Том 1 (1160083), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Определим скаляриое произведение функций у~ 1с и а,'~ гс следующим образом: (У, д) = ~ г (х) к (х) дх. а [[ в[[а = ~ уз (х) дх. (2) Будем также рассматривать и более общие множества )со Возьмем некоторую фиксированную функцию р(х), О иа [а, Ь[ и обращающуюся там в нуль не более чем на множестве меры нуль. Будем считать, что Г(х)~гсо если существует ~ р (х) Гз (х) Ых. а В качестве скалярного произведения возьмем (У, а) = [ р (х) У(х) в (х) дх.
а (3) Мы получили два гильбертовых пространства. Будем первое из Них обозначать са, а второе 1а(р). Сходимость в первом простраистве есть хорошо известная из анализа сходимость в среднем, а сходимость во втором — сходимасть в среднем с весом р(х). Функции 1, х, ..., х", ... линейно независимы иа [а, Ь[ и принадлежат как к ьа, так и к 1.а(р), Совокупйость многочлеиов с действительными коэффициентами степени не выше п Н,(Р) можно рассматривать как линейное множество, построенное на функциях 1. х, ха, ..., х". Поэтому на основании общей теории й 3 в Н„(р) найдется один и только один миогочлен Ря(х) =аз+а,х+ ...
+а„х", Нетрудно проверить, что все свойства скалярного произведения имеют место, если считать функции, отличающиеся друг от друга ие более чем иа множестве меры нуль, равными. Норма функции У~ г[ будет равна ь который дает наилучшее приближение функции 1(х) ~ Ея(р) в смысле метрики пространства Ее(р), т. е. такой, для которого ь ооь = // У(х) — Рв(х) /! = ~ а(х) (У'(х) — Р„(х))Я г(х= О ь = 1п1 ~ р (х) 1у (х) — Р (х))я!(х, РЕ Н„(р).
(5) о (Мы ие будем здесь отдельно писать выражения для Е,, так как Ез можно рассматривать как частный случай Е,(р) при р(х) — = 1.) Если ввести обозначения ь ь я;= / р(х)хга!х, гп;= ~ р(х)Е(х)х'г(х, (6) то коэффициенты многочлена наилучшего приближения могут быть найдены как решение системы аояо+а!я!+ . +а.яо = то аз,+а,я,+ ... +а„я„~,=то аоя„+а,я„,+ ....+ а„яз„=т„, которая всегда имеет единственное решение, так как определитель этой системы как определитель Грамма линейно независимых на [а, Ь) функций 1, х.
х', ..., х" всегда положителен. Величина Ьо наилУчшего пРиближенин опРеделитсЯ Равенством яо я! я! яо яо ... я„то яь ° ° явь! яо ям+ ! яоья " яон т„ оь то т, то ... т (у,я) (8) яо я! я! яо ° ° яю яз ... я„ь! яо яо+ ! ям+о ° ° яоо Изложенный способ получения многочлена наилучшего приближения имеет тот недостаток, что для отыскания коэффициентов приходится решать систему алгебраических уравнений, что при больших и сопряжено с большой вычислительной работой. Мы видели ранее, что система значительно упростится, если в Н„(р) выбрать ортогональный в смысле Ео(р) базис.
$ 41 сгвднвквьдгьтичныв пгивлижвния эвикций миогочлвньми 399 400 (гл. 5 сРеднеквАЛРАтичные пРВБлижения 1, Ортогональные системы многочленов. Метод ортогонализации, изложенный в в 2, позволяет построить ортогональную в са(Р) систему многочленов Я,(х), (;),(х)...., 1С„(х)... Щ(х) — в точности многочлен й-й степени) последовательно воз- растающих степеней, т. е. многочленов, для которых имеют место соотношения ь ~ р(х) Я,(х) ф(х) ~Кх=О (й Ф 1).
а (10) Покажем, что с точностью до постоянных лсножителей эти система единственна. В самом деле, пусть — две ортогональные в 1з(Р) системы многочленов последовательно возрастающих степеней. Докажем, что )Аь(х) = иаЯА(х) (ь = О, 1, 2, ...). (12) Сначала покажем. что многочлены различных степеней и разных систем ортогональны, т. е. ~ Р (х) Яи (х) )Аь(х) с(х = 0 (й + 1). а (13) Не ограничивая общности, можно считать, что й ) 1.
Многочлен Дь(х) можно единственным образом представить в виде Й~ (х) = ~а~ афГ (х). э-о Отсюда, учитывая (13), (14) ~Р (х)Яь(х) Й~(х) с(х= ~ аг ~ Р(х)9,(х) 91(х) дх= о, э о а так как ~~(1С й. Докажем, что в представлении Й,(х) через много- члены (~г(х) все коэффициенты ау при у 1 равны нулю. Для этого рассмотрим интеграл ь ~ Р(х)9с(х))1,(х)дх. а '14(х). 1',)1(х), .... Яа(х), ... и йе(х), й,(х)...., йа(х), ... (11) й 41 сгвднвквьдвьтичныв пгивлижвния эвикций многочлвньми 401 где 1(1. С одной стороны, по доказанному, этот интеграл равен нулю, а с другой стороны, ь ю /р(х)Я1(х) й,(х)ь(х= (Ь а1 ~ р(х)()1(х)()1(х)ь(х= а ь о а ь =аь / р(х)Я1(х)ь(х. а Так как интеграл в правой части отличен от нуля, то аз =О. Итак, аь = О при всех 1(1, т.
е. Й, (х) = айаг (х), (1б) ьто и требовалось доказать. Если ввести еще какие-либо дополнительные условия на ортогональные многочлены, например потребовав, чтобы коэффициент при старшей степени всегда равнялся единице или чтобы коэффициент при старшей степени был положителен, а норма многочлена равнялась единице, то система ортогональных многочленов на данном отрезке 1а, Ь) при заданном весе р (х) будет единственна в полном смысле этого слова, Вполне естественно. что с изменением веса р (х), а также отрезка (а, Ь1 мы будем получать разные системы ортогональных многочленов.
Когда ортогональная система многочленов (9) Яь(х), ()г(х). " , ().(х). " . Р (х) = сФЬ (х) + с,Я, (х) + ... +- с„Я„(х), (1б) где коэффициенты сь (иа основании общей теории) запишутся в виде ~ р(х)у(х) ()ь(х) ах а сь ь / р (х) ()ь (х) ах а Величина наилучшего приближения определится по формуле ь и ь Вь = / р(х) у'(х)1(х — ~~„сь /'р(х)(~аь(х)дх. (1Л ь ь а 2. Рекуррентные соотношения для ортогональных многочленов.
Построение системы ортогональных многочленов по общим правилам, указанным в й 2, практически неудобно. Сейчас мы будет построена, то многочлен наилучшего приближения Р„(х) ~ Н„(р) запишется в виде 402 (гл. 5 сввднвквадеатнчныв пвиьлия(внии покажем, что ортогональные многочлены удовлетворяют простым рекуррентным соотношениям, которые и дадут возможность ик быстро находить.
Многочлен хЯ„(х) имеет степень и+ 1. Следовательно, его можно представить в виде хЯ„(х) = аД„(х) +- аД, (х) -1- ... +-а„еф„.ь, (х); (19) чмножим обе части равенства на р(х)Я,(х) (1= 0, 1, 2, ..., и — 2) и проинтегрируем в пределах от а до Ь. Получим: я+~ ь ~ р(х)Я„(х) 1хЯ,(х))с(х= ~~~~ а, ~ р(х) Я,(х) Яа (х) с(х. а о а Интеграл в левой части всегда равен нулю, так как юг(х) является многочленом степени не выше л — 1 и, следовательно, представляется в ниде линейной комбинации Це(х), Я,(х), ..., Я„ ,(х). В правой части отличен от нуля только один интеграл при г' = 1.
Итак, ь 0 = ц, ~р (х) 4 (х) с1х а и с,=-О. Таким образом, в„, Д„,,(х)+(а„— х) Я„(х) 1-е„ф„,(х) = О. (20) Коэффициенты ая о а„, а„„, в (20) можно найти, если проделать те эке операции прн 1=и — 1, и, п+-1. При этом получим: (21) ь р (х) ха„(х) Е„„(х) Лх а ь р (х) ()„„ь, (х) ех а Если (',),(х) нормированы, т. е.
ь ~ р(х)Я,(х)~Ух=1 (1=0, 1, 2, ...), (22) Я ь р ( ) Е., ( ) а. ( ) л 4 вя — ! ь Х " '-.". а ь ~ р (х) х()~ (х) йх а а„= Х "к(")" а а 41 севднвквадгатичные пгизлижсния эвикций многочлеиами 403 то выражения (21) аля этих коэффициентов упростятсьч ь пв, = / р(х) х1',1в,(х)()в(х) с(х, а ь ив= ~ р(х) х4',(х)Нх, а евь,= ~ р(х) х()в(х)Яв,.,(х) Нх. Обозначим в этом случае (23) ь и, „= ) р(х) х(),(х)()ь(х)Нх. а (24) 3. Тождество Кристофеля — Дарбу, Из этой формулы можно получить важное для исследования сходимости тождество Кристо- феля — Дарбу.
Для этого умножаем (25) на Яв(г) и записываем в виде хяв(х) я„(г) = а„„„,1(з„~, (х) я„(8) + + авв( )„(х) Я„(Е) +а„, „Я„, (х) Я„(О, Поменяем ролями х и Г. Получим: ((~в(1) Яв(Х) = Пв в ~ Ав+ (Г) Яв(Х).+ -+а„в(ев(~) Яв(х)+ив-ц вЯв-г ЖЯв(х) Вычитаем из последнего равенства предыдущее. Будем иметь: (( — х) Яв (1) 1')в (х) = а„„„, [Яв,ь, (() Яв (х) — Яв „(х) (')в (Е))— — и „, „Яв (И) Яв, (х) — Я„(х) Я„, (() 1. Складывая соответствующие равенства при п = О, 1, 2, ..., (ь, получим: (Š— х) ~~~~~ Яв(г) фв(х) =па „„, р)ь„„,(() Яь(х) — Яь„„(х)ф,(ь)) в-а или Рекуррентная формула для нормированных многочленов примет зиа а„„, Дв„., (Х) + (а„„вЂ” Х) ив (Х) .+ ав,,Яв, (Х) = О.
(25) Она имеет смысл при и) 1, но если положить Я,(х) =— О, то она будет иметь смысл и при и = О. СРЕЛНЕКВАЛРАТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ [гл. 5 404 Это и есть тождество Кристофеля — Дарбу лля нормированных ортогональных многочленов. 4. Свойства корней ортогональных многочленов. Покажем, что Ц„(х) имеет на отрезке [а, д] роеяо я различных нулей, Предположим обратное.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
