 8((« называются миноры вида Л(,1 " Л), в) 1818 ввв« (71) вг.
'«11 '«'8 " ' '«'« где 1<11< (з « ... 1«< и.) В нашем случае будем иметь: Р,1,+-р;+ ... +р.а='~~ ~ ' "" ~='~~ (',*.. (72) тСв тС8 Обозначим так) 8(„8) = п)ах " " через и; При этом из (12) 2 следует: т 1)84!'(Х!(8 Р=Х)( ° < И П а'. (73) 11 т<8 Отсюда ~1 2 (74) Эта оценка менее точна, но осуШествляется проше. В заключение этого параграфа покажем, что если обозначить ..,''„~а„~ =Р;, чв, '(а„) =(,)„ (75) 8 (8Фт) т ! (та«) то каждое собственное значение ), матрицы А лежит по крайней мере в одном из кругов )а — и„т) <Р, (76) и по крайней мере в одном из кругов )л — авв~ <Ов, Пусть ). — собственное значение А и х =(х,, х„..., ветствуюший собственный вектор. Тогда (77) х„) — соог- ,).", а„хв =)хт (т = 1, 2, ..., Н).
(76) Пусть так(х((=1х„!. При этом из яхт — а,„х,= .~', а„,х, 8 1 (в „с. т) (79) э 61 ОНРвдвлзниа ГРАниц совствзнных знАчзний 227 ~Л вЂ” а„/!х„~ (Р,/х,!, (80) и так как !хг~ чь О, то получаем (76), Если провести эти же рзссувсаения для траиспоиироваииой матрицы, имеющей те же самые собственные значения. то получим (77).
Утверждение доказано. Из (76) и (71) снова следует (59). Кроме того, если г( = ш$ и ( ~ а„/ — Р„) ) О, то ф 7. Итерационные методы отыскания собственных значений и собственных векторов матриц П Отыскание наибольшего по модулю действительного собственного значения матрицы простой структуры.
Случай симметрической матрицы. Будем предполагать сначала, что матрица А имеет простую структуру. Это значит, что если порядок матрицы А равен и, то имеется а линейно независимых собственных векторов А. Обозначим собственные значения матрицы А через лр )Л, ~)~))я!)~... ... ) ~Л„), и соответствующие им линейно независимые собственные векторы — через х„хз, ..., х„. Произвольный вектор е может быть записан в виде е = а!х1 + аехз + ° ° . + ачхя' Образуем последовательность векторов: Ае=а,Л,х1+азЛзхз + ... +-а„Л„х„, 1 Азе= а1Лгхг+ азЛзхз + ° .. +а„Л„х„, А о=а1Л1х1+-азЛзхз+ ...
+аз) хч. ь — к — в— к— (2) Вынося в последнем выражении Л~ за скобки, получим: ) к А"о=Лг ~а,х,+-аз( — „) х,+ ... +а„~ — ") х„]. (3) При этом если а, + 0 и ~)., ~ ) ~)ч~ для 1) 2, то ь А е=Лга,х,+-0~( — ') ]. (4) Таким образом, для достаточно больших э вектор А о будет близок к собственному вектору матрицы А, соответствующему наибольшему по модулю собственному значению, Может случайно оказаться, что а,=О, т. е. компонента е по направлению вектора х, равна 228 вычислвииа совстввнных знлчвиий и ввктогов матгиц [гл. 8 следует: ф 7( итеРАцнонные метОды ОтыскАний созственных знАчений 229 нулю. Однако это не изменит принципиально наших выводов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
