Том 1 (1160083), страница 65
Текст из файла (страница 65)
П ~ (л — 1)! Г (а+ Р+ и) (а + Д + 2п — 1) 2 (а + л) (Р + и) Х„ 2«+В+ Г (а+ и) Г (Р+ п) (а+ Р + 2л+ 1) (а -(- З -'; 2л) («+ р .(- 2п 1 1) ' Итак, формула (4) после освобождения от знаменателей примет вид (и -1- р -+ 2п) (а+ р.+ 2 и +- 1) (а+ р + 2п + 2) хр(«* В' (х) = = 2 (и -+ 1) (а+- р.+ и+ 1) (а.+ р+- 2и) Р~Д(х) + +(~У вЂ” РЯ)(а+-р-+ 2п-+ 1) Р',,"'В1 (х)-)-2 (и-(-и) )~ Х (р+- п) (а -+ р+- 2п +- 2) Р~„"' 1(' (х). (5) Весовая функция р(х) = (1 — х)«(1+х) удовлетворяет дифференциальному уравнению р' (х) (р — а) — («+ З) х р (х) 1 — ха ь б[ частные слгчаи огтогонлльных сисгвм многочленов 411 Следовательно, многочлены Якоби удовлетворяют дифференциальному уравнению (1 — хз) [Р!в а! (х)] + [р — а — (а+ р -[- 2) х[ Х Х [Ргч !(х)]+-!г„Ргча!(х)=0, Для определения )гв приравняем нулю коэффициент при х" в левой части.
Получим: — и (и — 1) — (а+ Р + 2) л -[- ив = О. Отсюда (г„= и [и .+ [) + и -+ 1 [. Таким образом, многочлены Якоби удовлетворяют дифференциальному уравнению (1 — хз) [Р(ч а! (х)) +. 9 — а — (а .+ [) -+ 2) х[ [Р!ч з! (х) [ -[- +- л (а -+ Р -1- и +- 1) Рви' ! (х) = О. (6) 2. Многочлены Лежандра. Многочлены Лежандра являются частным случаем многочленов Якоби, когда а=О, ~р=О. При этом р(х) = 1.
Для них имеет место формула Родриго 1 дв 2" !д "[( Они обладают свойством +1 0 при т чьи, г.в(х) твв(х) ох= [ 2Г(л+1) Г (и+1) 2 (8) 1 л! (2л+ 1) Г (л+ 1) 2л -1- 1 Из формулы Родрига видно, что многочлены Лежандра четной степени содержат лишь четные степени переменного х, а многочлены нечетной степени содержат лишь нечетные степени х. Рекуррентная формула для многочленов Лежандра примет вид (п+- 1) Е„+! (х) — (2п -1- 1) хЕ„(х) -+ п1.„, (х) = О, (9) Преобразовывая формулу Родрига по формуле Лейбница для дифференцирования произведения, получим: в вчт Я дв-з(„Пв да( ! !)в (.„(х)= — . С„ 2вл! Ла Их -а дх" л-е Отсюда следует (в, (П = 1, (.в ( — П = ! — 1У'. (10) Дифференциальное уравнение для многочленов Лежандра примет вид — [(1 — х') — "1+ и (и -1- 1) (.в= О.
(11) !гл. 5 сгзднвквлдвлтичныв пеивлижзния Докажем, что для многочленов Лежандра имеет место следующая формула Лапласа: Еи (х) = — ~ (х + Ух' — 1 соз О) с(0. о (12) Действительно, при п =0 и 1 получим: Ео(х)=1: Е,(х)=х. Проверим, что для Е„(х), определяемого равенством (12), справедлива рекуррентная формула (9), которая имеет место для многочленов Лежандра. Обозначим й=х+1/хз — 1соз0 и запишем: (и-(- 1) Е„,„, — (2п+ 1) хЕ„-1- пЕ„, в виде ! о( %'ЕЯ ~о(0. о Обозначая (l = — и(х' — 1) яп' О, !г = !х -)-)/х' — 1 сов В|1/х' — 1 сов О, получим: ~ (О'7" 'г(9 = ~ Ег7" 'НО+ /Ъ'Е" ' с!О. Но с ~ !г7" 'а!9=7 хз — 1 / 2" соз 9 с(0=1/х' — 1 Х о о Х ~ Я" яп В + ~ яп Ви7в ')/х' — 1 яп В г(9 > = о о ! =и(х — 1) ~ д 5!о~О о(9= — ~ (/Я г(9, о о Здесь %' =(п -4- 1)~х'+.
2х 1/хз — ! сов В+ (хз — 1) созз 0~— — (2п-1-1) х ~х(-1/х' — 1созО!+и= — пхз+-х)/хз — 1созВ+ -1- (п -Ф- 1) (х — 1) созз 9+ п = — и (ха — 1) (1 — со за 9) ! -1-х1/хз — 1созО-1-(хз — 1)соуВ = — п(хз — 1) з1пзО 1- +-~х+ф'х~ — 1созО]1/хз — 1созО. 0 51 члстныв слтчди огтогональных систзм многочлзнов 413 Таким образом, Раз (е(х) и Е,(х) совпадают с нулевым и первым многочленами Лежандра и так как выполнена рекуррентная формула, то будет совпадение при всех и, и формула Лапласа доказана, С помощью формулы Лапласа нетрудно произвести оценки величины многочленов Лежандра на отрезке ! — 1, +.11. Прежде всего заметим, что !х-';1 '1Г 1 — хасоз0~1= 'у' х'-1-(1 — х ) созаВ = = ')г ха жпа В + созе 0 ~~ 1, х ~ [ — 1, +! ].
Отсюла ~1,„(х)( < — ~ ~х+()г! — хесозВ!" Н < — / ИВ=1. (13) Для внутренних точек отрезка 1 — 1, +1) имеет место более точная оценка: ~!.„(х) ~ ~ у 0/2л (1 — хй) (14) В самом деле, ! х -г. () г 1 — ха соя 0 ! = )/хя -(- (1 — ха) созе В = $г'1 — (1 — ха) жпа В. Таким образом, и ~ Е„(х) ( ( — ~ 11 — (1 — ха) з!па 0! я с(9 = о а и ч хь = — / 11 — (1 — ха) з!па 0)Я т(9+ — ~ 11 — (1 — ха) з!па 9) ' т(9. Сделав во втором интеграле замену В на и — 8, получим: я !Е„(х) ! ~( — / 11 — (1 — х') жпаВ)Я дВ. о 414 (гл. 5 СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЪ|Е ПРИБЛИЖЕНИЯ и 2 Так как при О (9 ( — имеет место неравенство — 0 (з(п 9, а прн неотрицательных а неравенство 1 — а ( е — ", то ~ Е„(х) ~ ( — / (1 — (1 — ха) япа 91' М ( о 2 ~' ~ 494~1 о /Ео(х) ) с.
— е-'Ш= 2 е 1 1, 2 3 е е 1 2л(! — хт) 1 1~2п(! — хо) 2 ГР2л(! — хо) о что и требовалось доказать. С помощью многочленов Лежандра легко для заданной функции г(х)~Е1 построить в О„(Р) многочлен наилучшего среднеквадратичного приближения на отрезке ( — 1, +1). Если такой многочлен искать в виде Ро (х) = ~~~~ скЕк (х), к-о (15) ск = ( ((х) Ек (х) 1(х, 2Д+ ! (16) а наилучшее приближение 1-1 и ,/ ~ ьы 2а ! -1 к о ('1 Т) П р и м е р. Найти наилучшее среднеквадратичное приближение рункпин Б!п х на отрезке ( — и, п) в совокупности многочленов степени не выше третьей и вычислить величину наилучшего приближения. Полагая здесь 9= ~, получим: '$~ 2л (! — хт) го коэффициенты ск найдутся по формуле 2 —, !1-оо! Г' оо — ~е (0С ов 2 р — „, (1-мчи — /е" с(0, о 9 5[ частные слтчли огтогонлльных систем многочленов 415 +1 — — (Згз — 1) з!п кгзи= О, 5 I 1 -1 .~.з 7 7 1 з 7 105 сз = — ) — (бтз — 3!) з!п кт з7Г = — — —. 2,/ 2 „з — з Отсюда Р (Г) — г (Г)[ ! )7 (Г) —.
! 1)Г ! 11 )Гз 3 ! 7 105т !5 721 з 35 1 15з з — з (я 3) з — 2яьз ) 2 [ яз) Многочлен наилучшего приближения к функции з!пх на от- резке [ — к. -[-к] будет: Р (х) = — ~ — — 1) х -[- — ! 1 — — ) х' = 0,8570х — 0,09339х'. 15 /2! ! 35 г 15! з 2яз (яз ) 2яз ! яз) Далее, Зз= / яп'я1з(! — — — — — [! — — ') — —.0,0088. 9 2 49 / !Зтз 2 ез 3 из[, яз) 7 ! Для сравнения приведем таблицу значений яп х и Р,(х) в некоторых точках отрезка и величину их отклонений: х з!п х Рз(х) Р, (х) — яп х 0,0000 ! 0,0000 0,6278 — 0,0793 ! 0,0000 0,7071 — 0,0158 0,9842 Зх 2 0,7071 0,0000 0,7976 — 0,2033 0,0905 — 0,2033 Многочлены Лежанлра находят широкое применение и в ряле других вопросов; в частности, они участвуют в образовании сферических функций, в которых решаются ряд задач математической физики. Сделаем линейную замену переменного, переводяшую отрезок [ — к, и[ в отрезок [ — 1, +-1[.
Для этого положим х =к!. 'Тогда 7 (г) = яп к1, -;-з +з 1 сз — 2 / япк!И=О 416 [гл. 5 сРеднеквАЕРАтичные пРКБлижения 3. Многочлены Чебышева первого и второго рода, Возьмем теперь в качестве веса р(х) = (18) Нетрудно проверить, что многочлены Чебышева (19) Т„(х) = соз (и агс соз х), ] х [ ( 1, о которых мы уже говорили ранее, будут ортогональны на отрезке [ — 1, +1] с этим весом. Действительно, производя в интеграле Е1 Тл (х) Тм (х) l )Г1 — хо замену получим: х = соз1, при пг=п=О, 1 „= соз пг соз !пг о(г = о — при лг=п + О, (20) 2 0 при и ~п. Рекуррентную формулу для многочленов Чебышева (будем их называть многочленами Чебышева первого рода) мы уже получили ранее. Дифференциальное уравнение для многочленов Чебышева первого рода будет иметь вид (1 — ха) Т„(х) — хТ„(х) + и' Т„(х) = О.
(21) 1 Если длЯ фУнкции Т" (х) ~ ! Я(Р), где Р(х) =, искать наи- )! 1 — хя лучшее среднеквадратичное приближение с весом р(х) на отрезке [ — 1, +1] в виде Рл(х)=со-]-с,Т,(х)-] сЯТЯ(х)+ ... +с„ТН(х), (22) то коэффициенты са будут находиться по формулам: (23) со = — 1 Т'(х) оГХ 7 1 — хо -! +! 2 1 с„= — [ у'(х) ТА (х) у -1 = — у Т'(созв) и!9, о !Гх 2 ! = — у у(сов О)созйй с(0 1 — хя л о (Д> 1), 417 4-1 (24) )' 1 — хв Таким образом, а св с = — —.
1 с4= 0 ч 4 4 4 4 Р (х) = —, — — Т (х) — — Т (х) — — Т (х) — — Т (х) = 2 а ! 9а з 25в в 49 ч 5) ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ СИСТЕМ МНОГОЧЛЕНОВ а отклонение — по формуле П р и м е р. для функции 7(х) = агс сов х найти на ! — 1, +1) наилучшее среднеквадратичное приближение с весом в совокупности многочленов степени не выше седьмой. Будем искать этот многочлен в виде Рт(х) = св +.с,Т,(х) + с,Т,(х).+ ... + с,Т1(х). Коэффициенты многочлена будут иметь вид +! 1 г агс сов х а се= — лг 4(х = —; 'гг 1 — хз 2 — 1 агс сов х сов А ыс сов х )г 1 — хз г соз 741 471 = — „1( — 1)1' — 1).
2 в 4 сз=О, с,= — =, вг. ' 4 4 с,= — —, св=О, с = — —— 25ч ' '" ' 1 49а и 4 ~ 76 248 з 288 64 2 а [105 315 175 49 1 х хз хв хт!. отрезке 1 [гл. б 418 БРеднеквАЛРАтичные пРББлижения Ниже приведена таблица значений агссозх и Р„(х), показываюшая точность приближения, которой мы при этом достигаем: Р,(х) ~ Рт(х) — агс соя х х агс соя х На том же отрезке [ — 1, -[-1[ при весе р(х)= гг! — хе будут ортогональны функции у„(х)=Б!П[(и+1)агссо'х[ (П=О, 1, 2, ...), (25) )' 1 — хя называемые ортогональными многочленами Чебышева второго роди, В самом деле, (уа(х) (7!(х) У1 — ха«х= — 1 .1- 1 / Б!и [(д+ 1) агс соз х[ Б!п [(! -1; 1) агс соз х[ — — — — — ' — — — г(х г 1 — хе и, сделав замену х = созС, получим: !1 (УА (х) (/1 (х) )! 1 — хе дх =- — 1 [о = ~ з!П(И-[-1)7Б!П(1+1)гбг=( 2 при )г чь 1, при )г =1. (26) )(ля того чтобы показать, что У„, (х) действительно являются многочленами степени и, вычислим производную от многочлена Чебышева первого рода Т„,,(х): д Т„,,(х) = — „[соз(и+-1) агссозх[ = 1 =(и-';-1)гйп[(и-[-!)агссозх[ = =-(и+1)(7„(х).
)Г! — хя Следовательно, 1 У„(х) = „— Т„э ! (х), (27 ) — 1,0 — 0,5 О,'! ОР5 1,0 3,14159 2,09440 1,57080 1,04720 0,00000 3,06242 2,10440 1,57080 1,03720 0,07918 — 0,07917 0,01000 0,00000 — 0,0!000 0,07918 э 5) чАстные слУчАи ОРтогональных систем многочленов 419 а так как Т„.,(х) есть многочлен степени и+1, то Т„',,(х) есть многочлен степени и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
