Том 1 (1160083), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Но так как 5 состоит из (л-+2)-х различных точек, то Р„(х) = — (')„(х). Это и доказывает, что множество 5 = 1х, < хв < х, « ... х„.а) есть альтернанс к ((х) на О. а поэтому имеет место и равенство (18) (см, (11)). 4. Предыдущие рассуждения позволяют с помощью конечного числа шагов построить многочлен наилучшего приближения к г'(х) в Нв(Р) на множестве б, состоящем из конечного числа точек гл (лг) п-)-2).
Рассмотрим сначала случай гл= л+-2. Располагая точки этого множества в порядке возрастания х, < <х,« ... х„+з, вычисляем р(х,, хз, ..., х„,а), используя равенства (16), (6), (8). Значение р=Е„(У, 5). Зная знак определителя ()в(хи хв,..., хв „а, (), определяем знак разности 1 (х,) — Рв(х,) с помощью равенства (18). Далее, пишем систему равенств г(х;) — Р„(х,.)=-а( — 1)'Е„((, 5) ((=1, 2, ..., п-+2), (19) где а=+1, если О,) О, и а= — 1, если 1)„<0, Из этой системы равенств находим значения искомого много- члена Р„(х) в точках х;: Р„(х;)=г(х;) — а( — 1)'Е„((, 5) ((=1, 2, ..., л-1-2). (20) Этими значениями многочлен полностью определяется, Найти его можно, строя интерполяционный многочлен по любым в+1 значе- 6)пеивлиж. поствовнив многочлвнов ньилячшвго пгивлижвния 371 ниян.
Лишнее значение можно использовать для контроля, так как полученный интерполяционный многочлен должен принимать заранее вычисленное значение в неиспользованном узле. Если множество О состоит из т точек у, < уг «... у (т и+-2), то рассматриваем всевозможные комбинации из (и+2)-х точек этого множества уь„уь..... у;„, где г, < (1,( ... (г„+г, и для каждой из них вычисляем р(уп, ун, ... ..., угььь). Из конечного числа значений р выбираем наибольшее.
Система точек у;,, уь, ..., у;„,, для которой р имеет максималь- ное значение, будет давать альтернанс для г (х) на О, и построение многочлена наилучшего приближения к г(х) на б сводится к по- строению многочлена наилучшего приближения к г(х) на множе- стве из этих (и -4- 2)-х точек. Построение этого многочлена мы уже описали.,Основная трудность заключзется в том, что при- ходится 'вычислять значения р для всевозможных комбинаций уц, у;,...., у,„, (1, (гг (...
((„,г), число которых равно С" т. е. при большом т может быть очень большим, 5. Для дальнейшего имеет важное значение следующая Теор е м а. Если г (х) — непрерывная на 1а, Ь1 функция. а (Р„ь(х)1ь ив,, — последовательность многочленов из Н„(Р), для которых имеет место неравенство Ь(7, Р„„)= шах 1У(х) — Р„ь(х)~ <Е„(г)+еь, (21) ей1ь, Ь1 где аь-ьО при й-+со, то последовательность 1Р„ь(х))ь равномерно на (а, Ь) сходится к многочлену наилучшего прибли- жения Р„(х) функции У(х) на (а, й) в Н„(Р). Доказательство этой теоремы существенно опирается на лемму: Нз всякой последовательности многочленов ((;~„ь(х)1ь ц ь, (гч„ь(х)~ Н„(Р)), о~рани~енных на (а, й) одной и той же кон- стантой М, можно выбрать подпоследовательность, равномерно сходягцуюся на (а.
д) к многочлену О„(х) ~ Н„(Р). Для доказательства леммы прежде всего докажем, что если 9„ь(х)=,~~ а(Юхг, Нь — —.~ ~(а(Ы! и Мь= шах 1Я„ь(х)!. в-о 1 о ай1ь. 61 то существуют такие постоянные А и В, не зависящие от й, что Иь < АМь, (22) М < Вмь. (23) В самом деле, если положить В= шах 1хь1, то при х~(а, Ь1 кй1ь, Ь1 г-о.
ь ь, ..., в (О„ь(х)! (.~~ ~а~ю~~ хг~ (В ~, )а(ю~= ВМь. 372 (гл. 4 РАВНОМЕРНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ Отсюда игах гЯ„„(х) (=МА <Вг1г», ее[а, Ы и неравенство (23) доказано. Для доказательства неравенства (22) возьмем на [а, Ь) некотоРые точки х,, х„..., хи (х; чь ха пРи 1 ФЯ. Тогда по интерполяционной формуле Лагранжа Я,,ь(х) =,~.", О„а(хг)(и г(х), $ О где г.и г(х) — многочлен степени л, обладаюшмй свойством ( О (г'+ /), (.и г(ху) = ~ 1 (г= 3.
Пусть Ви г(х)=~~.', рггггхг. Тогда г-о и аг~ г=,х, ()„ь (хг) Рг~ '. $ О Отсюда и и и и и Ма —.~'„,1аггы~ <)', ".'., ((;г„,а(хг) ()фп( <Мьи~ "~', (фг!. Полагая А=~ ~ (ф~г (А не зависит от Ы, получим неравен- г-о г-о ство (22). Теперь перейдем к непосредственному доказательству леммы. Многочлен (,ги, о (х) вполне определяется его коэффициентами агЫ, пгаг, . „Нгы Поэтому вместо последовательности многочленов Я„о(х))ь г з, РассмотРим послеловательность точек г(ь=(а~"г, агаг, ..., агаг) (п + 1)-мерного евклидова пространства.
Так как гни,ь(х)г< М (х~ (а, Ь), Ь= 1, 2, ... ), то по неравенству (22) ~„(а(Ю ! < МА, т. е. 1)саг — ограниченная последовательность точек, 1-о а следовательно, из нее можно выбрать некоторую подпослеловательность (гса ~, слодянгуюся к некоторой точке Й = (ао, аг, ..., аи). Рассмотрим многочлен О(х) = ~~'„а~хг, коэффициентами которого у=о являются координаты точки В. Из неравенства (23) следует, что игах ~(;)и, А (х) — ()(х)! < В,"~', гга( г) — а)~. и е га, О1 у-о Правая часть стремится к нулю при нг-ьсо, а это и означает, что (гги, А,.
(х)1»,. равномерно на (а, Ь) сходится к О(х) ~Н„(Р). б 6[ пгизлиж. постговнив многочлзнов наилгчшвго пгивлижвния 373 Используя эту лемму, докажем сформулированную выше теорему. Из неравенства (21) и условия, что е»-аО при А-+со, следует сушествование такой постоянной К. что (Р„,»(х)(<К (х~[а, Ь[, и=1, 2, ...), ибо (Рж»(х) (=(Р„»(х) — у(х)+У'(х) ( < (Р„,»(х) — у(х) (+(у(х)(< < Ь (г, Р„») + ша х ( г' (х) ( < Е„Я +- е -( — М, ай1а, Ы где е — верхняя грань (е»(, а М= гпах (((х)(. ПоэтомузаКможно ай(а,»] взять Е„Я+а+ М. Так как посдедовательность (Р„»(х)(» ьз, „. ограничена одним и тем же числом К, то по лемме из нее можно выбрать подпоследовательность (Р„»,(х)(»„равномерно сходящуюся к некоторому многочтену ()„(х) ~ Н„(Р).
Для этой подпоследовательности имеем: Ь(г, Р„»)= гпах (г (х) — Р„»,(х)(<Е„(Д)+е»г ач(а Ы Переходя к пределу при Аг-+со, получим: Ь (г, ф,) = шах (,((х) — Я„(х) ( < Еа (г'). ач(а, Ы но так как Е„([)= !п( Ь(~, ()), то ой на пт шах (у (х) — (~„(х)(=Е„(У) ай(а, Ы и, следовательно. 9„(х) есть многочлен наилучшего приближения к г (х) на [а, Ь[ в Н„(Р). В силу единственности многочлена наилучшего приближения (Га(х) = Р„(х).
Таким образом, подпоследовательность (Р», (х)(Ы равномерно на [а, Ы сходится к Р„(х). Из единственности многочлена наилучшего приближения следует, что и вся последовательность (Р„»(х)(» 1 з „будет равномерно сходиться к Р„(х). Если бы это было не так, то из нее можно было бы .выделить подпоследовательность, равномерно сходящуюся к некоторому другому многочлену Р„(х)~ Н„(Р). Этот многочлен должен был бы быть многочленом наилучшего приближения в Н„(Р) к у(х), но это противоречит единственности многочлена наилучшего приближения. 2, Первый способ приближенного построения многочлени наилучшего приближения.
Пусть для функции У'(х), непрерывной на отрезке [а, й[. требуется построить многочлен, близкий 374 [гл. 4 Рваномввныв пгивлижвния к многочлену наилучшего приближения Р„(х) в Н„(Р). Для построения таксго многочлена возьмем на отрезке [а, Ь[ т+-1 точек (т а+1) ху=а+/ — (7'=О. 1, 2, .... т). (24) Обозначим это множество через О. Методом, описанным ранее, строим многочлен наилучшего приближения к 2 (х) на О в Н„(Р). Этот многочлен обозначим через Р„, „, г (х).
Докажем, что при т -+ оо последовательность многочленов [Рт т+1(х))т „+ь ... равномерно на [а, Ь[ сходится к Р„(х). Обозначим через 2Е колебание функции ( (х) на [а, Ь[. Без ограничения общности можно считать, что шах 7(х)= — пн'п 2 (х), т. е. — Е( у(х)ч Е. 'е(а, Ь( ае(а. Ь( Очевидно, (,Р„, „,+,(х))) (Л+Е„Я (/=О, 1, 2, ..., т). (25) Используя это неравенство, получим: [< — '- ЙРв, т+1(х) ! 2аэМтег ах [ Ь вЂ” а (28) Из (25), (26) и (28) имеем: Мт„, — 3 — Е,Я) ( Рт,„+г (х') — Рт ~~г (хь), 2аэМ .~г Ь вЂ” а лт ~( — †. = — М Ь вЂ” а 2т т '"+' (29) Таким образом, М „(1 — — ") ( Е+ Е„Я.
Если т ~ ла, то ( Е+ Еа(У) т+1 аэ 1 —— (ЗО) Пусть [Р„тег(х)[ достигает на [а, Ь[ максимума М +, в точке х'. Среди точек х. (( =О. 1, 2, ..., т) найдется точка. удаленная от х' Ь вЂ” а не больше чем на —. Пусть это точка хгг Тогда 2т гл Р +1(х") — Рт т.ьг (ха) = (х — ха) [ — Рт ег (х)1, (26) ~а ( где 1 лежит между х' и х„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
