Том 1 (1160083), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Тогда ()„(х) можно представить в виде );)а(Х) =(Х вЂ” и,)(Х вЂ” аа) (Х "Ь))1а-Ь(Х)=РЬ(Х))1а Ь(Х) (й<и). ГдЕ ЧЕРЕЗ и) ОбОЗНаЧЕНЫ ВСЕ КОРНИ НЕЧЕтиай КратНОСтИ МНОГОЧЛЕНа 1)а(Х), расположенные на [а, Ь[. При этом гса ь(х) не меняет знака на [а, 11[. Интеграл ь / р (х) (еа (х) Рь (х) дх а должен обращаться в нуль, так как степень Р„(х) равна )ь ( и. С другой стороны, этот интеграл можно записать в виде ь ь ~ р (х)Я (х) Р) (х) дх = / р(х)Ра(х))11 ь(х)дх. Так как подынтегральное выражение не меняет знака, то интеграл в нуль обращаться не может. Получили противоречие. Таким образом, 11 = а.
Утверждение заказано. Докажем. что если х1 < хя «... х„1 — нули 1,1„1(х), (а-1) (а-1) (и-1) а х(1 )(Ха~")( ... (Х(а) — НУли (,)а(Х), то х(1 ( Х1" ) < хь")( хь" )( ... (х~",,) ( хат). Прежде всего заметим, что два последовательных многочлена ортогональной системы не могут одновременно обращаться в нуль. Действительно, если ),)а~1(х) и (еа(х) обращаются в нуль в некоторой точке с, то в силу рекуррентной формулы (25) (')а 1(с) = О, но тогда в силу той же рекуррентной формулы и ()„,(с) =О.
Продолжая эти рассуждения, мы придем к выводу, что )',)ь(с) = О. Но 1Е (х) =соне)~0, и это приводит к противоречию. Если условиться брать (;)а(х) нормированными и с положительными коэффициентами при старших членах, то аа „+1) О. В самом деле, ь а„„+1 = 1 р (Х) Яе +1(Х) [Х(;)а (Х) [ С(Х = а ь ь = ~ р(х) 0„.11(х) [Ра+1()а11(х)+ ...[дх = и„„, [ р (х) 1Е„+1 (х) е)х, где и„а, и интеграл — положительные величины. свзднвквадеатичныв пгивлижвния еянкций многочлвнами 405 р'(х) а+ Ьх р(х) с+ах+ ехз' (27) причем р (х)(с + с(х + еха) обращается в нуль на концах отрезка а и Ь.. Мы изложили сильное ограничение иа вес, но веса с таким свойством как раз и порождают наиболее важные оргогональные многочлены. Пусть Р (х) — произвольный многочлен степени т (и. Рассмотрим интеграл с У= / Р (х) — „](с+с(х+ ела)Р(х)(,"(в(х)] с(х.
(28) а Производя два раза интегрирование по частям и пользуясь тем, что р(х)(с+ ((х+ ест) ]ь =О, получим: с ) = ] (,)в(х) — „((с+- с(х+ еха) р(х)Р' (х)] с(х. а Воспользовавшись тем, что (с + с(х+ еха) р'(х) = р (х) (а + Ьх), найдем: (20) — '((с+1сх-1-ех )р(х)Р' (х)] =(с(-(-2ех)р (х)Р' (х)+ + (а + Ьх) р (х) Р' (х) + (с + с(х + еха) р (х) Р" (х) = = р (х) ((с(+ 2 ех) Р' (х) + (а + Ьх) Р' (х) + (с + с(х +. ехз) Р" (х)], При этом, если в некоторой точке 1 ()„(1)=0, то ()в 1ф и ()„+1(1) имеют различные знаки. Действительно, применяя рекуррент- ную формулу (25), получим( а в+1() +1(с)+а 1, в(') 1(с) =о, а Эта МОжЕт бЫтЬ ПРИ ПОЛОжИтЕЛЬНЫХ ав в+, И ав 1, „ТОЛЬКО В тОМ слУчае, когда Яв„1(с) и ф, 1(с) имеют Различные знаки, Разделение нулей Я„(х) и ()1(х) тривиально. Пусть нули Яв 1(х) н (,)в(х) также разделены: х(в) ( х(в-1)( фь) ( ( х(в) ( х(в-1) ( х(в) Тогда в силу того, что (',)((Ь) ) О, будем иметь: зфп Я„1(х~(М) = з)дп ( — 1)в и, следовательно, з!Яп (;)вч 1(х]1~) = з(ап ( — 1)в '+', 5.
Дифференциальные уравнения, которым удовлетво- ряют ортогональные многочлены. Будем теперь предполагать, что вес р(х) удовлетворяет следующему дифференциальному урав- нению: 40б 1гл. 5 сРеднеквАЛРАтичные пРиБлижения Выражение, стояшее в квадратных скобках в правой части, является многочленом степени не выше ги. Поэтому ь е = [ р(х)Я„(х)[(с(-(-2ех)Р' (х)+ а +-(а + Ьх) Р' (х)+ (с+-а~х+ ехг) Р" (х)]с(х = О. (30) Подынтегральное выражение исходного интеграла (28) можно пре- образовать так: — [(с+с(х+ех )р (х) Я„'(х)] = (г(+ 2ех)р (х)()„'(х) + + (а -1- бх) р (х) Я' (х) -+.
(е + с(х -1- ех') р (х) Я" (х) = = р (х) [(г( + 2ех) (1'„(х) + (а + бх) я' (х) -1- (е+ е(х+ ехз) (Е" (х)]. Обозначим выражение, стояшее в квадратных скобках справа, через гса(х). Это многочлен степени не выше п. В силу того, что 1=0, мы получим: ь [ р (х) гса(х) Р,„(х) с(х = 0 а для любого многочлена степени не выше и — 1. Следовательно, гса(х) принадлежит ортогональной системе многочленов с весом р(х). Как мы видели ранее, многочлены одинаковых степеней двух ортогональных систем при одном и том же весе могут отличаться друг от друга лишь постоянным множителем.
Таким образом, гса (х) ~ аа()„(х). Отсюда (с -1- с(х + ех') 17„' (х) + [(а -1- 0) -1 — (Ь + 2 е) х] 1,1„' (х) — И„Я„(х) =О. (31) Итак, мы показали, что при наших предположениях о весе р(х) многочлеиы ортогональной системы ((Га (х)~ удовлетворяют линейному дифференциальному уравнению, написанному выше. На этом мы ограничимся в рассмотрении обших свойств ортогональных много- членов и перейдем к изучению некоторых частных случаев.
ф 6. Некоторые частные случаи ортогональных систем многочленов 1. Многочлены Якоби. Так называют многочлены вида Ра (х) = дца (1 — х) (1 + х) Х Х ~ „ [(1 — х) (1 +-х) ] (а, р ) — 1), (1) ~ 5) чАсгные случАи овтогонАльных систем многочленов 407 Что это действительно многочлены, нетрудно убедиться, если воспользоваться формулой Лейбницз для производной от произведения двух функций.
Покажем, что многочлены Якоби ортогональны на отрезке 1 — 1, +1) с весом р (х) =(1 — х) (1+х)», (2) Для этого рассмотрим интеграл 1= ~ (1 — х)" (1+х)»Р~А~'(х)Р„'."'»'(х)г(х= -1 +1 ( — 1)"+ Р -а 1 (1 — х) '(1+х) Х 2"+ гли! Лг! -1 Х вЂ” „[(1 — х) + (1+х) + 1 — „[(1 — х)"+"(1+х) "1 г(х. Будем предполагать, что гл (п. Для сокращения записей обозначим у,„(х) = (1 — х) (1 + х) — [(1 — х)" +" (1 .+ х)" <р„(х) = (1 — х) " (1+х) " . Очевидно, р„(х) обращаются в нуль при х=+ 1 для всех й (л. ГА> Выполним ги раз интегрирование по частим в интеграле 71= [ у (х)СГЮ(х)г!х. -1 Получим: 71=( — 1)" [ у!ео(Х)р(„"-ьв(Х) Е1Х.
-1 Если Л1 (л, то, интегрируя по частям, еще один раз получим: /1 = ( — 1) + [ уГ'"+П (х) р(н-е1- й (х) с(х. -1 Так каку,„(х) является многочленом степени т, то/1=0. При т=л будем иметь: +1 11=- ( — 1)" [ у<ЕЛ(Х)17„(Х)О1Х. -1 408 (гл. 5 сведнеквадватичньш пеизлижения Если обозначить старший коэффициент у„(х) через а„, то «',=( — »" а„п1 ~ еи(х)с(х. -г Вычислим интеграл, стоящий в правой части: е„(х) с(х = ~ (1 — х)«+"(1+-х)"+"Их. Для этого произведем замену переменных, положив х = 2г' — 1 При этом -;« 1 р„(х) ах = 2«+Я+ "+' ) (1 — г)" ~ г" ~ г)г = 1 о =2'«з«ли"'В (яг -1- п+- 1 а (- п+.
» = 2«ее+за+« Г("+и+1) Г(я+пт 1) Г («+ я+ 2и+ 2) Подсчитаем теперь и„. Полагаем х > 1. Тогда 1, «+и~ 1 ~а+и = х«+я+«и+- (р — а) х«+я+«и-' + Отсюда — 1(х — »«+" (1 + х)" ""1 = (а.+ р + 2п) (а (- р + 2п — »... ... (а.+ р -+ п+- » х«+я+"+ (~) — а) (а + ~) +- 2п — » Х Х (а-1-р-(-2п — 2)... (а(-р -1-п) х«+я+"-'-(- ...
= — х«+Ф«и «а х«+а+я-г Поэтому -" = — »".-'-'(1--.') '( +-.') 'Х Х вЂ” „.. 1( — »""(х+»""1 =( — » (1+ —,' + ...) Х Х(1 — — — ...)((„х +"+" +-я„х«ьз+"-'+ ...)х-«-з= к =( — »"Г "-+( — »" И + à — рТ 1 " '-+ Таким образом, а„= ( — »" т„= ( — »" (а + р +- 2п) (а + р +- 2и — »... ... (а+р+п-1- »=( — »"-,( +~+ + 1' («+ Р + и+ 1) З 5( чзстныв слгчли огтогонзльных систем многочлвнов 409 Теперь мы можем полсчитать и норму Р("'«)(х). Собирая нужные нам выражения, находим: !)Рв! )(х)~! = / (1 — х)" (1+х)«[Р(ж«)(х)~~г(х= — 1 1 Г (а + р+ 2л + 1) ач-«ч-звч-г 2«в(л!)з Г (а+ Р+ и+ 1) Г (а+в+1) Г(Р+ л+1) 2 +«+~Г (а+в+1) Г (я+ в+1) Г (а+ «+2п+ 2) л>(а+ «+2п+ 1) Г (а+«+ в+1) ' Найлем теперь коэффициенты рекуррентной формулы лля многочленов Якоби.
Мы не булем вычислять выписанные ранее интегралы, опрелеляюшие эти коэффициенты, а найлем их другим способом. Рекуррентную формулу (20) й 4 запишем в виде хР!",'«)(х)=ив,,Рв+~~~(х)+а Р1,"'«!(х)+а„,Р'„"'«(х), (4) Для опрелеления авв, приравняем коэффициенты при старших степенях х в правой и левой частях равенства. В левой части этот коэффициент будет равен старшему коэффициенту Р(",'«)(х), т. е. 1 Г(а+«+2п+1) 2вл! Г(а+«+в+1) В правой части ои будет равен старшему коэффициенту Рв~г (х), (а, «! умноженному на алым т. е.
1 Г(а+ Р+ 2п+3) 2в+~ (в+ 1)! Г (а+ «+ л+ 2) Отсюда находим: 2 (л+ 1) (а + «+ л+ 1) "ег (а+«+ 2л+ 1) (а+ «+ 2п+ 2) ' Для отыскания ав сравним коэффициенты при хв левой и правой частей. При этом придется использовать выражения для вторых по старшинству коэффициентов многочлена Якоби. Такие выражения нами тзкже были найдены. Применяя те же обозначении, что и ранее, получим: Зв+ а1в — аг)в Звег+ а1вч-1 — аг1в.ьг ( „1в 2в ° л! 2ве«(п+1)! 2в л! Отсюла З +( — йь „З ~~+( — г)1 Ъ +' 2( +1)1Ъ 410 [гл. 5 сРеднеквАЛРАтичные пРиБлижения Подставляя сюда известные выражения для а„, )„, й„эо та«о а„, и производя несложные алгебраические преобразования, найдем: Ва — «а (а+ у+2п) (а+ ~у+2л+2) Перепишем нашу формулу в виде ~/Р~"' ~1~~ ЦР("'ЮЦ ~'Рва В1!/ " '~Р(" В1 (х) ~ФЛ '."-" ( ) ""-' ~1Р(«,~1~) ' ~1р(«,В1 ~)1 .
Таким образом, аа, а+м введенное в предыдущем параграфе, имеет вид ~~)Р(а"'ф( 2 (и+ 1) (а+ в+ и+ 1) (~Р<"2В11(( (>Р~"' В~! ~ (а + Д + 2л + 1) (а + Р + 2л + 2) ~ ~ Р("' и! ~ Коэффициент аа г получится отсюда простой заменой п на и — 1. Следовательно, )(Р(а"' В1)! 2л («+ ~+ и) (1р(«В1(1 ()р(к В1(~ (а + В+ 2п — 1) (а + Р + 2л) ))Р1«' В)~~' Отсюда 2л (а + Р -)- п) ) ~И" В1~ ' (а+«Р+2Л вЂ” 1) (а +Р-)-2Л) (~Р(«В>((З 2п (а + й + л) 2" + В РгГ (а + л + 1) Г (З -1- п 1 П и1(а+ Р+ 2п — 1) (а-)- В+2п) Г(а+ а 1 л',.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
