Том 1 (1160083), страница 67
Текст из файла (страница 67)
если 5а(х) — частичная сумма соответствующего ряда, то ь ! Пп / р (х) [/(х) — Ь„(х) 1з т(х = О. а+ ар а Во многих случаях, встречающихся на практике, полученная нами сходимость в среднем бывает недостаточна. Нужна либо обычная сходимость, либо даже равномерная сходимость. Пусть Яа(х)) — ортонормированная на (а, (т) система много- членов с весом р(х). Тогда функции г (х) ~(.а(р) буде~ соответствовать ряд Фурье по этой ортонормированной системе / (х) — ~~)~~ сь(гь (х), ь-а где з сь = ~ р И) рр (г) Ре И) Ж(. а Следовательно, а ь 5а(х) = ) сЩ (х) = ~ Ц, (х) ~ р (Г) У'(() Яь(() су = «-о [гл.
5 42Е сРеднекзАЕРАтичные пРиближения Обозначим а (~а(х 1)= ХЯЛ(х)ЯЛ(Г). и-о На основании тождества Кристофеля — Дарбу Оа, (Г) О„(х) — Оа, (х) ()а(Г) Ка (х, Г) = аа, а.Р1 г — х Таким образом, и 5а(Х)= ~ р(Г)Г'(Г)а„„Э, "+' " "'Р Ж. г — х а В частности, если У(х) =1, то при любом а 5„(х) =у(х) и, следовательно, 0„„(г) 43„(х) — О„„(х) 0 (х) а Умножая обе части последнего равенства на У(х) и пользуясь тем, что интегрирование ведется по 1, мы можем записать: О„+, (г) <~а(х) — 0„+, (х) О„(г) г — х а Отсюла 5„(х) — г (х) = =а,,„„~ р(1) [О„,(Г)О„(х) — Я Ж1(х)Я„(1)(Ф.
у(г) — у(х) а Оценим величину ь а„„, = ~ р (х) хО„Р, (х) Оа (х) дх. а Если предполагать, что коэффициенты при старших членах О„(х) положительны, то аа а+, Р О. Далее, аа,а+1.( С ~р (х) ! Фа+1(х) Яа(х) ) с(х, а э 61 сходимость гидов по огтогонлльным систвмлм многочлвнов 429 где через С обозначено наибольшее из чисел !а! и 1Ь1, По неравенству Буняковского ь г ° а„„, (С ~ Р(х)Оч„~(х)~Ух ° )/ ~ Р(х)Оче(х)с(х= С. е а Обозначим а,„„+, — — С0„.
При этом О ( 0„~ 1 и получаем: 5„(х) — у (х) = = 0„С ~ р (С) у( ) у( ) [О„„, (С) О„(х) — О„э, (х! О„(С)! дС. а Пусть функция р(!) = у(с) — у(х) принадлежит Ез (р). Обозначим коэффициенты Фурье этой функции по ортогональной системе Яь(х) через Нь. Очевидно, Ие О при я -+ сю. Поэтому если (;!ь (х) равномерно ограничены в точке х, то !ип 15„(х) — г(х)1 = Иш 0„СЦ„(х)с(„+, — О„+с(х)д„1 =0 с (х) = ~~ сьОь (х).
в-о Если многочлены се (х) равномерно ограничены на всем отрезке 1а, 01, то наше утверждение будет справедливо для любой точки х ~ 1а, Ь1 при меньших предположениях о р(с), а именно достаточно потребовать, чтобы существовал интеграл ~ Р (С) р (С) сСЕ а Выражение ь ~ р (!) 1К„(х, с) ! с(г = ля (х) и называют фуннпией е)вбегя ортонормированной системы Я„(х)1. Справедлива т е о р е и а: Если с (х) — непрерывная функция, удовлевсворяюсяая услоаисо !ип Е„(х) Еи (У ) .= 6, (гл. 5 430 сРеднеквАдРАтичные пРЯБлижения то ее ряд Фурье по ортогональной системе О„(х) сходится в точке х.
Действительно, если Р„(х) является многочленом наилучшего равномерного приближения для у(х), то ) Рч(х) — У(х) ) < Е„(У) Следовательно, ь !Р„(х) — Е,(х) ~ = ~р(!) (Р„(!) — ) (г)) К„(х, !) б! < С„(х) Е„(у). а Но тогда ! У (х) — 5„(х) ! ~( ~ У(х) — Рв (х) ! -+ ! Р„(х) — 5„(х) ! < < Ев (У) + У „(х) Е„(У') и правая часть стремится к нулю при п -+ со. Будем называть звр (.„(х) числами Лебези.
Если иБ(в ь! !Пп 3 Ен (У) = О, то, как следует из последней оценки, ряд Фурье функции з (х) по ортогональной системе (!;)„(х)) будет равномерно сходиться к У(х). При различных весах р(х) мы получим различные условия, которые нугкно наложить на функцию г(х) для того, чтобы ее пяд Фурье по соответствующей ортогональной системе сходился к г'(х). Но при любом весе свойство непрерывности )'(х) не обеспечивает такой сходимости в каждой точке отрезка (а, Ь), Зто было показано В. Ф.
Николаевым, Исследование сходимости рядов по ортогональным многсчленам очень сложно, и мы не имеем возможности излагать здесь все тонкости вопроса. Ограничимся перечислением некоторых фактов, связанных с теми ортогональными системами, которые были приведены ранее, Для многочленов Якоби справедлива следующая т е о р е м а: Если у(х) имеет на [а, д) непрерывную производную порядка р, где р — наименьшее целое число, большее или равное 2 шах(а, р)-+2, ! а шах (а, р) >~ — —, гпо ее ряд Фуры по многочленам Якоби равномерно сходится к г'(х).
В частности, для многочленов Лежандра р=2, Для многочленов Чебышева первого рода р = !. Можно показать, что равномерная сходимость в ятом случае будет иметь место, если потребовать лишь ограниченность первой производной. Для многочленов Чебышева второго рода р = 3. Здесь также возможно уточнение теоремы. а именно достаточно потребовать выполнения для функции г'(х) условия Дини — Липшица: Ипз ы (3) ! и 3 = О Е-Рь ч 6[ сходимость гадов по огтогонлльным систвмим многочлвнов 431 (ы(6) — модуль непрерывности у(х)), т. е. ы(6)= зцр [у(х) — у(у)[. /х — к)<ь для того чтобы обеспечить сходимость ряда по многочленам Чебышева второго рода на отрезке [ — 1, — 1[ и равномерную сходимость на всяком отрезке [ — 1 +л, 1 — л[, 1 ) й ) О. Для сходимости рядов по многочленам Лагерра достаточно потребовать, чтобы функция У(х) была кусочно-гладкой на [О, оо), н сходимости интеграла т «1 / е ' х' ' [у(х)[г(х.
а При этом в точках непрерывности У(х) ряд сходится к У(х), а в точках разрыва к — [У(х+О)+ У(х — 0)[. 1 2 Ана;югичные условия достаточны для сходимости рядов по многочленам Эрмита. Первое требование здесь сохраняется, а вместо предыдущего интеграла требуется ограниченность [ х [ е-т'у'(х) г!х. Равномерная сходимость рядов по ортогональным многочленам к заданной функции имеет практический интерес, так как если нам необходимо достаточно хорошее равномерное приближение функции с помощью многочленов, то в случае равномерной сходимостп ряда за приближающий многочлен можно принять частную сумму ряда, построение которого во многих случаях достаточно просто.
П р и м е р. Построить многочлен, равномерно приближающий функцию на отрезке [ — 1, +1[ с точностью 0,0005. Функция у(х) непрерывна вместе с производной у" (х) на отрезке [ — 1, +1[. Следовательно, ряд Фурье этой функции по многочлекам Чебышева первого рода сход тся к ней равномерно. Поэтому будем искать многочлен, равномерно приближающий функцию У(х). как частную сумму ряда Фурье по многочленам Чебышева. Разложение у(х) по многочленам Чебышева легко получить следующим образом. Известно разложение !п(1 — 2асозб+аз)= — 2 У вЂ” соза6 ([а[(1), л! и и 1 432 [гл.
5 севднеквлдвлтичныв пеивлижиния 1 Положив здесь соз б = х и а = —, получим: 4 ' в 17 хь сч 1 жч ! п [ — — — ) = — 2 ~ — соз (л агссоз х) = — 2~ — Т (х) [,1б 2 ) .йв 4"л .ЛМ вил а 1 л- в ( — 14 х (1). Если за приближение функции будем принимать сумму первых л членов этого разложения, то погрешность не будет превосходить величины [р„(х) [~( 2 ~ — „[ Тв (х) [ ~( 2 ) 4 л л» 1 2 ~п 1 2 л+ 1 лы 4ь 3(л+ 1) 4л ' ь-ю.н Нам необходимо взять л таким, чтобы [р„(х)[ < 0,0005, [х[ ( 1, для этого достаточно потребовать, чтобы имело место неравенство 2 3( +1) 4" с.0,0005.
Наименьшее целое значение л, удовлетворяющее этому условию, будет л = 5. Таким образом, за многочлен, приближающий 7'(х) с точностью до 0,0005, можно взять 5 (х) = — —, Т (х) — — Та (х) — — Т (х) — — Т (х)— 1 1 1 1 2 ' 16 96 в 512 1 31 241 7 а 13 в хв хв — — Т (х) = — — — х — — ха — —,хв — — — —. 2660 в 612 612 64 364 64 160 ' Используя то же самое разложение по многочленам Чебышева, можно получить многочлен пятой степени, дающий на отрезке [ — 1, +1] приближение функции 7'(х) с точностью до 0,0001, Для этого нужно поступить следующим образом. За приближающий многочлен возьмем Ьв(х).
Многочлен Яв(х) уклоняется от Г(х) на отрезке [ — 1, +!) не более чем на в =0 00002 3.7 4в В 5 (х) многочлен Т,(х) войдет с коэффициентом — —, а х— 2 в в б 4в 32 2 с коэффициентом — . Из теории наилучших приближений о ° 4 8 7[ пгивлижвния еянкций тгигономвтгичвскими многочлвнлми 433 мы внаем, что на отрезке [ — 1, +1[ наименее уклоняется от нуля многочлен 1 3 9 1 — 1 (х)= х' — — х'+ — х' — —, 24 4 2 16 32 ' 1 причем величина этого уклонения равна —. Таким образом, если 22 ' мы заменим х' многочленом Р (х)= — х — — х + —...
— 4 2 2 16 32 ' являющимся многочленом наилучшего приближения к хя на отрезке [ — 1, +1[ в совокупности многочленов степени не выше 1 пятой, то мы совершим погрешность не более —. Заменяя в 5 (х) 32 ' 4 2хя 2Р, (х) член — — многочленом —, мы совершпм погрешность 6,14 6 44 не более чем — — 0,00008. После подстановки и приведения подобных членов получим много- член пятой степени, уклоняющийся от г(х) на отрезке [ — 1, +1[ не более чем на 0,00002 + 0,00008 = 0,0001, т. е. мы получим в пять раз лучшую точность приближения с помощью многочлена той же пятой степени.
Аналогично можно показать, что многочлен 52(х), уклонение которого от У(х) на отрезке [ — 1, +1[ меньше*0,0005, можно тем же приемом преобразовать в многочлен четвертой степени, уклонение которого от 7(х) также не превосходит 0,0005, Па этом пути часто удается постр4 ить многочлены, дающие очень хорошие приближения к заданной функции г(х). ф 7. Среднеквадратичные приближения функций тригонометрическими многочленами Если исследуемая функция г'(х) является периодической.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
